Exercices sur la modélisation mathématique 6, Exercices de Modélisation mathématique et simulation
Eusebe_S
Eusebe_S11 avril 2014

Exercices sur la modélisation mathématique 6, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercices sur la modélisation mathématique - Étude de la fonction g - 6. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Étude d’une courbe paramétrée, Tracer (Γ).
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[ Baccalauréat S 2000 \

L’intégrale d’avril à décembre 2000

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Pondichéry avril 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Amérique du Nord juin 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Antilles-Guyane juin 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 Asie juin 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Centres étrangers juin 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Métropole juin 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 La Réunion juin 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26 Liban juin 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Polynésie juin 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32 Antilles-Guyane septembre 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

France septembre 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Polynésie septembre 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

Nouvelle-Calédonie décembre 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Amérique du Sud décembre 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Tapuscrit : Denis Vergès :

L’intégrale S 2000 A. P. M. E. P.

2

[ Baccalauréat S Pondichéry juin 2000 \

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

Un professeur se trouve en possession de 5 clefs de salles. Il se tient devant une porte et il sait que, parmi ses 5 clefs, 2 n’ouvrent pas la porte parce qu’elles sont défectueuses mais les autres le peuvent. Il veut alors les tester toutes, une à une. Le choix des clefs est effectué au hasard et sans remise. On appelle clef numéro x la clef utilisée au x-ième essai.

1. OnappelleD1 l’évènement : « La clef numéro 1 n’ouvre pas la porte ». Calculer sa probabilité.

2. OnappelleD2 l’évènement : « La clef numéro 2 n’ouvre pas la porte ». Calculer la probabilité que l’évènement D2 se réalise, sachant que l’évènement D1 est réalisé.

En déduire la probabilité de l’évènement D1 ∩D2. On pourra, pour la suite de l’exercice, s’aider d’un arbre pondéré.

3. Quelle est la probabilité de l’évènement : « Les clefs numéros 1 et 2 ouvrent la porte et la clef numéro 3 ne l’ouvre pas » ?

4. Pour 1 6 i < j 6 5, on note (i ; j ) l’évènement : « Les clefs qui n’ouvrent pas la porte sont les clefs numéros i et j », et P (i ; j ) la probabilité de cet évènement.

a. Calculer P (2 ; 4).

b. Calculer P (4 ; 5).

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

; unité gra-

phique 4 cm. On appelle B le point d’affixe i et M1 le point d’affixe :

z1 = p 3−1 2

(1− i).

1. Déterminer le module et un argument de z1.

2. Soit M2 le point d’affixe z2, image deM1 par la rotation de centre O et d’angle π

2 .

Déterminer le module et un argument de z2.

Montrer que le point M2 est un point de la droite (D) d’équation y = x. 3. Soit M3 le point d’affixe z3, image de M2 par l’homothétie de centre O et de

rapport p 3+2.

a. Montrer que z3 = p 3+1 2

(1+ i ).

b. Montrer que les points M1 et M3 sont situés sur le cercle de centre B et de rayon

p 2.

4. Construire, à la règle et au compas, les points M1, M2 et M3 en utilisant les questions précédentes ; on précisera les différentes étapes de la construction.

5. À tout point M du plan d’affixe z (distinct de B), on associe le point M ′, d’af-

fixe Z telle que Z = 1

i− z .

Déterminer et construire l’ensemble (E) des points M du plan (M distinct de B) tels que M ′ appartienne au cercle de centre O et de rayon 1.

L’intégrale S 2000 A. P. M. E. P.

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité

Dans tout l’exercice, n désigne un entier naturel non nul.

1. a. Pour 16n6 6, calculer les restes de la division euclidienne de 3n par 7.

b. Démontrer que, pour tout n, 3n+6−3n est divisible par 7. En déduire que 3n et 3n+6 ont le même reste dans la division par 7.

c. À l’aide des résultats précédents, calculer le reste de la division eucli- dienne de 31000 par 7.

d. De manière générale, comment peut-on calculer le reste de la division euclidienne de 3n par 7, pour n quelconque ?

e. En déduire que, pour tout entier naturel n,3n est premier avec 7.

2. SoitUn = 1+3+32 +·· ·+3n−1 = i=n−1 ∑

i=0 3i , où n est un entier naturel supérieur

ou égal à 2.

a. Montrer que siUn est divisible par 7, alors 3n −1 est divisible par 7. b. Réciproquement, montrer que si 3n − 1 est divisible par 7, alors Un est

divisible par 7.

En déduire les valeurs de n telles queUn soit divisible par 7.

PROBLÈME 11 points

Partie A

⋆ Étude de la fonction g : x 7→ ln (

3+ x 3− x

)

Soit la fonction g définie sur ]−3 ; 3[ par : g (x)= ln (

3+ x 3− x

)

.

1. Étudier la parité de la fonction g .

2. a. Calculer les limites de g en −3 et en 3. b. Étudier le sens de variation de g sur [0 ; 3[.

Dresser son tableau de variation sur ]−3 ; 3[.

3. soit (

O, −→ ı ,

−→ )

un repère orthonormal d’unité graphique 4 centimètres. Soit

(C ) la courbe représentative de la fonction g dans ce repère.

a. Déterminer une équation de la tangente (T ) à (C ) au point d’abscisse 0.

b. Tracer dans le repère la courbe (C ) et sa tangente (T ).

4. Étudier le signe de g (x) suivant les valeurs de x.

