Exercices de statistiques - 2 - 2° partie, Exercices de Probabilités et statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8929 mai 2014

Exercices de statistiques - 2 - 2° partie, Exercices de Probabilités et statistiques

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Exercices de statistiques - 2 - 2° partie Les thèmes principaux abordés sont les suivants: courbe et intégrale, suites, exp+suite+intégrale, géométrie espace.
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18. courbe et intégrale

Les questions sont indépendantes. Il est demandé de justifier toutes les réponses fournies.

1. Dans chacun des cas suivants, proposer une fonction f qui vérifie les propriétés données. On donnera l’expression de f(x).

a. f est définie sur par 2( ) x xf x ae be c   , la limite

de f en +∞ est +∞ et l’équation f(x) = 0 admet deux solutions, 0 et ln 2.

b. f est définie sur ]0, +∞[, f(2) = 4 et, pour tout x et tout y réels strictement positifs, f(xy) = f(x) + f(y).

c. f est une fonction polynôme de degré supérieur ou égal à 2 et la valeur moyenne de f sur [−2, 2] est 0.

2. Soit g une fonction définie et dérivable, de dérivée g’ continue sur [−1, 1]. La courbe représentative de g est donnée ci-contre.

Les affirmations suivantes sont-elles cohérentes avec le schéma :

a. 1

0

'( ) 0g x dx  ?

b. 1

0

1 ( )

2 g x dx   ?

19. suites

Cet exercice se présente comme un questionnaire à choix multiples (QCM). Les quatre questions sont indépendantes.

Pour chaque question il y a deux conclusions correctes. Le candidat doit cocher au plus deux cases (celles qu’il juge correctes). Aucune justification n’est demandée.

A chaque question est affecté un certain nombre de points. Chaque réponse exacte rapporte la moitié des points affectés ; chaque réponse fausse enlève le quart des points affectés. Cocher trois cases ou plus à une question, ou n’en cocher aucune, rapporte zéro point à cette question.

Si, par application de ce barème, le total des points de l’exercice est négatif, il est ramené à zéro.

On considère trois suites (un), (vn) et (wn) qui vérifient la propriété suivante :

« Pour tout entier naturel n strictement positif : n n nu v w  ».

1. Si la suite (vn) tend vers −∞, alors :

□ La suite (wn) tend vers −∞

□ la suite (un) est majorée

□ la suite (un) tend vers −∞

□ la suite (wn) n’a pas de limite.

2. Si un > 1, wn = 2un et lim(un) = l, alors :

□ lim (vn) = l

□ La suite (wn) tend vers +∞

□ lim (wnun) = l

□ On ne sait pas dire si la suite (vn) a une limite ou non.

3. Si lim (un) = −2 et lim (wn) = 2, alors :

□ La suite (vn) est majorée

□ lim (vn) = 0

□ la suite (vn) n’a pas de limite

□ On ne sait pas dire si la suite (vn) a une limite ou non.

4. Si 2

2

2 1 n

n u

n

  et

2

2

2 3 n

n w

n

  alors :

□ lim (wn) = 0

□ lim (vn) = 2

□ lim (un) = 2

□ la suite (vn) n’a pas de limite.

20. exp+suite+intégrale

Partie A

On considère la fonction numérique f de la variable réelle x définie sur l’intervalle [0, +∞[ par 1( ) xf x xe  . Elle est dérivable sur l’intervalle ]0, +∞[. On note f’ sa dérivée.

On note C la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O i j .

1. Démonstration de cours. Déterminer la limite en +∞ de la fonction xe

x x

 .

2. Déterminer la limite de f en +∞ (on pourra pour cela justifier et exploiter l’écriture, pour tout x réel

strictement positif, ( ) x

e x f x

x e  ). Interpréter graphiquement le résultat.

3. Pour x élément de ]0, +∞[, calculer f’(x).

4. Déduire des questions précédentes le tableau de variation de f.

5. Tracer la courbe C (unité graphique : 2 cm).

Partie B

On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n non nul par 1

( ) n

n n

u f t dt

  .

1. Interpréter géométriquement un.

2. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, ( 1) ( )nf n u f n   .

3. En déduire que la suite (un) est décroissante.

4. Prouver la convergence de la suite (un) et déterminer sa limite.

Partie C

On considère la fonction numérique F de la variable réelle x définie sur [1, +∞[ par 1

( ) ( ) x

F x f t dt 

1. a. Montrer que F est dérivable sur [1, +∞[ et calculer F’(x).

b. En déduire le sens de variation de F.

