Exercices sur la modélisation mathématique 12, Exercices de Modélisation mathématique et simulation
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Exercices sur la modélisation mathématique 12, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercices sur la modélisation mathématique - les vecteurs - 12. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer les coordonnées du produit vectoriel, Déterminer les coordonnées de O′.
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[ Baccalauréat série S Nouvelle – Calédonie \ décembre 2000

Exercice 1 5 points

Dans l’espace muni du repère orthonormal direct (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k

)

, on considère les

points : A(4 ; 0 ; 0), B(2 ; 4 ; 0), C(0 ; 6 ; 0), S(0 ; 0 ; 4), E(6 ; 0 ; 0) et F(0 ; 8 ; 0).

1. Réaliser une figure comportant les points définis dans l’exercice que l’on complètera au fur et à mesure.

2. Montrer que E est le point d’intersection des droites (BC) et (OA).

3. On admettra que F est le point d’intersection des droites (AB) et (OC).

a. Déterminer les coordonnées du produit vectoriel −→ SE ∧

−→ EF . En déduire

l’équation cartésienne du plan (SEF).

b. Calculer les coordonnées dupoint A′ barycentre des points pondérés (A, 1) et (S, 3).

c. On considère le plan P parallèle au plan (SEF) et passant par A′. Vérifier qu’une équation cartésienne de P est 4x+3y +6z−22 = 0.

4. Le plan P coupe les arêtes [SO], [SA], [SB] et [SC] de la pyramide SOABC res- pectivement aux points O′, A′, B′ et C′.

a. Déterminer les coordonnées de O′.

b. Vérifier que C′ a pour coordonnées

(

0, 2, 8

3

)

.

c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (SB), en dé- duire les coordonnées du point B′.

5. Vérifier que O′A′B′C′ est un parallélogramme.

Exercice 2 5 points

1. a. Résoudre dans C l’équation

z2−2z+2= 0.

Préciser le module et un argument de chacune des solutions.

b. En déduire les solutions dans C de l’équation

(−iz+3i+3)2−2(−iz+3i+3)+2= 0.

2. Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→u , −→v )

d’unité gra- phique 2 cm. On considère les points A, B et C d’affixes respectives

zA = 1+ i, zB = zA, zC = 2zB.

a. Déterminer les formes algébriques de zB et zC.

b. Placer les points A, B et C.

c. Montrer que les points A, B et C appartiennent au cercle (C ) de centre I d’affixe 3 et de rayon

p 5.

d. Calculer zC−3

zA−3 ; en déduire la nature du triangle IAC.

e. Le point E est l’image du point O par la translation de vecteur 2 −→ IC . Déter-

miner l’affixe du point E.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

f. Le point D est l’image du point E par la rotation de centre O et d’angle π

2 .

Déterminer l’affixe du point D.

g. Démontrer que les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires.

Exercice 2 spécialité

Dans tout l’exercice x et y désignent des entiers naturels non nuls vérifiant x < y . S est l’ensemble des couples (x, y) tels que PGCD(x ; y)= y x.

1. a. Calculer le PGCD(363 ; 484).

b. Le couple (363 ; 484) appartient-il à S ?

2. Soit n un entier naturel non nul ; le couple (n ; n+1) appartient-il à S ?

Justifier votre réponse.

3. a. Montrer que (x ; y) appartient à S si et seulement si il existe un entier naturel k non nul tel que x = k(y x) et y = (k+1)(y x).

b. En déduire que pour tout couple (x ; y) de S on a :

PPCM (x ; y)= k(k+1)(y x).

4. a. Déterminer l’ensemble des entiers naturels diviseurs de 228.

b. En déduire l’ensemble des couples (x ; y) de S tels que

PPCM (x ; y)= 228.

Problème 10 points

Dans tout le problème le plan est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ı , −→)

d’unité graphique 2 cm.

Partie A

On considère la fonction numérique u définie sur R par

u(x)= √

x2+1− x

et on désigne par (C ) sa courbe représentative.

1. a. Déterminer la limite de u en −∞.

b. Montrer que, pour tout x réel, on a u(x)= 1

p x2+1+ x

.

En déduire la limite de u en +∞.

2. a. Montrer que [u(x)+2x] tend vers 0 quand x tend vers −∞.

b. Montrer que pour tout x réel, on a u(x)> 0. En déduire le signe de

[u(x)+2x].

c. Interpréter graphiquement ces résultats.

3. a. Montrer que la dérivée de la fonction u est définie sur R par

u′(x)= −u(x) p x2+1

.

b. Étudier les variations de la fonction u.

4. Tracer la courbe (C ) et son asymptote oblique.

Nouvelle–Calédonie 2 décembre 2000

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Partie B

On considère la fonction f définie sur R par

f (x)= ∫x

0

−1 p t2+1

dt .

et (Γ) sa courbe représentative.

1. Justifier que pour tout x réel on a f (x)= lnu(x) en utilisant la question A 3. a.

2. Déterminer les limites de f en −∞ , puis en +∞ et étudier les variations de f .

3. a. Déterminer une équationde la droite (T) tangente à la courbe (Γ) aupoint d’abscisse 0.

b. On considère la fonction ϕ définie sur R par ϕ(x)= f (x)+ x. Montrer que ϕ est croissante sur R et que ϕ(0)= 0. En déduire la position de ta courbe (Γ) par rapport à la tangente (T).

4. Tracer sur le même graphique la courbe (Γ) et la tangente (T).

Partie C

1. On pose α= 1−e2

2e , montrer que u(α)= e et en déduire f (α).

2. À l’aide d’une intégration par parties, calculer ∫0

α

ln ( √

x2+1− x )

dx.

3. Soit V une primitive de u et g la fonction définie sur R par g (t)= et −e−t

2 .

a. Montrer que u

(

et −e−t

2

)

= e−t .

b. Justifier que V g est dérivable sur R et que sa dérivée est définie par

(

V g )′ (t)=

1+e−2t

2 .

c. En déduire que V (0)−V (α)= (V g )(0)− (V g )(−1)= ∫0

−1

1+e−2t

2 dt ,

puis que ∫0

α

u(x)dx = e2+1

4 .

4. On admet que pour tout x réel, f (x)<u(x).

Déduire des questions précédentes l’aire, en unité d’aires, du domaine limité par les courbes (C ), (Γ) et les droites d’équation x =α et x = 0.

Nouvelle–Calédonie 3 décembre 2000

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