5. a. Calculer la dérivée de la fonction x 7→ xg (x). b. Calculer l’aire, exprimée en cm2, de la portion de plan délimitée par la

courbe (C ), l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 0 et x = 1. On donnera la valeur exacte de cette aire, puis une valeur approchée aumm2

près.

Partie B

⋆ Étude d’une courbe paramétrée

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

d’unité graphique 4 centi-

mètres. Soit la courbe paramétrée (Γ) définie par :

Pondichéry 4 juin 2000

L’intégrale S 2000 A. P. M. E. P.

{

x(t) = t (

3− t2 )

y(t) = t g (t) pour t ∈ [−2 ; 2].

g désigne la fonction étudiée dans la partie A. On noteM(t) le point de coordon- nées (x(t) ; y(t).

1. a. Comparer d’une part x(t) et x(−t) et d’autre par y(t) et y(−t). b. Par quelle transformation peut-on passer de M(t) àM(−t) ?

En déduire que (Γ) admet un axe de symétrie que l’on précisera.

2. Étudier la fonction x : t 7→ t (

3− t2 )

et dresser son tableau de variations sur [0 ; 2].

3. En utilisant la partie A., montrer que la fonction t 7→ y(t) est strictement croissante sur l’intervalle [0 ; 2].

4. Dresser le tableau des variations conjointes des fonctions t 7→ x(t) et t 7→ y(t) sur [0 ; 2].

5. Pour quelles valeurs de t l’abscisse deM(t) est-elle nulle ?

Préciser alors les ordonnées des points correspondants de (Γ).

6. Tracé de (Γ)

a. Placer, dans le repère (

O, −→ ı ,

−→ )

, les pointsM(0),M(1),M (p

3 )

etM(2) qui

correspondent respectivement aux valeurs 0, 1, p 3 et 2 du paramètre t .

b. Préciser un vecteur directeur des tangentes à (Γ) aux points M(0) et M(1) et tracer ces tangentes.

c. Tracer (Γ).

Pondichéry 5 juin 2000

[ Baccalauréat S Amérique du Nord juin 2000 \

EXERCICE 1 5 points

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ u ,

−→ v )

.

Dans tout l’exercice, z est un nombre complexe non nul.

À tout point M d’affixe z, on associe le point M ′ d’affixe z ′ = − 1

z , puis le point I

milieu du segment [MM ′]. L’affixe de I est donc 1

2

(

z− 1

z

)

.

Note : les questions 2, 3 et 4 sont largement indépendantes.

1. a. Donner une relation entre les modules de z et z ′.

Donner une relation entre leurs arguments.

b. Sur la figure ci-dessous est placé le point M1 d’affixe z1 sur le cercle de centre O et de rayon 2.

Expliquer comment on peut obtenir géométriquement le point M ′1, puis le point I1 milieu du segment [M1M ′1]. Effectuer cette construction.

O

M1

M2

−→ u

−→ v

2. Pour cette question, θ est un réel et M est le point d’affixe z = e iθ . a. Calculer sous forme algébrique l’affixe de I .

b. Sur la figure ci-dessous est placé le point M2 d’affixe z2 sur le cercle C , de centre O et de rayon 1. Expliquer comment, en utilisant le résultat de la question 2 a, on peut obtenir géométriquement le point I2 milieu du segment [M2M ′2] .

Effectuer cette construction.

Donner (sans justification) l’ensemble décrit par I lorsque M décrit C .

3. Dans cette question, M est un point du plan, distinct de O.

a. Déterminer les points M du plan complexe pour lesquels M et I sont confondus.

L’intégrale S 2000 A. P. M. E. P.

b. Développer (z−2i)2+3. Déterminer les points M du plan complexe pour lesquels l’affixe de I est 2i.

4. Dans cette question, M est un point du plan, distinct de O, d’affixe

z = x+ iy (x et y réels). a. Exprimer en fonction de x et y la partie réelle et la partie imaginaire de

l’affixe de I .

b. Déterminer l’ensemble A des pointsM duplan pour lesquels I appartient à l’axe des abscisses.

c. Déterminer l’ensemble B des pointsM duplan pour lesquels I appartient à l’axe des ordonnées.

EXERCICE 2 5 points Enseignement obligatoire

O A

BC

D E

FG

Soit le cube OABCDEFG représenté par la figure ci-dessus.

L’espace est orienté par le repère orthonormal direct (

O ; −−→ OA ,

−−→ OC ,

−−→ OD

)

. On désigne

par a un réel strictement positif.

L, M et K sont les points définis par −−→ OL = a−−→OC , −−−→OM = a−−→OA , et −−→BK = a−→BF .

1. a. Calculer les coordonnées du vecteur −−−→ DM ∧−−→DL .

b. En déduire l’aire du triangle DLM .

c. Démontrer que la droite (OK ) est orthogonale au plan (DLM).

2. On note H le projeté orthogonal de O (et de K ) sur le plan (DLM).

a. Démontrer que −−−→ OM ·−−→OK =−−→OH ·−−→OK .

b. Les vecteurs −−→ OH et

−−→ OK étant colinéaires, on note λ le réel tel que

−−→ OH =λ−−→OK . Démontrer queλ=

a

a2+2 . Endéduire queH appartient au segment [OK ].

c. Déterminer les coordonnées de H .

d. Exprimer −−→ HK en fonction de

−−→ OK . En déduire que HK =

a2−a+2 p a2+2

.

Amérique du Nord 7 juin 2000

L’intégrale S 2000 A. P. M. E. P.