2. a. Démontrer que, pour tout réel t positif, 2 2 2t t  .

b. En déduire que, pour tout x de l’intervalle [1, +∞[, 1

1

1 ( ) ( 2)

2 2

x tF x t e dt  .

c. A l’aide d’une intégration par parties, montrer que, pour tout x appartenant à [1, +∞[,

1 1

1

( 2) 4 ( 3) x

t xt e dt x e     .

d. En déduire que, pour tout x appartenant à [1, +∞[, 0 ( ) 2F x  .

3. On note, pour tout entier naturel n non nul, Sn la somme des n − 1 premiers termes de la suite (un). Exprimer Sn à l’aide d’une intégrale. Montrer que la suite (Sn) converge et donner un encadrement de sa limite.

21. géométrie espace

On considère un cube ABCDEFGH, d’arête de longueur a (a réel strictement positif).

Soit I le point d’intersection de la droite (EC) et du plan (AFH).

1. Calculer, en fonction de a, les produits scalaires suivants :

. , . , .EA AF AB AF BC AF .

2. En déduire que les vecteurs EC et AF sont orthogonaux.

On admettra de même que les vecteurs EC et AH sont orthogonaux.

3. En déduire que le point I est le projeté orthogonal de E sur le plan (AFH).

4. a. Justifier les résultats suivants : les droites (AF) et (EH) sont orthogonales, ainsi que les droites (AF) et (EI).

b. En déduire que la droite (AF) est orthogonale à la droite (HI).

c. Etablir de même que la droite (AH) est orthogonale à la droite (FI).

5. Que représente le point I pour le triangle AFH ?

22. géométrie espace

L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( ; , , )O i j k .

On considère les points A, B, C et S de coordonnées respectives :

A(−1, 0, 1) ; B(1, 4, −1) ; C(3, −4, −3) ; S(4, 0, 4).

1. Démontrer que le triangle ABC est un triangle rectangle en A.

2. a. Montrer que le vecteur SO est orthogonal aux vecteurs AB et AC .

b. En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).

3. a. Démontrer que O est le barycentre des points A, B, C affectés de coefficients que l’on déterminera.

b. En déduire que O est situé dans le triangle ABC.

4. Calculer le volume V du tétraèdre SABC.

23. équa diff (corrigé)

On se propose d’étudier les fonctions f dérivables sur [0 ; +∞[ vérifiant la condition

(1) pour tout [0 ; [ ( ) '( ) 1

(0) 1

x f x f x

f

   



Partie A

On suppose qu’il existe une fonction f qui vérifie (1).

La méthode d’Euler permet de construire une suite de points (Mn) proches de la courbe représentative de la fonction f. On choisit le pas h = 0,1.

On admet que les coordonnées (xn, yn) des points Mn obtenus en appliquant cette méthode avec ce pas vérifient :

1 0

10

0,1 0

0,1 1

n n

n n n

x x x

et y yy

y

   

    

pour tout entier naturel n.

Calculer les coordonnées des points M1, M2, M3, M4, M5 (on arrondira au millième les valeurs trouvées).

Partie B

On se propose de démontrer qu’une fonction vérifiant (1) est nécessairement strictement positive sur [0 ; +∞[.

1. Montrer que si la fonction f vérifie (1) alors f ne s’annule pas sur [0 ; +∞[.

2. On suppose que la fonction f vérifie la condition (1) et qu’il existe un réel a strictement positif tel que f(a) < 0.

En déduire que l’équation f(x) = 0 admet au moins une solution dans l’intervalle [0 ; a].

3. Conclure.

Partie C : Existence et unicité de la fonction f.

1. Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. Déterminer une primitive de la fonction uu’ sur cet intervalle.

2. En déduire que si f est telle que, pour tout x de [0 ; +∞[, f(x)f’(x) = 1 alors il existe une constante C telle que :

pour tout x de [0 ; +∞[, (f(x))2 = 2x + C.

3. On rappelle que f(0) = 1. Déterminer l’expression de f(x) pour x réel positif.

4. En déduire les valeurs arrondies au millième de f(0,1), f(0,2), f(0,3), f(0,4), f(0,5), puis les comparer avec les valeurs obtenues par la méthode d’Euler.

