Exercices sur l'electromagnétisme - examen 2, Examens de Application informatique
Christophe
Christophe3 mars 2014

Exercices sur l'electromagnétisme - examen 2, Examens de Application informatique

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Exercices d’informatique sur l'electromegnétisme - examen 2. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: exercices.
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##,le__é; ;=11.,:: sru*\§* { [FB

ENSEIR MATMEC BûRÜEAI.J

B A X

Année 2011-2012 1è" session

ErrcrRouaGNETISME PH1O1

Varcnrr Vrcrun-qs

Filière : Electronique Année : 1A... Semesre : 55.

Date de l'examen : 1610112012 Durée de l'examen : 2 h

Documents autorisés E] sans document X Calculatrice autorisée X non autorisée E Autre :

SUJET

ExrRcIcB 1 : PnopaGATroN D'u\E o\DE ELECTRoMAGNETIQUE DANS uN GUIDE D,ONDE RECTANGULAIRE

On considère un guide d'onde de section rectangulaire de dimension a x b, avec b : 2.a, rempli d'un diélectrique caractérisé par t et Fo, de longueur infinie (suivant l'axe z), à parois

parfaitement conductrices. On étudie la propagation des modes TEn- de pulsation <» dont

I'amplitude des composantes du champ électrique dans la section droite du guide s'écrit :

EOx=An'' ror1"'*)sin1T4'; Eoy= -Ano sinç'n*)cos1lsr; k: jal**J*+" b-""\ a,"-"' b a a b

Y I Y I 2e,

où A est une constante complexe pour une fréquence et un mode donnés.

1) Justif,rer l'appellation << transverse électrique » pour décrire ces modes de propagation.

t t2 ' ,n\' i ,) 2) Montrer que la condition de propagation s'écrit, l!!) .[+ I - 4toar - ki\a) \bl

Montrer que cette relation peut encore s'écrire +=+- -L avec Àa longueur d'onde deL; ^î) ^;

propagation en espace libre.

Établir I'expression de longueur d'onde de coupure L en fonction de m, n et b.

3) Déterminer la condition sur À6 et sur la fréquence pour qu'il y ait propagation dans le guide.

Calculer l'expression de la fréquence de coupure : f. .

4) Les dimensions d'un guide standard R48 sont : a : 22,15 mm et b : 47,55 mm. I1 est rempli d'air. Calculer dans quelle bande de fréquence il ne pourra propager que le mode fondamental TEor.

5) Même question si le guide est rempli d'un diélectrique sans perte de permittivité e, : 2,25.

p. t/4

ExrRcrcB 2: FoxcUoNNEMENT D'uN SATELLITE DE coMMUNICATIoNS

L'ionosphère est une couche atmosphérique située à très haute altitude (au delà de 60km)

constituée d'un plasma (gaz ionisé). Par la suite nous assimilerons ceffe couche à w gaz ionisé (plasma homogène), peu dense, constitué d'électrons libres § électrons libres par *' , d" masse m, de charge -e) et d'ions positifs (de masse M, de charge +e) et globalement neutre. Enfin nous

supposerons que dans ce gaz raréfré les interactions entre les particules chargées peuvent être

négligées et que sa permittivité diélectrique et sa perméabilité magnétique sont égales à celles du

vide. On donne :

e: 1,6 10-le C; m:0,91 10-30 kg; M: I,67 10'27 kg; On considère une OEM plane monochromatique (pulsation or) polarisée rectilignement suivant une

direction x'Ox qui se propage dans le plasma suivant une directionz'Oz.

En notation complexe, son champ électrique peut s'exprimer par : E : E6 exp j(ro.t - k.r). e* L) Etude du mouvement des électrons et des ions induit par I'onde électro

On notera v" et f les vitesses (d'ensemble) complexes des électrons et des ions respectivement. On rappelle que le force de Lorentz résultant de l'action des champs sur une particule de charge q se

déplaçant à la vitesse v s'écrit : F : q (E + v n B) a) Calculer les composantes de v" et E (on supposera que leur module est très inférieur à

" -.;ro*'

b) Calculer I'expression complexe de la densité de courant et montrer que la conductivité du

milieupeut être assimilée à : o: +1m.û) 2) Propagation

a) Rappeler les équations de Maxwell pour ce milieu

b) Rappeler les équations de propagation de l'onde électromagnétique

c) Montrer que la relation de dispersion peut se mettre sous la forme sous la forme :

)2 Ë:)rr -eïl

cG)

en exprimant de o, , la pulsation plasma en fonction de e, N, s6 et m.

d) A.N. Calculer la fréquence plasma fr:*

e) Montrer que I'on peut assimiler ce milieu à un diélectrique isotrope linéaire avec une

permittivité complexe que I'on exprimera. En déduire f indice de réfraction complexe q: {-g, 3)[email protected]

p. 2/4

Un satellite artificiel évolue dans le plasma ionosphérique caractérisé par un nombre d'électrons par

unité de volume N:0,3 x 10ls électrons/m3

A quelle condition doit satisfaire la fréquence des ondes électromagnétiques de communication ?

ExpncrcB 3: PnopacATIoN DANs uN MILIEU FAIBLEMENT coNDUCTEUR

On considère un milieu isotrope, linéaire et homogène caractérisé par sa permittivité diélectrique

réelle r', sa perméabilité magnétique p et sa conductivité o.

1) On considère une onde plane monochromatique et polarisée rectilignement suivant Ox.

En notation complexe : E : Eg exp j(cot - k.z) ea, où Eg est une constante réelle. .r'n't

Déterminer I'expression de ! la norrne du vecteu d'onde (complexe dans un milieu dissipatif)

2) Déterminer les composantes de H

3) Dans le cas d'un milieu fàiblement conducteur (o >> eor) montrer que k peut s'écrire k: kO (1-j)

4) Montrer que I'amplitude de l'onde s'atténue lors de la propagation.

5) A la fréquence de 104 MHz utilisée pour les liaisons radio avec les sous-marins, les caractéristiques électriques de l'eau de mer sont : s :4Slm, er: 81, F: Fo

Montrer que l'eau de mer peut être considérée comme un bon conducteur.

On note le facteur d'atténuation de la forme : exp(- f, ); CalcUer a.

Déterminer à quelle profondeur on obtient un affaiblissement de l'onde de -20dB.

Formulaire dtanalyse vectorielle

Soit M un point de I'espace, U(M) et V(M) deux champs scalaires, a(M) et b(M) deux champs vectoriels.

rot(gradU):0 div (rot a ):0 grad (U.V) : U grad V + V grad U div(a n b): b.rot a - a.rot b

div(grad U): V .V

rot (rot a ) : grad (div a ) - À a div( grad U ):

^ U

div( U a) : U div a + (grad U).a rot(U a) : U rot a * ( grad U ) a

U:ÀUOpérateur laplacien :

p. 3/4

En cartésien (e", er, er) : Âu:9, **u*9udx- dy- dz- grad(u) :ft u.,. * àIu e, + *u ", div(a):fi",.. * ar+fia, rot(a): Çï ^,- fiar) e*

+ ffi"-- fi";-r* (* ^, - f,r*1", On rappelle aussi :

tto:4x10-7H/m I €o: ;fuf m.

p. 4/4

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