3. À l’aide des questions précédentes, déterminer le volumedu tétraèdreDLMK en fonction de a.

EXERCICE 2 5 points Enseignement de spécialité Dans le plan orienté, on considère un triangle direct OAB, rectangle et isocèle en O.

On a donc ( −−→ OA ,

−−→ OB )=

π

2 [2π].

On note RA et RB les rotations de centres respectifs A et B et de même angle π

2 et SO

la symétrie de centre O. On place un point C, non situé sur la droite (AB) , on trace les carrés BEDC et ACFG

directs. On a donc ( −−→ BE ,

−−→ BC )=

π

2 [2π] et (

−−→ AC ,

−−→ AG )=

π

2 [2π].

1. a. Déterminer S(AO) ◦S(AB) composée des réflexions d’axes (AB) et (AO). b. En écrivant RB sous la forme d’une composée de deux réflexions, démon-

trer que RA ◦RB = SO. 2. a. Déterminer l’image de E par RA ◦RB.

b. En déduire que O est le milieu du segment [EG].

c. On note RF et RD les rotations de centres respectifs F et D et de même angle.

Étudier l’image de C par la transformation RF SO ◦RD . Déterminer la transformation RF ◦SO ◦RD .

d. Placer H le symétrique deD par rapport à O.

Démontrer que RF (H)=D. Démontrer que le triangle FOD est rectangle et isocèle en O.

PROBLÈME 10 points

Soit f la fonction définie sur [0, +∞[ par : 

f (x) = x2+ x+1

x2 e−

1 x pour x > 0

f (0) = 0.

OnnoteC la courbe représentative de f dansun repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

(unité

graphique 5 cm).

Partie A

1. Démontrer que la droite (∆) d’équation y = 1 est asymptote à C .

2. Pour x > 0 , calculer f (x)− f (0)

x . Étudier la limite de cette expression quand

x tend vers 0. (on pourra utiliser, pour n entier naturel non nul,

lim u→+ ∞

une−u = 0. Que peut-on en déduire pour la fonction f ? Que peut-on en déduire pour la courbe C ?

3. Démontrer que pour tout x de ]0,+∞[ on a f ′(x)= 1− x x4

e− 1 x .

4. Étudier les variations de la fonction f et dresser le tableau des variations de f .

Partie B

On note g la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par g (x)= f (x)− x f ′(x).

Amérique du Nord 8 juin 2000

L’intégrale S 2000 A. P. M. E. P.

1. Montrer que dans ]0 ; +∞[, les équations g (x)= 0 et x3+ x2+2x−1 = 0 sont équivalentes.

2. Démontrer que l’équation x3+ x2+2x −1 = 0 admet une seule racine réelle α dont on justifiera un encadrement à 10− 2 près.

3. On pose A = f (α)

α . Encadrer A à 2×10− 1 près (justifier) et montrer que

A = f ′(α). 4. Pour tout a > 0, on note Ta la tangente à C au point d’abscisse a. Montrer

que Ta a pour équation y = Ax. Tracer Ta , puis la courbe C . 5. Déduire des questions précédentes que de toutes les tangentes Ta à C (en

des points d’abscisses non nulles), seule passe par l’origine O.

6. On admettra que est au-dessus de C sur ]0 ; +∞[. a. Par lecture graphique (et sans justification), donner le nombre de solu-

tions de l’équation f (x)=m , suivant le réelm donné. b. Par lecture graphique (et sans justification), donner le nombre de solu-

tions de l’équation f (x)=mx selon le réelm donné.

Partie C

1. Pour n ∈N* on pose un = ∫1

1 n

f (x) dx. Sans calculer explicitement un , déter-

miner le signe de un+1−un . En déduire que la suite (un) est croissante.

2. Démontrer que la fonction h, définie sur ]0 ; +∞[ par h(x) = (x +1)e− 1 x est

une primitive de f sur ]0 ; +∞[. 3. Calculer un . Interpréter graphiquement le résultat.

4. Étudier la convergence de la suite (un ).

Amérique du Nord 9 juin 2000

[ Baccalauréat S Antilles-Guyane juin 2000 \

Exercice 1 4 points

Un groupe de vingt-deux personnes décide d’aller au cinéma deux samedis de suite pour voir deux films A et B. Le premier samedi, huit personnes vont voir le film A, et les autres vont voir le film B. Le deuxième samedi, quatre personnes décident de revoir le film A, deux vont revoir le film B, et les autres vont voir le film qu’elles n’ont pas vu la semaine précédente. Après la deuxième séance, on interroge au hasard une personne de ce groupe. On considère les évènements suivants : A1 « la personne interrogée a vu le film A le premier samedi » ; A2 « la personne interrogée a vu le film A le deuxième samedi » ; B1 « la personne interrogée a vu le film B le premier samedi » ; B2 « la personne interrogée a vu le film B le deuxième samedi ».

1. a. Calculer les probabilités suivantes : p(A1) et p(A2).

b. Calculer les probabilités de chacun des évènements suivants :

p(A2/A1), p(A2/B1) et p(A1∩ A2)

c. Reproduire et compléter l’arbre pondéré suivant, en remplaçant chaque point d’interrogation par la probabilité correspondante. Aucune justifica- tion n’est demandée pour cette question.

A1?

A2 ??

B2 ??

B1

? A2 ??

B2 ??

d. Retrouver à partir de l’arbre pondéré que p(A2)= 8

11 .