Correction

Partie A

0(0,1)M , 1 0,1

(0 0,1 ;1 ) (0,1 ;1,1) 1

M    , etc. Le mieux est d’utiliser Excel :

n xn yn f(x)

0 0 1 1

1 0,1 1,1 1,09544512

2 0,2 1,19090909 1,18321596

3 0,3 1,27487856 1,26491106

4 0,4 1,3533174 1,34164079

5 0,5 1,4272099 1,41421356

6 0,6 1,49727667 1,4832397

7 0,7 1,5640646 1,54919334

8 0,8 1,62800058 1,61245155

9 0,9 1,68942562 1,67332005

10 1 1,74861733 1,73205081

11 1,1 1,80580537 1,78885438

12 1,2 1,86118233 1,84390889

13 1,3 1,91491161 1,8973666

Partie B

1. Si la fonction f vérifie (1) alors ( ) '( ) 1f x f x  ; si f s’annule sur [0 ; +∞[, alors il y aura une valeur a de x

pour laquelle ( ) '( ) 0f a f a  , ce qui est impossible.

2. f est continue, et il y a un a tel que f(a) < 0, le théorème des valeurs intermédiaires permet de dire que comme on a f(0) = 1 et f(a) < 0, il doit exister une valeur de x entre 0 et a telle que f s’annule.

3. Comme f ne s’annule pas, elle a un signe constant, soit celui de f(0) ; elle est donc positive.

Partie C

1. Une primitive de la fonction uu’ est 2 1

2 u ou 2

1 constante

2 u  .

2. On intègre donc f(x)f’(x) = 1, ce qui donne   21

( ) 2

f x x K  , soit   2

( ) 2f x x C  .

3. f(0) = 1 donne   2 2(0) 1 2.0 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1f C C f x x f x x            .

Comme f est positive, on prend la racine positive, soit ( ) 2 1f x x  .

4. Les valeurs calculées ont été mises dans le tableau.

24. complexes (corrigé)

PREMIERE PARTIE

On note j le nombre complexe

2

3

i

e

.

1. Montrer les propriétés suivantes de j :

(a) 1 3

2 2 j i   (b) j3 = 1

(c) 1 + j + j2 = 0 (d) 2 3 i

j e

  .

2. Dans un repère orthonormal direct du plan, on considère les points M, N, P d’affixes respectives m, n, p.

a. Montrer que, si le triangle MNP est équilatéral direct, alors mn = −j2(p − n).

b. Etablir la propriété suivante :

Le triangle MNP est équilatéral direct si, et seulement si, m + nj + pj2 = 0.

DEUXIEME PARTIE

On considère un cercle du plan de centre O et des points A, B, C, D, E, F de ce cercle tels que

les angles      , , , , ,OA OB OC OD OE OF

aient la même mesure 3

 .

Soit M, N, P les milieux respectifs des cordes [BC], [DE], [FA].

Montrer que le triangle MNP est équilatéral direct.

Correction

PREMIERE PARTIE

1. (a)

2

3 2 2 1 3

cos sin 3 3 2 2

i

j e i i

  

      1 3

2 2 j i   ; (b)

32

3 23 1

i

ij e e

 

         

;

(c)   2 3 21 1 1 1 1 0 1 0j j j j j j            ; (d) 4

2 3 3

i i

ij e e e

     .

2. a. Si le triangle MNP est équilatéral direct, alors M est l’image de P par la rotation de centre centre BN et

d’angle 3

 :    23

i

m n e p n m n j p n

        .

b. Il faut donc établir la réciproque : si 2 0m nj pj   alors le triangle MNP est équilatéral direct. Or on a

2 21 0 1j j j j       d’où    2 2 2 20 1 0m nj pj m n j pj m n j p n              , ce qui correspond bien à un triangle équilatéral direct.

DEUXIEME PARTIE

Prenons a, b, c, d, e, f les affixes de A, B, C, D, E et F, alors 2 2 23 3 3, , i i i

b e a j a d e c j c f e e j e

  

         .

Les points M, N, P ont alors pour affixes 2 2 2

, , 2 2 2 2 2 2

aj c cj e ej af ab c d e m n p

             .

Calculons alors :

2 2 2 2 3 2 4 2 2 2 2 0

2 2 2 2 2

c aj e cj a ej c aj ej cj aj ej c aj ej c aj ej m nj pj j j

                     .

C’est bon.

25. probabilité continue

Un quincaillier achète des ampoules à trois fournisseurs dans les proportions suivantes : 20 % au premier fournisseur, 50 % au deuxième fournisseur et 30 % au troisième fournisseur.

Le premier fournisseur fabrique 97 % d’ampoules sans défaut, le deuxième fournisseur fabrique 98 % d’ampoules sans défaut, le troisième fournisseur fabrique 95 % d’ampoules sans défaut.

