Exercices sur l’'électronique - examen 2, Examens de Application informatique
Christophe
Christophe3 mars 2014

Exercices sur l’'électronique - examen 2, Examens de Application informatique

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Exercices d’informatique sur l'electronique - examen 2. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: exercices.
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ENSEIRB 1ère année Département Electronique

durée 2H ; documents de cours autorisé 25 janvier 2006

Epreuve de physique pour l’électronique

constante de Planck h = 1:05 10�34 Js masse de l’électron m = 0:91 10�30 kg charge élémentaire e = 1:6 10�19 C

Le but du problème est d’établir la forme de l’interaction d’échange de Heisenberg qui donne lieu au phénomène de ferromagnétisme, à la base de tous les dispositifs de stockage de masse en informatique.

Dans un cristal de fer considérons deux atomes voisin dans le réseau cristallin et considérons un électron périphérique de chacun des atomes. Ces deux électrons vont rester con…nés dans une même région d’espace qui est celle qu’occupent les deux atomes. Les propriétés du système constitué par les deux électrons vont donc être contraintes par le principe d’exclusion de Pauli. Nous allons étudier de quelle façon.

Pour modéliser les forces de con…nement qui s’appliquent aux électrons nous allons utiliser le modèle du puits de potentiel in…ni unidimensionnel entre les abscisse (�a=2; a=2) où a est une distance caractéristique du réseau cristallin ; pour les ap- plications numériques on prendra a = 8 10�10 m = 8A. On cherche les états stationnaires d’énergie E (positive) d’un électron dans le puits de potentiel ci-contre (x; t) = (x) e�iEt=h.

Du fait de la symétrie du potentiel on va rechercher les fonctions (x) qui ont une parité dé…nie (soit paires soit impaires).

1. Montrer que les solutions de l’équation de Schrödinger n(x) et les énergies correspondantes fEng sont de la forme (pour �a=2  x  a=2) :

n(x) = q

2 a cos

� n xa

 n = 1; 3; 5:::

n(x) = q

2 a sin

� n xa

 n = 2; 4; 6:::

En = 2h2

2ma2 n2 n  1

Pour quali…er complètement l’état de l’électron il faut prendre en compte son spin sz qui peut prendre les valeurs 12h. L’état complet d’un électron (état dynamique + état de spin) est décrit par le couple de nombre quantiques (n; sz). Pour le représenter on utilise le diagramme d’énergie habituel où l’état dynamique n est représenté par le niveau associé En et le spin par une ‡èche pointant vers le haut (sz = 12h) ou vers le bas (sz = �

1 2h).

2. On cherche à déterminer les états de plus basse énergie du système de deux électrons.

1

(a) Parmi les états représentés sur le diagramme ci-dessous, quels sont ceux qui sont au- torisés?

(b) Quelle est leur énergie (on donnera le résultat sous forme littérale en fonction de  =  2h2

2ma2

et en valeur numérique( en électron-volt))?

3. On va construire les fonctions d’onde associées aux états à deux électrons ci-dessus. Les fonctions d’onde complètes des états à un électrons (n; sz) sont de la forme n  où n est la fonction d’onde dynamique à une particule dé…nie à la question 1 et  la fonction d’onde de spin qui prend les valeurs + ou � selon que sz = +

1 2h ou �

1 2h: Les deux électrons étant

supposés sans interaction les états du système sont construits à partir de combinaisons de produits d’états à un électron : n(x) m(y)

(1)  

(2) 0 où x et y sont les coordonnées spatiales

relatives à chaque électron.

Puisque l’électron est un fermion, ces combinaisons, notées  0

nm(x; y); doivent être com- plètement antisymétriques dans l’échange des états individuels dynamiques et de spin.

 0

nm(x; y) = �  0

mn(x; y)

Ces fonctions d’onde se factorisent en une composante spatiale et une composante de spin ayant chacune sa propre symétrie telle que le total soit antisymétrique :

 0

nm(x; y) = nm(x; y) (1;2) 0

(a) Etablir que l’état de plus basse énergie (état fondamental) du système des deux électrons est de la forme

+�11 (x; y) = 1(x) 1(y)

 1p 2

h  (1) + 

(2) � � 

(1) � 

(2) +

i (1)

(le facteur 1p 2 est là pour assurer la normalisation de l’état).

A(ux) quel(s) des diagrammes de la question 2 cet état correspond-il ?

2

(b) Justi…er que l’état de plus basse énergie dans lequel les spins des deux électrons sont parallèles est de l’une ou l’autre forme ci-dessous :

++12 (x; y) = 1p 2 f 1(x) 2(y)� 2(x) 1(y)g

(1) + 

(2) + (2)

��12 (x; y) = 1p 2 f 1(x) 2(y)� 2(x) 1(y)g

(1) � 

(2) � (3)

Quels diagrammes de la question 2 ces fonctions d’onde décrivent-elles ?

4. On dé…nit la distance moyenne entre les deux électrons quand le système est dans un état dynamique décrit par la fonction nm(x; y) (partie spatiale de la fonction d’onde complète 

0 nm(x; y)) par

dnm =

sZ a=2 �a=2

Z a=2 �a=2

(x� y)2 j nm(x; y)j2 dxdy

En déduire la valeur numérique de la distance moyenne entre les deux électrons quand ils sont

(a) dans l’état fondamental eq.(1)

(b) dans l’état excité eq.(2)

5. Les électrons sont des particules chargées et ils sont donc soumis à la force électrostatique de Coulomb.

(a) Calculer l’énergie potentielle électrostatique du système des deux électrons quand il est dans l’état fondamental puis dans l’état excité eq.(2). On rappelle que l’énergie potentielle électrostatique de deux charges q et q0 séparées

d’une distance r est donnée par (en unité SI) : EC = 9 109 qq0

r :

(b) Calculer l’énergie totale du système des deux électrons (potentielle + cinétique) dans chacun des deux états eqs.(1) et (2).

(c) En déduire que le système se trouvera préférentiellement dans un état où les deux spins sont alignés.

C’est cette tendance à l’alignement qui dans certaines circonstance favorisera l’apparition de zones où tous les spins, et de là tous les moments magnétiques des ions, seront orientés dans une même direction, créant une aimantation.

Table d’intégrales Z =2 �=2

dx

Z =2 �=2

(x� y)2 cos2 x cos2 y dy = 1 24 4 � 1

4 2Z =2

�=2 dx

Z =2 �=2

(x� y)2 cos2 x sin2 2y dy = 1 24 4 � 5

32 2Z =2

�=2 dx

Z =2 �=2

(x� y)2 cosx sin 2x cos y sin 2y dy = �128 81

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