2. Le prix du billet pour le film A est de 30 F et de 20 F pour le film B .

On appelle X la variable aléatoire égale au coût total, pour la personne inter- rogée, des deux séances de cinéma.

a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X .

b. Déterminer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X .

Exercice 2 5 points Enseignement obligatoire

1. Pour tout nombre complexe z, on pose P (z)= z3−3z2+3z+7. a. Calculer P (− 1) . b. Déterminer les réels a et b tels que pour tout nombre complexe z, on ait :

P (z)= (z+1) (

z2+az+b )

.

c. Résoudre dans C l’équation P (z)= 0.

L’intégrale S 2000 A. P. M. E. P.

2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; −→ u ,

−→ v ).

(Unité graphique : 2 cm.) On désigne par A, B, C et G les points du plan d’af- fixes respectives

zA =−1, zB = 2+ i p 3, zC = 2− i

p 3 et zG = 3.

a. Réaliser une figure et placer les points A, B, C et G.

b. Calculer les distances AB, BC et AC. En déduire la nature du triangle ABC.

c. Calculer un argument dunombre complexe zA− zC zG− zC

. Endéduire la nature

du triangle GAC.

3. Soit (D) l’ensemble des points M du plan tels que :

(

− −−→MA +2−−→MB +2−−→MC )

·−−→CG =+12 (1)

a. Montrer queG est le barycentre du système de points pondérés

{(A, −1) ; (B, 2) ; (C, 2)} .

b. Montrer que la relation (1) est équivalente à la relation −−−→ GM .

−−→ CG =−4 (2).

c. Vérifier que le point A appartient à l’ensemble (D).

d. Montrer que la relation (2) est équivalente à la relation −−→ AM .

−−→ GC = 0.

e. En déduire l’ensemble (D) et le tracer.

Exercice 2 5 points Enseignement de spécialité

Les points A0 =O ; A1 ; . . . ; A20 sont les sommets d’un polygone régulier de centre A, à 21 côtés, de sens direct. Les points B0 =O ; B1 ; B14 sont les sommets d’un polygone régulier de centre B, à 15 côtés, de sens direct.

Soit rA la rotation de centre A et d’angle 2π

21 et rB la rotation de centre B et d’angle

2π

15 .

On définit la suite (Mn ) de points par : — M0 est l’un des points A0, A1, A2, . . . , A20 ; — pour tout entier naturel n, Mn+1 = rA(Mn ).

On définit la suite (Pn) de points par : — P0 est l’un des points B0, B1, B2, . . . , B14 — pour tout entier naturel n, Pn+1 = rB(Pn).

Le but de l’exercice est de déterminer, pour deux cas particuliers, l’ensemble S des entiers naturels n vérifiant :

Mn =Pn =O.

1. Dans cette question, M0 =P0 =O. a. Indiquer la position du point M2000 et celle du point P2000.

b. Déterminer le plus petit entier naturel n non nul tel que Mn =Pn =O. En déduire l’ensemble S.

2. Dans cette question, M0 = A19 et P0 =B10. On considère l’équation (E ) : 7x−5y = 1 avec x ∈Z et y ∈Z. a. Déterminer une solution particulière (a ; b) de (E ).

b. Déterminer l’ensemble des solutions de (E ).

Antilles-Guyane 11 juin 2000

L’intégrale S 2000 A. P. M. E. P.

c. En déduire l’ensemble S des entiers naturels n vérifiant Mn =Pn =O.

Problème 11 points

Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par :

f (x)= x ln (

x2 )

−2x.

On désigne par (C ) sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère or-

thonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

; unité graphique : 1 cm.

Partie A - Étude de f

1. Montrer que, pour x > 0, f (x)= 2x lnx−2x puis que f (x)= 2x ln x

e .

2. a. Étudier la limite de f en +∞. b. Montrer que f est dérivable en tout x > 0 ; calculer f ′(x) pour x > 0. c. Étudier le sens de variation de f sur ]0 ; +∞[ . d. Donner le tableau de variation de f sur ]0 ; +∞[.

3. Déterminer par le calcul l’abscisse du point d’intersection de la courbe (C ) avec l’axe des abscisses.

4. Montrer que l’équation f (x) = 2 admet sur l’intervalle [1 ; 5] une unique so- lution et en donner la valeur décimale arrondie à 10− 2.

Partie B - Calcul d’aires

1. Soit F la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par 

F (0) = 0

F (x) = x2 lnx−2− 3x2

2 si x > 0

a. On admet que lim x→0

x lnx = 0 ; montrer que F est dérivable en 0 et préciser F ′(0).

b. Montrer que, pour tout x appartenant à ]0 ; +∞[, F ′(x)= f (x).

2. On considère pour chaque entier n positif ou nul, la droite Dn d’équation y =nx. On trouvera ci-dessous un tracé de la courbe (C ) et des droitesD0, D1, D2.

Antilles-Guyane 12 juin 2000

L’intégrale S 2000 A. P. M. E. P.

5

10

15

20

-5

5 10 15-5

D0

D1

(C )

D2

a. Déterminer les coordonnées du point In , d’abscisse strictement positive, intersection de (C ) et deDn .

On appelle Pn le point de l’axe des abscisses de même abscisse que In . Placer les points I0, I1, I2, P0,P1,P2 sur la figure donnée en annexe.

b. Déterminer la position relative de (C ) et de Dn pour les abscisses appar- tenant à ]0 ; +∞[.