1. On choisit une ampoule au hasard dans le stock. On note

D l’événement « l’ampoule est défectueuse »,

F1 l’événement « l’ampoule provient du premier fournisseur »,

F2 l’événement « l’ampoule provient du deuxième fournisseur » et

F3 l’événement « l’ampoule provient du troisième fournisseur ».

a. Calculer la probabilité de l’événement D, notée P(D).

b. Sachant que l’ampoule choisie est défectueuse, quelle est la probabilité PD(F1) qu’elle provienne du premier fournisseur ?

Donner la valeur exacte et une valeur approchée à 10−3 près de PD(F1).

2. On suppose que la probabilité qu’une ampoule soit sans défaut est de 0,969.

On monte 12 ampoules sur un lustre. Calculer la probabilité R qu’une ampoule au plus soit défectueuse. On donnera une valeur approchée à 10−3 près de R.

3. La durée de vie en heures d’une ampoule, notée T, suit une loi de durée de vie sans vieillissement (ou loi

exponentielle) de paramètre  = 1/50 000 = 2.10−5.

Selon cette loi, pour tout x de [0 ; +∞[, 0

( ) x

tP T x e dt    .

a. Quelle est la probabilité P1 qu’une ampoule dure plus de 25 000 heures ? Donner la valeur exacte de P1.

b. Quelle est la probabilité P2 qu’une ampoule dure plus de 50 000 heures ? Donner la valeur exacte de P2.

c. Quelle est la probabilité P3 qu’une ampoule dure plus de 50 000 heures, sachant qu’elle a déjà duré 25 000 heures ? Donner la valeur exacte de P3.

26. géométrie espace

L’espace est rapporté à un repère orthonormal repère orthonormé repère orthonormé ( ; , , )O i j k . On

étudie le tétraèdre OABC, où les points A, B et C sont définis par leurs coordonnées : A(0, 0, 2), B( 3 , 1,

0) et C( 3 , −1, 0).

Partie A. Géométrie analytique dans un tétraèdre

1. a. Faire une figure représentant le repère et le tétraèdre.

b. Déterminer la nature géométrique et calculer les dimensions de chacune des faces du tétraèdre.

2. On considère le vecteur u de coordonnées (2, 0, 3 ).

a. Vérifier que le vecteur u est normal au plan (ABC).

b. En déduire une équation du plan (ABC).

Partie B. étude d’une section plane

Soit J le milieu de l’arête [BC]. Le point N est un point mobile du segment [OJ]. On appelle (P) le plan passant par le point N et orthogonal à la droite (OJ).

1. On pose t = ON. Vérifier que t appartient à l’intervalle [0, 3 ].

2. On se propose de déterminer la nature de la section plane du tétraèdre OABC par le plan (P). Le plan (P) coupe :

– l’arête [OC] au point R ;

– l’arête [AC] au point S ;

– l’arête [AB] au point T ;

– l’arête [OB] au point U.

a. Démontrer que les droites (ST), (BC) et (RU) sont parallèles. Démontrer que les droites (RS), (OA) et (TU) sont parallèles.

b. Démontrer que le quadrilatère RSTU est un rectangle.

c. Déterminer avec soin les dimensions du rectangle RSTU en fonction du nombre réel t (on précisera en particulier les différents triangles dans lesquels sont menés les calculs).

3. a. Soit S(t) l’aire de la section plane définie à la question B. 2. Démontrer que 4

( ) ( 3 ) 3

S t t t  .

b. étudier les variations de la fonction S, définie sur l’intervalle [0, 3 ] par S(t).

c. Pour quelle valeur du nombre réel t l’aire S(t) est-elle maximale ? Quelle est alors la nature géométrique particulière de la section plane étudiée ?

4. a. On rappelle que le volume V du tétraèdre OABC est égal à l’intégrale 3

0

( )S t dt . Calculer V par cette méthode.

b. Calculer V en utilisant l’aire d’une face et la hauteur correspondante du tétraèdre.

c. Vérifier la cohérence des deux résultats.

27. adéquation à une loi équirépartie (commun avec ES)

Un meunier a besoin, pour sa farine, d’un mélange de quatre variétés différentes de grains de blé, d’égales quantités chacunes et notées 1, 2, 3, 4.

