Exercices sur l'analyse numérique – 1, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation. Université Bordeaux I
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Eusebe_S10 avril 2014

Exercices sur l'analyse numérique – 1, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation. Université Bordeaux I

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Méthode mathématiques pour l'analyse numérique – exercices – 1. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Enseignement de spécialité, Enseignement obligatoire.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Amérique du Nord juin 1994 \

EXERCICE 1 4 points Enseignement de spécialité

Soit ABC un triangle quelconque du plan orienté. On désigne par :

R1 la rotation de centre A et d’angle (−−→ AB ,

−−→ AC

)

R2 la rotation de centre C et d’angle (−−→ CA ,

−−→ CH

)

R3 la rotation de centre B et d’angle (−−→ OC ,

−−→ BA

) .

Le but de l’exercice est de déterminer la transformation f définie par f =R3◦R2◦R1. Soient ∆1, ∆2 et ∆3 les bissectrices intérieures respectives des angles géométriques BAC, ACB et ABC. Soit I le point de concours de ces trois droites. Les réflexions d’ axes ∆1, ∆2 et ∆3 sont notées S∆1 , S∆2 , et S∆3 .

1. Montrer que f est une rotation dont on précisera l’angle.

2. Montrer que R2 ◦R1 = S∆2 ◦S∆1 . (On utilisera des décompositions de R2 et de R1 en produits de réflexions.)

3. Montrer que f (I) est le point I1 symétrique de I par rapport à (AB).

4. Déterminer le centre Ω de la rotation f . Montrer que (AB) est tangente en Ω au cercle inscrit au triangle ABC.

EXERCICE 2 4 points Enseignement de spécialité

Soit P le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v

) . A, B et

C sont les points d’affixes respectives i, −i et −3i. À tout point M d’affixe z (z 6= −3i) on associe le point M ′ d’affixe z ′ 3iz - définie par

z ′ = 3iz−1 z+3i

.

1. Déterminer les points M pour lesquels M ′ =M .

2. Montrer que pour z 6= i et z 6= −3i, on a : z ′+ i z ′− i

= 2 z+ i z− i

.

3. Soit π l’ensemble des points M tels que MB

MA =

1

2 .

a. Déterminer et construireπ (préciser les éléments permettant cette construc- tion). Vérifier que C appartient à π.

b. Montrer, en utilisant 2., que : si M appartient à π− {C}, alors M ′ appar- tient à une droite fixe que l’on précisera.

PROBLÈME 4 points Enseignement obligatoirede à l’exclusion de 1. 3. qui concerne l’enseignement de spécialité

Dans tout le problème, n désigne un entier naturel non nul. I. Soit gn la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par

gn(x)= xn+ n

2 lnx.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

1. Étudier les variations de gn Déterminer les limites de gn en 0 et en +∞.

2. a. En déduire l’existence d’un réel positif αn unique tel que gn (αn )= 0. b. Montrer que : 16αn < e2.

c. Montrer que : ln(αn )= 2− 2

n αn .

Exprimer gn+1 (αn) en fonction deαn et de n. En déduire que αn+1 >αn . 3. a. Montrer que la suite de terme général αn est convergente. On note sa

limite.

b. En utilisant 2. c., calculer lim n→+∞

ln(αn) et en déduire .

II. Soit f la foncuon definie sur ]0 ; +∞[ par

f (x)= 2x− lnx 2 p x

.

Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→

) (unité graphique : 2 cm).

On appelle C la représentation graphique de f et C0 la représentation graphique de la fonction x 7−→

p x.

1. Déterminer les limites de f en 0 et en +∞.

2. Calculer f ′(x). Vérifier que f ′(x)= g1(x)

2x p x .

3. Dresser le tableau de variations de f .

4. Déterminer lim x→+∞

[ f (x)−

p x ] . Que peut-on déduire pour C ?

5. Préciser les positions relatives de C et C0.

6. Dessiner C et C0.

III. Étude de la suite (Un) définie par

Un = n

k=0

1

n f

( 1+

k

n

) .

1. Soit J = ∫2

1 f (x)dx =

∫2

1

2x− lnx 2 p x

dx.

a. Calculer ∫2

1

lnx

2 p x dx à l’aide d’une intégration par parties.

b. En déduire J .

2. Soit k un entier naturel tel que : 06 k 6 n−1. En utilisant les variations de f sur [1 ; +∞[, montrer que :

1

n f

( 1+

k

n

) 6

∫2

1 f (x)dx 6

1

n f

( 1+

k+1 n

) .

3. En déduire que :Unf (2)

n 6 J 6Un

f (1)

n ,

puis : J + f (1)

n 6Un 6 J +

f (2)

n et lim

n→+∞ Un .

Amérique du Nord 2 juin 1994

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