Exercices de statistiques - 5 , Exercices de Probabilités et statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8929 May 2014

Exercices de statistiques - 5 , Exercices de Probabilités et statistiques

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Exercices de statistiques - 5 - les intégrations. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: Mons, questions-types, Compléments.
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Exercices d’entrée dans les Universités belges

Jacques Collot

Intégration

1. EXANA020 - Exemples. 1

2. EXANA021 – Mons, questions-types 2000-2001. 1

3. EXANA022 – Mons, questions-types 2000-2001. 1

4. EXANA023 – Mons, questions-types 2000-2001 2

5. EXANA024 – Mons, questions-types 2000-2001 2

6. EXANA025 – Compléments 2

7. EXANA026 – Compléments 4

8. EXANA028 – Mons, questions-types 2000-2001. 4

1. EXANA020 - Exemples

A. Calculer   xF x x e dx  .

B. Calculer   axF x x e dx  .

Correction

A. : ' :1 ; ' : :x x x x x x xf x f g e g e x e dx x e e dx x e e        donc    1 xF x e x  .

B.   1 1

: ' :1 ; ' : : ²

x xax ax ax axx e x ee

f x f g e g F x e dx e a a a a a

       donc    1² ax

e F x a x

a   .

2. EXANA021 – Mons, questions-types 2000-2001

Calculer   ln ³F x x dx  .

Correction

  3ln ² 3ln ²

: ln ³ ' : ; ' :1 : ln ³ ln ³ 3 ln ² x x

f x f g g x F x x x x dx x x x dx x x

        ; on recommence :

  2ln

: ln ² ' : ; ' :1 : ln ³ 3 ln ² 6 ln x

f x f g g x F x x x x x x dx x

       ; encore une fois :

  1

: ln ' : ; ' :1 : ln ³ 3 ln ² 6 ln 6f x f g g x F x x x x x x x dx x

        et finalement

  ln ³ 3 ln ² 6 ln 6F x x x x x x x x    .

3. EXANA022 – Mons, questions-types 2000-2001

Calculer   6

4 1

x F x dx

x

 .

Correction

  6 2

2 2

4 4 2

1 1 1 1 1 1

2 4 1 4 11 1 1

x x F x dx x dx dx x dx dx dx dx

x xx x x       

          d’où

  3 1 1 1 1

arctan ln 3 2 4 1

x F x x x

x

   

 .

4. EXANA023 – Mons, questions-types 2000-2001

Calculer   cos ²F x x dx  .

Correction

   

: cos ' : sin ; ' : cos : sin

cos sin cos sin cos sincos ² sin ² 1 cos ² cos ²

f x f x g x g x

x x x x x xF x x dx x dx x dx x x dx

  

           

donc       1 1

cos sin sin 2 2 2 4

F x x x x x x    .

5. EXANA024 – Mons, questions-types 2000-2001

Calculer   1

² 2 F x dx

x x  

  .

Correction

 

1 1 1. : .

² 2 1 1 ² 1

dx dx C

x x x x      

    

 

1 2. :

² 2 1 ²

dx dx

x x x

   

      ; on pose y = x+1 :

 

   

2 2

1 1 1 1 11 arctan arctan .

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1

3. : ² 2 admet deux racines réelles : 1 1 .

1 01 2 1

1 1 1 1 1² 2 1 1 1 1

y d

dy y x F x C

y y

x x x

aa ba b

a bx x x x b

     

 

  

   

   

               

         

      

       

            

 

 

1

2 1

1 1 1 1 1 ln 1 1 ln 1 1 ln .

2 1 2 1 2 1 1 1

x F x x x C

x

  

   

       

            

     

6. EXANA025 – Compléments

A. Calculer   1

1 sin F x dx

x

 .

B. Calculer   1

sin F x dx

a b x

 .

Correction

A.  

2

2

1

cos 1 2

1 sin 1 2sin cos sin

12 2 22

cos cos 2 2

x

dx F x dx dx

x x xx

x x

   

  

2 2

tan 1tan 2222 2 .

tan 2tan 1 tan 1tan 12 2 22

xx dd

C x x xx

   

      

      

 

B.  

2

2

2

1

cos tan 1 2 2dx 2 sin

2 sin cos sin tan 2 tan 2 2 2 2 22

cos cos 2 2

x x d

dx F x dx

x x x x xa b x a b a b a

a b

x x

    

  

    .

Changement de variable :   2

tan 2 2 2

d yx y F x

ay by a   

  .

Premier cas : ² ²b a ; le dénominateur s’écrit 2 2

2 2 1 1 .

b b b b a y y

a aa a

                    

On décompose :

2 2 2

2 2

1 1

2 1 1

aay by a b b b b y y

a aa a

 

                   

  2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

1 1 1 1

1 1

1 1 1 1

b b b b b b b b y y y

a a a aa a a a

a ab a b a b b b b y y y y

a a a ab b a a

                                                    

                                            

.

  2 2

2 2

1 1 1 , ,

² ² ² ² ² ² 1 1

a a b F y dy

b a b a b a b b b b y y

a aa a

  

                            

 et

  ² ² ² ² ² ²

dy dya F y

b a ay b b a ay b b a

             

  , soit enfin

  tan ² ²

2ln ² ² tan ² ²

2

x a b b a

a F x C

xb a a b b a

  

     

.