1. Il veut savoir si, dans son silo, les différentes variétés sont bien mélangées. Pour cela, il prélève, à la sortie du silo, un échantillon de 100 grains de blé rendus radioactifs par des marqueurs différents selon les variétés. Il obtient les résultats suivants :

Variété 1 2 3 4

Nombre de grains radioactifs 18 27 35 20

Le meunier veut savoir si ces données sont vraisemblables lorsqu’on fait l’hypothèse d’un mélange homogène des quatre variétés, ce qui correspond à un quart des marqueurs pour chaque variété.

On appelle fi la fréquence dans l’échantillon de la variéte i et on pose

4 2 2

1

1 400

4 i

i

d f

    

   ·

Calculer la valeur de d2.

2. On suppose l’équiprobabilité de la présence d’un grain de blé de chaque variété et on simule 10 000 séries de 100 tirages de grains de blé.

Pour chaque série de 100 tirages, on calcule d2. Le tableau suivant donne le nombre de séries pour lesquelles la valeur de d2 est strictement supérieure à l’entier j :

j 3 4 5 6 7 8 9 10

Nombre des séries 3915 2618 1715 1114 728 467 306 180

pour lesquelles d2 > j

Lire la valeur du 9e décile, arrondie à l’entier le plus proche, puis celle du 95e centile.

3. Si l’hypothèse d’équiprobabilité est vraie :

a. Peut-on affirmer avec un risque d’erreur de 10 % que le mélange étudié à la question 1. est homogène ?

b. Même question avec un risque d’erreur de 5 %.

c. Que peut-on dire si quelqu’un demande un risque d’erreur de 0 % ?

Note personnelle : il vaut mieux changer les données du tableau si on le donne aux élèves…

28. spécialité - géométrie

PARTIE I

Soit ABC un triangle rectangle en B, direct :

 , 2

BC BA   · Soit E un point du segment

[AB]. Par le point E on mène une droite d qui coupe le segment [AC] en un point F et la droite (BC) en un point G (voir figure ci- contre). On suppose que les points E, F, G sont distincts des points A, B, C.

Le cercle  circonscrit au triangle ABC et le cercle  ’ circonscrit au triangle BEG se coupent en deux points distincts B et K.

1. Justifier l’existence d’une similitude plane directe S telle que S(A) = C et S(E) = G.

F

CG

E

B

A

Déterminer l’angle de S.

2. Soit Ω le centre de S.

a. Montrer que Ω appartient aux cercles  et  ’.

b. Prouver que Ω est différent de B.

c. Que peut-on en déduire pour Ω ?

PARTIE II

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v d’unité graphique 2 cm. Les affixes

respectives des points A, B, C, E, F et G sont données par :

zA = 2 + 4i , zB = −1 − 2i , zC = 3 − 4i , zE = 0, 5

2 Fz  , zG = −5.

On admettra que le point F est le point d’intersection du segment [AC] et de la droite (GE) et que les conditions de la partie I sont vérifiées.

1. Placer ces points sur une figure et, à l’aide des résultats de la partie I, construire le point Ω, centre de la similitude S.

2. Soit S’ la similitude plane directe telle que S’(A) = E et S’(C) = G. Déterminer l’écriture complexe de S’ et déterminer l’affixe du centre Ω’ de S’.

3. Montrer que les points Ω et Ω’ sont confondus.

29. spécialité - arithmétique

L’exercice propose cinq affirmations numérotées de 1 à 5.

Pour chacune de ces affirmations, dire si elle est vraie ou si elle est fausse, en justifiant le choix effectué.

1. Si un nombre est divisible par 4, alors il est divisible par 8.

2. Si un nombre est divisible par 2 et par 3, alors il est divisible par 6.

3. Si un nombre est divisible par 4 et par 6, alors il est divisible par 24.

4. Si deux entiers a et b sont premiers entre eux, alors les entiers a + b et ab sont premiers entre eux.

5. Si deux entiers a et b sont premiers entre eux, alors les entiers 2a + b et 3a + 2b sont

premiers entre eux.

30. spécialité - arithmétique, codage

Cet exercice, trop long pour un exercice de spécialité, est présenté dans son intégralité pour respecter sa cohérence ainsi que le travail de l’auteur.

1. a. Déterminer deux entiers relatifs u et v tels que 7u − 13v = 1.

b. En déduire deux entiers relatifs u0 et v0 tels que 14u0 − 26v0 = 4.

c. Déterminer tous les couples (a, k) d’entiers relatifs tels que 14a − 26k = 4.

2. On considère deux entiers naturels a et b. Pour tout entier n, on note (n) le reste de la division euclidienne de an + b par 26.

