Exercices sur l’ensemble des nombres complexes, Exercices de Logique mathématique

Exercices sur l’ensemble des nombres complexes, Exercices de Logique mathématique

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Exercices de sciences mathématiques sur l’ensemble des nombres complexes. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction, l’axe radical, l’équation du cercle.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Lille juin 1970 \

EXERCICE 1

Résoudre, dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation suivante :

(1− i)x2−2x − (11+3i)= 0.

EXERCICE 2

On considère la fonction

x 7−→ y = 1+Logx

x ,

où la notation Log x désigne le logarithme népérien de x. Étudier ses variations et construire avec précision sa représentation graphique (C ) (le repère d’axes x′Ox, y ′Oy sera choisi orthonormé, l’unité mesurant 4cm. On déterminera, en particulier, les points suivants de (C ) : M1 d’abscisse Xl’ intersection de (C ) et de l’axe xx, M2 d’abscisse x2, point en lequel la tangente passe par l’origine, M3, d’abscisse x3, point en lequel la tangente est parallèle à xx, M4 d’abscisse x4, point en lequel la dérivée seconde s’annule. Vérifier que les quatre nombres x1,x2,x3 et x4 constituent une progression géomé- trique.

EXERCICE 3

On considère un triangle MAB et, H désignant le pied sur AB de la hauteur issue de M, on appelle P et Q les pieds des perpendiculaires menées de H sur les droites MA et ME.

Partie A

1. Démontrer que les quatre points A, B, P et Q sont situés sur un même cercle, (C )′ et que le point M amême puissance par rapport au cercle (C ) et au cercle de centre O, milieu de AB, passant par H.

Déterminer l’axe radical de ces deux cercles.

2. La lettre C désignant le centre du cercle (C ), établir la relation

(1) HA ·HB= 2OC ·HM.

Partie B

Lafigure précédente est étudiée dansun repère orthonorméassocié aux axes x ′Ox et y ′Oy , l’axe y y contenant les points A et B, dont les coordonnées sont ainsi A(O ; a) et B(0 ; −a), a désignant un nombre positif donné. On désigne par

(

x0, y0 )

les coordonnées deM(x0 6= 0).

1. En utilisant la relation (1), écrire l’équation du cercle (C ), puis l’équation du cercle de diamètre HM; en déduire que l’équation de la droite PQ est

(

x20 − y 2 0 +a

2)x +2x0y0y x0 (

y20 +a 2)= 0.

(On pourra utiliser le fait que PQ est axe radical de ces deux cercles.)

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

2. En déduire l’ensemble des points M pour lesquels la droite PQ est parallèle à l’axe xx.

3. On donne le point K ( a

2 ; 0

)

et l’on impose à la droite PQ de passer par ce point

K.

a. Écrire l’équation de la courbe (E ), ensemble des points M correspon- dants.

b. Étudier les variations et la représentation graphique de la fonction f

x f

7−→ y = f (x)= p

a x a

p 2x +a

c. En déduire la construction de la courbe (E ).

d. On propose de calculer l’intégrale

a

ℓ f (x)dx,

est un nombre donné tel que − a

2 < < a.

On montrera pour cela qu’il existe deux nombres constants, α et β tels que

x a p 2x +a

=α p 2x +a +

β p 2x +a

En déduire que l’aire du domaine compris entre la courbe (E ), l’asymp- tote de cette courbe et son point double (x = a) a une valeur finie, que l’on calculera.

1.Onconsi dèr el a f oncti on f mdé f i ni epour xréel par f m(x)= eXmx,mét antunpar amètr eréel posi t i f .S le graphique de fm par rapport à un repère orthonormé. a) Étudier les variations de la fonction fm ; montrer que, quel que soit m, la courbe (Cm) admet une asymptote, dont on déterminera l’équation. Déterminer les coordonnées du point M corres- pondant au minimum de la fonction fm’ b) Trouver, quand m varie, l’équation de l’ensemble (Γ) des points M et construire l’ensemble (Γ). Il. Ondonnelesnombr esréel s6etcptel sque et 1t 2 < cp < 1t. On considère les nombres complexes Zl = cos 26 + i sin 26 et Z2 = cos 2cp + i sin 2cp. Calculer le module et un argument de chacun des nombres com- plexes (1- Zl) et (1 + Z2) ; en déduire lemodule et l’argument du nombre complexe 1- z1 z=–· 1 + Z2 Ill. S oi tunr epèr eor thonor méd axesOx,O yet aunnombr eréeldonnéstr i ct ement posi t i f .Ond par (D)et(D ′)lespar allèlesàO ymenéesr especti vement par lespoi nt s A(2a,0)et A′ (a,0).A.B.2,19702 f

Lille 2 juin 1970

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