Deuxième cas : ² ²b a , le dénominateur n’a pas de racines réelles :

2 2

2 1 2 1 2 ² 1 .

² ²² ²² 2 1 ²

1 ² ²

a

ba a a a bb a b by y y ya a a a

a b

a

            

    

     

On obtient un arc tangente :   2

2 ² ² ² 2² ² arc tan

² ² ² ² ² ² 1

² ²

ay b d

ay ba a b a b F x

a a b a a b a bay b

a b

   

    

     

 

 d’où

  tan

2 2arc tan ² ² ² ²

x a b

F x C a b a b

   

.

7. EXANA026 – Compléments

Calculer   1

cos F x dx

a b x

 .

Correction

     

2

2

2

1

tancos 1 22dx 2 . cos

cos ² sin ² tan ² tan 2 2 2 2

cos 2

xx d

dx F x dx

x x a x xa b x a b b b b a b a b

x

     

    

          

Changement de variable :      2

tan 2 2

d yx y F x

a b y a b   

   .

Premier cas ² ²b a : le dénominateur a deux racines réelles :    2 a b

a b y a b y t b a

         

 ;

on décompose en fractions rationnelles :

   2 1 2 1 1

, 2 2a b y t y t t ta b y a b

     

                  

.

Donc      

 

1 1 1ln

ln

a b dy dy y t y

F y b a t a b y t y t t a b y t

a b a b a b y

b a b a

    

              

 

  , soit

  tan1

2 ln² ²

tan 2

x a b

F x Cb a b a

x a b

b a

 

  

 

.

Deuxième cas : ² ²b a ,    

  2

2 2

1² 1

d tydy t F y

a ba b a b tyy a b

     

  d’où

  ² ² tan

2 2arc tan ² ²

x a b

F x C a ba b

  

.

8. EXANA028 – Mons, questions-types 2000-2001

1. Calculer l’aire S comprise entre l’aire x et la courbe y = sinxpour des valeurs de x comprises entre 0 et  .

2. Déterminer le volume Vx obtenu en faisant tourner cette partie du plan autour de l’axe x.

3. Déterminer le volume Vy obtenu en faisant tourner cette partie autour de l’axe y.

Correction

1.     0

0

sin dx cos 2F x x x

     .

2. sin ²xV x dx

 

  , iPP : sin ' cos ; ' sin cos .f x f x g x g x      

  1

sin ² sin cos cos ² sin cos sin ² sin cos 2

I x dx x x x dx x x x x dx I x x x           ,

soit   0

² sin cos

2 2 xV x x x

     .

3. Il faut permuter les axes Ox et Oy : on travaille donc avec les fonctions réciproqies. Pour obtenir Vy, on calcule le volume engendré par

arccos 2

x   diminué du volume engendré par arcsin x .

  2

sin , cos

arc sin : 0 0, 1

x t dx t dt

A x dx x t x t

  

  

       

   ;

 

   

0

0 0

0 0 0

² ' 2 ² cos :

' cos sin

' 1 ² sin 2 sin :

' sin cos

2 cos 2 cos 2 sin 2 .

f t f t A t t dt

g t g t

f t f A t t t t dt

g t g t

A t t t dt t



 

      



    

    

  

        

      

         

Volume engendré par arccos 2

x   :

  2 3

2 2arc cos arc cos arc cos 2 2

B x dx x dx x dx dx  

      

   

       

     .

Calculons le premier terme (changement de variable puis deux IPP) :

0 1

0

arccos x + /2

arcsin x

arccos x

   

   

2

1 0 0 0

0 0 0

arc cos ² sin ² cos 2 cos

2 sin 2 sin ² 2 cos ² 2 .

T x dx t t dt t t t t dt

t t t dt t

 

 

  

     

  

 

           

     

  

Le deuxième (changement de variable puis une IPP) :

 2 22 0 0 0

arc cos sin ² cos ² cos ²T x dx t t dt t t t dt

 

     

 

         .

Le troisième : 3 3

3 4 4

T dx  

  .

Finalement 3

2 2 2 4

B

    et 3 3

2 22 2 2 2 4 4

yV B A  

           .

9. EXANA029 – Mons, questions-types 2000-2001

1. Retrouver la dérivée de arctan x à partir de la connaissance de la dérivée de tan x.

2. Exploiter le résultat obtenu au point 1. pour résoudre la problème suivant :

Un building est caractérisé par une hauteur b. Un passant se place à une distance d de ce building et voit sous un angle a la partie haute du building entre le sommet et l’un des étages situé à une hauteur a du sol. On demande de déterminer la distance d pour laquelle l’angle a est maximum.

Correction

1. On utilise la dérivée des fonctions composées :

           2tan arctan 1 1 tan arctan arctan ' 1 ² arctan 'x x x x x x     

d'où   1

arc tan ' 1 ²

x x

 

.

2. On a

       

   2 2 ²1 1

arctan arctan ' 0 ² ² ² ² ² ²

11

b a ab db a b a d d

d d d d d a d bab

dd

      

                 

      

b

a

d

d’où d ab  . La solution positive est seule acceptable ; c’est un maximum car

   ' 0 ; ' 0d ab d d ab d       .

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