3. Pour tout n > 1 , on considère le domaine An situé dans le quart de plan défini par x> 0 et y > 0, délimité par (C ), Dn−1 et Dn .

On note an son aire, exprimée en unités d’aire.

a. Faire apparaître les domaines A1 et A2 sur la figure.

b. Calculer l’aire tn du triangle OPn In , en unités d’aire.

c. Calculer l’aire un , en unités d’aire, du domaine situé dans le quart de plan défini par x> 0 et y > 0, délimité par (C ), l’axe des abscisses, et les paral- lèles à l’axe des ordonnées passant par P0 et Pn .

d. Vérifier que l’aire vn en unités d’aire, du domaine situé dans le quart de plan défini par x > 0 et y > 0 , délimité par (C ) , l’axe des abscisses etDn , est vn = tn un = e2 (en −1).

e. Calculer alors an .

4. Montrer que la suite (an) est une suite géométrique. En préciser la raison et le premier terme.

Antilles-Guyane 13 juin 2000

[ Baccalauréat S Asie juin 2000 \

Exercice 1 4 points Commun à tous les candidats

Alice débute au jeu de fléchettes. Elle effectue des lancers successifs d’une fléchette. Lorsqu’elle atteint la cible à un lancer, la probabilité qu’elle atteigne la cible au lan-

cer suivant est égale à 1

3 . Lorsqu’elle a manqué la cible à un lancer, la probabilité

qu’elle manque la cible au lancer suivant est égale à 4

5 . On suppose qu’au premier

lancer elle a autant de chances d’atteindre la cible que de la manquer. Pour tout entier natureln strictement positif, on considère les évènements suivants : An : « Alice atteint la cible au ne coup ». Bn : « Alice rate la cible au ne coup ». On pose Pn = p(An). Pour les questions 1. et 2. on pourra éventuellement utiliser un arbre pondéré.

1. Déterminer p1 et montrer que p2 = 4

15 .

2. Montrer que, pour tout entier naturel n> 2,

pn = 2

15 pn−1+

1

5 .

3. Pour n > 1 on pose un = pn − 3

13 . Montrer que la suite (un ) est une suite

géométrique, dont on précisera le premier terme u1 et la raison q .

4. Écrire un puis pn en fonction de n.

5. Déterminer lim n→+ ∞

pn .

Exercice 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Dans le plan complexe (P ) muni d’un repère orthonormal direct (

O, −→ ı ,

−→ )

, d’unité

2 cm, on considère les points A, B, C et D d’affixes respectives :

zA =−i ; zB = 3 ; zC = 2+3i et zD =−1+2i.

1. Placer sur une figure les points A, B, C et D.

2. a. Interpréter géométriquement lemodule et l’argument du complexe zC− zA zD− zB

.

b. Calculer le complexe zC− zA zD− zB

.

c. Que pouvez-vous conclure concernant les segments [AC] et [BD] ?

3. a. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD? Justifier.

b. Calculer l’aire s0 du quadrilatère ABCD.

4. a. Placer sur la figure précédente les points A1, B1, C1 et D1 tels que −−−→ DA1 =−−−→

A1B1 = −−−→ B1C , où les points A1 et B1 appartiennent à [DC], le quadrilatère

A1B1C1D1 étant un carré situé à l’extérieur du quadrilatère ABCD.

b. Tracer le carré A1B1C1D1 et déterminer son aire s1.

5. a. On continue par le même procédé : un carré AnBnCnDn étant déterminé,

on considère les points An+1, Bn+1, Cn+1 etDn+1 tels que −−−−−−→ DnAn+1 =

−−−−−−−→ An+1Bn+1 =−−−−−−→

Bn+1Cn où les points An+1 et Bn+1 appartiennent à [DnCn], le quadrila- tère An+1Bn+1Cn+1Dn+1 étant un carré situé à l’extérieur du carré AnBnCnDn .

Tracer le carré A2B2C2D2.

L’intégrale S 2000 A. P. M. E. P.

b. Soit sn l’aire du carré AnBnCnDn .

Exprimer sn+1 en fonction de sn , puis de n.

En déduire sn , en fonction de n.

c. Déterminer, en fonction de n, l’aire Sn de la figure obtenue par la juxta- position du quadrilatère ABCD et des carrés A1B1C1D1, A2B2C2D2, . . . et AnBnCnDn .

d. La suite (sn) est-elle convergente ? Préciser sa limite si elle existe.

Exercice 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

1. Déterminer PGCD(2688 ; 3024).

2. Dans cette question, x et y sont deux entiers relatifs.

a. Montrer que les équations (1) et (2) sont équivalentes

(1) 2688x+3024y =−3360 ; (2) 8x+9y =− 10.

b. Vérifier que (1 ; −2) est une solution particulière de l’équation (2). c. Déduire de ce qui précède les solutions de (2).

3. Soit (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

un repère orthonormal de l’espace.

On considère les plans (P) et (Q) d’équations respectives

x+2y z =−2 et 3xy +5z = 0.

a. Montrer que (P) et (Q) se coupent suivant une droite (D).

b. Montrer que les coordonnées des points de (D) vérifient l’équation (2).

c. En déduire l’ensemble E des points de (D) dont les coordonnées sont des entiers relatifs.

Asie 15 juin 2000

L’intégrale S 2000 A. P. M. E. P.

Problème 11 points

Partie A

Étude d’une fonction

On considère la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par :

f (x)= 1+ lnx

x .

Soit (C ) la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

; unité graphique : 5 cm.