On décide de coder un message, en procédant comme suit : à chaque lettre de l’alphabet on associe un entier compris entre 0 et 25, selon le tableau :

Lettre A B C D E F G H I J K L M

Nombre 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Lettre N O P Q R S T U V W X Y Z

Nombre 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Pour chaque lettre  du message, on détermine l’entier n associé puis on calcule (n). La lettre  est alors

codée par la lettre associée à (n).

On ne connaît pas les entiers a et b, mais on sait que la lettre F est codée par la lettre K et la lettre T est codée par la lettre O.

a. Montrer que les entiers a et b sont tels que : 5 10 modulo 26

19 14 modulo 26

a b

a b

  

  .

b. En déduire qu’il existe un entier k tel que 14a − 26k = 4.

c. Déterminer tous les couples d’entiers (a, b), avec 0 ≤ a ≤ 25 et 0 ≤ b ≤ 25, tels que

5 10 modulo 26

19 14 modulo 26

a b

a b

  

  .

3. On suppose que a = 17 et b = 3.

a. Coder le message « GAUSS ».

b. Soit n et p deux entiers naturels quelconques. Montrer que, si (n) = (p), alors 17(np) = 0 modulo 26.

En déduire que deux lettres distinctes de l’alphabet sont codées par deux lettres distinctes.

4. On suppose que a = 17 et b = 3.

a. Soit n un entier naturel. Calculer le reste de la division euclidienne de 23(n) + 9 − n par 26.

b. En déduire un procédé de décodage.

c. En déduire le décodage du message « KTGZDO ».

31. spécialité - arithmétique

Des nombres étranges (part one)!

Les nombres 1 ; 11 ; 111 ; 1111 ; etc. sont des nombres que l’on appelle rep-units (répétition de l’unité). Ils ne s’écrivent qu’avec des chiffres 1. Ces nombres possèdent de nombreuses propriétés qui passionnent des mathématiciens.

Cet exercice propose d’en découvrir quelques-unes.

Pour k entier strictement positif, on note Nk le rep-unit qui s’écrit à l’aide de k chiffres 1.

Ainsi N1 = 1, N2 = 11, N3 = 111, …

1. Citer deux nombres premiers inférieurs à 10 n’apparaissant jamais dans la décomposition d’un rep-unit. Justifier brièvement la réponse.

2. A quelle condition sur k le nombre 3 apparaît-il dans la décomposition du rep-unit Nk ? Justifier brièvement la réponse.

3. Pour k > 1, le rep-unit Nk est défini par

1

1

0

10 1 10 100 ... 10

k

i k k

i

N

      .

Justifier l’égalité : 9 10 1kkN   pour tout entier k > 1.

4. Le tableau ci-dessous donne les restes de la division par 7 de 10k, pour k entier compris entre 1 et 8.

k 1 2 3 4 5 6 7 8

Reste de la division de 10k par 7 3 2 6 4 5 1 3 2

Soit k un entier strictement positif. Démontrer que : « 10 1(7)k  » équivaut à « k est multiple de 6 ».

En déduire que 7 divise Nk si et seulement si k est multiple de 6.

32. spécialité - arithmétique

Des nombres étranges (part two)!

Les nombres 1 ; 11 ; 111 ; 1111 ; etc. sont des nombres que l’on appelle rep-units (répétition de l’unité). Ils ne s’écrivent qu’avec des chiffres 1. Ces nombres possèdent de nombreuses propriétés qui passionnent des mathématiciens. Cet exercice propose d’en découvrir quelques unes.

Pour k entier strictement positif, on note Nk le rep-unit qui s’écrit à l’aide de k chiffres 1. Ainsi N1 = 1, N2 = 11, N3 = 111, …

1. Citer deux nombres premiers inférieurs à 10 n’apparaissant jamais dans la décomposition d’un rep-unit. Justifier brièvement la réponse.

2. Donner la décomposition en facteurs premiers de N3, N4 et N5.

3. Soit n un entier strictement supérieur à 1. On suppose que l’écriture décimale de n2 se termine par le chiffre 1.

a. Montrer que, dans son écriture décimale, n se termine lui-même par 1 ou par 9.

b. Montrer qu’il existe un entier m tel que n s’écrive sous la forme 10m + 1 ou 10m − 1.

c. En déduire que 2 1(20)n  .

4. a. Soit k > 2. Quel est le reste de la division de Nk par 20 ?

b. En déduire qu’un rep-unit distinct de 1 n’est pas un carré.

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