Exercices sur la modélisation mathématique - 5, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercices sur la modélisation mathématique sur le triangle isocèle rectangle - 5. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le barycentre G des points A, B, C, la symétrie vectorielle orthogonale.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Maroc \ juin 1982

EXERCICE 1 4 points

Dans le plan affine euclidien E, on considère le triangle ABC isocèle rectangle en A tel que

−−→ AB

∥=

−−→ AC

∥= 3a (a ∈R⋆+).

1. Déterminer le barycentre G des points A, B, C affectés respectivement des co- efficients 4, - 3, 2. Construire ce point.

2. Soit f : E → R

M 7−→ f (M)= 4 ∥

−−→ MA

2 −3

−−→ MB

2 +2

−−→ MC

2 . .

Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que

f (M)=−36a2.

Représenter cet ensemble.

EXERCICE 2 4 points

Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension trois, rapporté à une base ortho-

normée (

−→ ı ,

−→ ,

−→ k )

et soit f l’endomorphisme de E défini par.

f (

−→ ı )

= f (

−→

)

= f (

−→ k )

= −→ ı +

−→ +

−→ k .

1. Déterminer l’ensemble image Im f et le noyau Ker f de l’endomorphisme f . Montrer que Im f et Ker f sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires orthogonaux de l’espace vectoriel E.

2. a. Montrer que f f = 3 f .

b. Démontrer que pour tout vecteur −→ u de E,

−→ u ∈ Im f ⇐⇒ f

(

−→ u )

= 3 −→ u .

3. On désigne par idE l’application identique de E. Montrer qu’on peut trouver un réel α non nul tel que l’endomorphisme g = α f − idE soit une involution. Montrer alors que g est une symétrie vectorielle orthogonale par rapport à Im f .

PROBLÈME 12 points

Soit P un plan affine euclidien orientémuni d’un repère orthonorméR = (

O, −→ ı ,

−→

)

direct. On appelle P , le plan vectoriel associé à P.

Partie A

Pour tout réel a non nul, on considère l’application affine Fa de P dans P qui au point M d’affixe z = x+ iy associe le point M ′ d’affixe z ′ tel que

z ′ = iaz+2a(1− i)

avec z = x− iy .

Terminale C A. P. M. E. P.

1. Donner suivant les valeurs de a l’ensemble des points invariants de Fa .

2. Pour quelles valeurs de a, Fa est-elle une isométrie de P ?

Dans chaque cas préciser les éléments caractérisant Fa .

Partie B

Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie par

f (x)= Log

(

e2x +3

ex −1

)

.

On appelle (Γ) sa courbe représentative dans le plan affine P.

1. Vérifier que ∀x R⋆+ , f (x)= x+Log

[

1+3e−2x

1−e−x

]

.

Étudier la fonction f . Préciser les asymptotes à Γ. Construire Γ (unité : 2 cm).

2. On appelle g la restriction de f à l’intervalle I = [Log3 ; +∞[.

Montrer que g est une bijection de I sur un intervalle J à préciser.

Énumérer les propriétés de g−1.

Sans calculer (

g−1 )

(x) déterminer (

g−1 )′ (Log7) (nombre dérivé de

(

g−1 )

au point Log 7).

3. α étant un réel strictement positif, résoudre f (x)= f (α).

4. Étudier les variations de la fonction numérique définie sur R⋆ + par

v(x)= Log

(

e2x +3

ex −1

)

(ne pas construire sa courbe).

Calculer v(Log 3).

5. Soit F = g−1 ◦ f .

Donner l’ensemble de définition de F .

Exprimer F (x) lorsque x ∈R⋆ + .

Partie B

On considère le mouvement d’un pointm de P dont les coordonnées sont données à l’instant t par

x = Log

(

t +2+ 4

t

)

+2

y = Log(t +1)−2.

Soit (γ) la trajectoire dem lorsque t décrit R⋆+.

1. Donner une équation cartésienne de la courbe (γ′) transformée de (γ) par l’application F1 (de la partie A 2. avec a = 1).

2. À l’aide de la courbe (Γ) tracée en B, construire la trajectoire (γ).

Déterminer les asymptotes à (γ).

3. Donner le nombre de points de (γ) d’abscisse 4.

La courbe (γ) est-elle la courbe représentative d’une fonction numérique ?

Maroc 2 juin 1982

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