1. Calculer les limites de f en 0 et en +∞. Déterminer les asymptotes de (C ). 2. Étudier le sens de variation de f . Dresser le tableau de variation de f .

3. Montrer que l’équation f (x) = 0 admet sur l’intervalle [

1

e ; 1

]

une solution

unique, notée α.

Déterminer un encadrement de α, d’amplitude 10−2.

Donner, suivant les valeurs de x, le signe de f (x) sur ]0 ; +∞[. 4. Tracer la courbe (C ).

Partie B Calcul d’aire

1. Déterminer une équation de la tangente (D) à (C ) au point d’abscisse 1.

2. a. Soit ϕ la fonction définie, pour tout x > 0, par :

ϕ(x)= xx2+ lnx.

Calculer ϕ′(x).

En déduire le sens de variation de ϕ, puis le signe de ϕ(x), sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

b. Montrer que, pour tout x > 0, f (x)− x = ϕ(x)

x .

c. En déduire la position relative de (C ) et de (D).

3. On considère le domaine limité sur le graphique par l’axe des abscisses, la courbe (C ) et la tangente (D).

a. Hachurer ce domaine.

b. Soit A son aire, en cm2. Écrire la valeur exacte de A comme expression polynomiale du second degré en α.

Partie C Étude d’une suite

Soit x0 un réel appartenant à l’intervalle

]

1

e ; α

]

. On note M0 le point de (C )d abs-

cisse x0.

1. a. Donner une équation de la tangente (T0) à (C ) en M0, en fonction de x0, f (x0) et f ′(x0).

b. Soit x1 l’abscisse du point d’intersection de (T0) avec l’axe des abscisses. Écrire x1 en fonction de x0, f (x0) et f ′(x0).

2. On considère la fonction h définie sur

]

1

e ; α

]

par :

h(x)= xf (x)

f ′(x) . (On remarquera que h(x0)= x1).

Asie 16 juin 2000

L’intégrale S 2000 A. P. M. E. P.

a. Montrer que h′(x)= f ′′(xf (x) [ f ′(x)]2

.

b. Calculer f ′′(x) et étudier son signe sur

]

1

e ; α

]

.

c. Endéduire queh est strictement croissante sur

]

1

e ; α

]

, puismontrer que

x1 <α.

d. En écrivant h(x)− x =− f (x)

f ′(x) , étudier le signe de h(x)− x sur

]

1

e ; α

]

En déduire que 1

e < x0 < x1 <α.

3. a. Démontrer que, pour tout x appartenant à

]

1

e ; α

]

, h(x) appartient à ]

1

e ; α

]

.

b. On considère la suite (xn) de réels définie par x0 et xn+1 = h(xn ) pour tout entier naturel n.

Montrer que la suite (xn ) est strictement croissante.

Asie 17 juin 2000

[ Baccalauréat S Centres étrangers juin 2000 \

Exercice 1 5 points

Les deux questions de cet exercice sont indépendantes et on donnera les réponses sous forme de fractions. Une urne contient 6 boules bleues, 3 boules rouges, et 2 boules vertes, indiscer- nables au toucher.

1. On tire simultanément au hasard 3 boules de l’urne.

a. Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :

E1 : « Les boules sont toutes de couleurs différentes. »

E2 : « Les boules sont toutes de la même couleur. »

b. On appelle X la variable aléatoire qui, à tout tirage de trois boules associe le nombre de boules bleues tirées.

Établir la loi de probabilité de X .

Calculer l’espérance mathématique de X .

2. Soit k un entier supérieur ou égal à 2.

On procède cette fois de la façon suivante : on tire au hasard une boule de l’urne, on note sa couleur, puis on la replace dans l’urne avant de procéder au tirage suivant.

On effectue ainsi k tirages successifs.

Quelle est la valeur minimale de k pour que la probabilité de ne tirer que des boules bleues soit au moins mille fois plus grande que la probabilité de ne tirer que des boules rouges ?

Exercice 2 (obligatoire) 5 points

On se propose d’étudier une modélisation d’une tour de contrôle de trafic aérien, chargée de surveiller deux routes aériennes représentées par deux droites de l’es- pace.

L’espace est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

d’unité 1 km. Le plan (

O, −→ ı ,

−→ )

représente le sol.

Les deux « routes aériennes » à contrôler sont représentées par deux droites (D1) et (D2) , dont on connaît des représentations paramétriques :

(D1)

x = 3+a y = 9+3a z = 2

avec a ∈R (D2)

x = 0,5+2b y = 4+b z = 4−b

avec b ∈R.

1. a. Indiquer les coordonnées d’un vecteur −→ u1 directeur de la droite (D1) et

d’un vecteur −→ u2 directeur de la droite (D2).

b. Prouver que les droites (D1) et (D2) ne sont pas coplanaires.

2. Onveut installer au sommet Sde la tour de contrôle, de coordonnées S(3 ; 4 ; 0,1), un appareil de surveillance qui émet un rayon représenté par une droite no- tée (R) . Soit (P1) le plan contenant S et (D1) et soit (P2) le plan contenant S et (D2).

a. Montrer que (D2) est sécante à (P1).

b. Montrer que (D1) est sécante à (P2).

c. Un technicien affirme qu’il est possible de choisir la direction de (R) pour que cette droite coupe chacune des droites (D1) et (D2). Cette affirmation est-elle vraie ? Justifier la réponse.

L’intégrale S 2000 A. P. M. E. P.

Exercice 2 (spécialité) 5 points

Dans le plan orienté, on considère un losange ABCD tel que

AB = BC = CD = DA = 5 et (−−→ AB ,

−−→ AD

)

= π

3 .

On désigne par I, J, K, L et O les milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD], [DA] et [BD]. On note (∆) la médiatrice de [AB] et (∆′) la médiatrice de [CD].

1. Soit f l’isométrie du plan définie par f (A)=B, f (B)=O, f (D)=C. a. Prouver que f est un antidéplacement.

b. Démontrer que s’il existe un pointM invariant par f , alorsM est équidis- tant des points A, B, C, D.

c. L’isométrie f admet-elle un point invariant ?

2. Soit σ la symétrie orthogonale d’axe (∆) et r la rotation de centre B et d’angle

π

3 .

a. Démontrer que f = r σ. b. A-t-on f =σr ?

3. Soit s1, la symétrie orthogonale d’axe (BC).

a. Déterminer l’axe de la symétrie orthogonale s2, telle que r = s1 ◦ s2. b. En déduire que f peut s’écrire sous la forme f = s1◦t1, où t1 est une trans-

lation que l’on précisera.

4. Soit t2 la translation de vecteur 1

2

−−→ AD ; on note t− 12 sa réciproque et on pose

g = t− 12 ◦ f . a. Déterminer g (D), g (I), g (O). En déduire la nature précise de la transfor-

mation g .

b. Démontrer que f = t2 ◦ g . A-t-on f = g t2 ?

Centres étrangers 19 juin 2000

L’intégrale S 2000 A. P. M. E. P.

Problème 10 points

Les buts du problème sont l’étude de la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; + ∞[ par :

f (x)= ln

(

e2x −1 )

ex ,

puis la recherche de primitives de cette fonction.

Partie A - Étude de fonctions auxiliaires

1. On définit la fonction g sur l’intervalle ]1 ; +∞[ par :

g (x)= 2x− (x−1) ln(x−1).

a. On admet le résultat suivant : lim x→0

x lnx = 0. En déduire la limite de g (x) lorsque x tend vers 1.

b. Calculer g ′(x) pour x appartenant à l’intervalle ]1 ; +∞[. c. Résoudre l’inéquation 1− ln(x −1) > 0, d’inconnue x appartenant à l’in-

tervalle ]1 ; +∞[. d. Étudier le sens de variation de g sur l’intervalle ]1 ; +∞[. e. Montrer que l’équation g (x) = 0 a une solution unique, notée α, dans

l’intervalle [

e+1 ; e3+1 ]

et étudier le signe de g (x) sur chacun des in- tervalles ]1 ; α[ et ]α ; +∞[.

2. Soit ϕ la fonction définie sur l’intervalle ]1 ; +∞[ par :

ϕ(x)= ln (

x2−1 )

x

a. Déterminer lim x→1

ϕ(x) et prouver que lim x→+ ∞

ϕ(x)= 0.

b. Calculer ϕ′(x) et montrer que ϕ′(x) est du signe de g (x2) sur l’intervalle ]1 ; +∞[.

c. Montrer que ϕ est croissante sur l’intervalle ]

1 ; p α [

et décroissante sur l’intervalle

]p α ; +∞

[

.

Partie B - Étude de la fonction f

1. Vérifier que, pour tout x appartenant à l’intervalle ]0 ; +∞[, on a

f (x)=ϕ (

ex )

.

2. En déduire :

a. La limite de f (x) lorsque x tend vers 0.

b. La limite de f (x) lorsque x tend vers +∞. c. Le sens de variation de f sur l’intervalle ]0 ; +∞[ et que f admet unmaxi-

mum en ln( p α).

3. Montrer que, pour tout x de l’intervalle ]0 ; +∞[, f (x)6 2 p α

α−1 .

4. Reproduire le tableau suivant et le compléter en donnant des valeurs appro- chées à 10−2 près :

x 0,1 0,5 1 1,5 2 3 f (x)

Centres étrangers 20 juin 2000

L’intégrale S 2000 A. P. M. E. P.

5. Représenter graphiquement f dans un repère orthogonal, d’unités 5 cm en abscisse et 10 cm en ordonnée, On prendra 10 comme valeur approchée de α.

Partie C - Recherche de primitives de f

1. Vérifier que f est solution de l’équation différentielle :

y ′+ y = ex

ex −1 −

ex

ex +1 .

2. On pose h(x)= ex

ex −1 −

ex

ex +1 .

a. Trouver une primitive H de h sur l’intervalle ]0 ; +∞[. b. En déduire les primitives F de f sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

Centres étrangers 21 juin 2000

[ Baccalauréat S Métropole juin 2000 \

Exercice 1 4 points Commun à tous les candidats Les résultats numériques seront donnés sous forme de fractions. Dans une classe de 30 élèves sont formés un club photo et un club théâtre. Le club photo est composé de 10 membres, le club théâtre de 6 membres. Il y a deux élèves qui sont membres des deux clubs à la fois. On note A l’évènement contraire de l’évènement A et p(A / B) la probabilité condi- tionnelle de A sachant que B est réalisé.

1. On interroge un élève de la classe pris au hasard.

On appelle P l’évènement : « L’élève fait partie du club photo », et T l’événe- ment : « L’élève fait partie du club théâtre ».

Montrer que les évènements P et T sont indépendants.

2. Lors d’une séance du club photo, les 10 membres sont tous présents. Un pre- mier élève est tiré au sort. Il doit prendre la photo d’un autremembre du club qui sera lui aussi tiré au sort.

a. Onappelle T1 l’évènement : «Le premier élève appartient au club théâtre». Calculer p(T1).

b. Onappelle T2 l’évènement «L’élève pris enphoto appartient au club théâtre».

Calculer p(T2/T1), puis p (

T2/T1 )

. En déduire p (T2 ∩ T1) et p (

T2 ∩ T1 )

.

(On pourra éventuellement utiliser un arbre.)

c. Montrer que la probabilité que l’élève pris en photo appartienne au club théâtre est 0,2.

3. Toutes les semaines, on recommence de façon indépendante la séance de photographie avec tirage au sort duphotographe et duphotographié. Lemême élève peut être photographié plusieurs semaines de suite.

Calculer la probabilité qu’au bout de 4 semaines, aucun membre du club théâtre n’ait été photographié.

Exercice 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

, unité gra-

phique 4 cm, on considère les points A d’affixe zA = 1 et B d’affixe zB = 2. Soit un réel θ appartenant à l’intervalle ]0 ; π[. On note M le point d’affixe z = 1+e2iθ .

1. Montrer que le point M appartient au cercle (C ) de centre A et de rayon 1.

2. Exprimer l’angle ( −−→ AB ;

−−→ AM ) en fonction de θ.

En déduire l’ensemble E des points M quand θ décrit l’intervalle ]0 ; π[.

3. On appelle M ′ l’image de M par la rotation de centre O et d’angle − 2θ et on note z ′ l’affixe deM ′. Montrer que z ′ = z puis que M ′ appartient à (C ).

4. Dans toute la suite, on choisit θ = π

3 .

On appelle r la rotation de centre O et d’angle − 2π

3 et A′ l’image de A par r .

a. Définir l’image (C ′) du cercle (C ) par r .

Placer sur une figure A, B, (C ), M , (C ′) puis le point M ′ image de M par r .

b. Montrer que le triangle AMO est équilatéral.

c. Montrer que (C ) et (C ′) se coupent en O et enM ′.

L’intégrale S 2000 A. P. M. E. P.

d. Soit le point P symétrique de M par rapport à A. Montrer que M ′ est le milieu de [A′P ].

Exercice 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Dans le plan orienté, on considère deux points A et B et le point E tel que −→ AE =

3

4

−−→ AB .

Pour la figure, on prendra comme unité de longueur le centimètre et AB = 16. Cette figure sera complétée au fur et à mesure.

Soit un point C , distinct de A, tel que (−−→ AB ;

−−→ AC

)

= π

4 .

La droite parallèle à (BC ) passant par E coupe la droite (AC ) en F . On appelle I le milieu de [BC ], J le milieu de [EF ] et D le point d’intersection des droites (EC ) et (BF ). On note hA l’homothétie de centre A qui transforme B en E et hD l’homothétie de centreD qui transforme E en C .

1. Déterminer hA(C ) puis hD (F ).

2. En déduire la nature et les éléments caractéristiques de hD hA puis de hA ◦ hD .

3. On appelle E ′ l’image de E par hA et E ′′ l’image de E ′ par hD .

Représenter E ′, puis construire E ′′ en justifiant la construction.

4. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de hD hA ◦hA ◦hD . 5. Montrer que le quadrilatère BECE ′′ est un parallélogramme.

6. On appelle (∆) l’ensemble des points M tels que (−−→ AB ;

−−→ AM

)

= π

4 .

(∆) est donc une demi-droite ouverte d’origine A.

Pour la suite, les points A, B, E sont fixes et le point C décrit (∆).

Déterminer et construire le lieu géométrique (∆)′′ du point E ′′.

Métropole 23 juin 2000

L’intégrale S 2000 A. P. M. E. P.

Problème 11 points Commun à tous les candidats Dans tout le problème, le plan est rapporté à un repère orthonormal

(

O, −→ ı ,

−→ )

(unité graphique : 5 cm).

Partie A ⋆ On considère la fonction f1 définie sur [0 ; +∞[ par

f1(x)= xe−x 2

et on appelle (C1) sa courbe représentative.

1. Montrer que, pour tout réel positif x, f ′1(x) = e − x2 −2x2e− x2 . En déduire le

sens de variation de f1.

2. Calculer la limite de f1 en +∞ (on pourra poser u = x2). Interpréter graphi- quement ce résultat.

3. Dresser le tableau de variation de f1.

4. On appelle (∆) la droite d’équation y = x. Déterminer la position de (C1) par rapport à (∆).

5. Tracer (C1) et (∆).

Partie B ⋆ On considère la fonction f3 définie sur [0 ; +∞[ par f3(x)= x3e−x

2 et on appelle

(C3) sa courbe représentative.

1. Montrer que, pour tout réel x positif, f ′3(x) a même signe que 3−2x 2 . En dé-

duire le sens de variation de f3.

2. Déterminer les positions relatives de (C1) et (C3).

3. Tracer (C3) dans le même repère que (C1) (on admettra que (C3) a la même asymptote que (C1) en +∞.

4. On appelle (D) la droite d’équation x = 1. Soit A1 l’aire en unités d’aire du domaine limité par la courbe (C1), les deux axes de coordonnées et la droite (D) et soit A3 l’aire en unités d’aire du domaine limité par la courbe (C3) les deux axes de coordonnées et la droite (D).

a. Calculer A1.

b. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que A3 =− 1

2e +A1.

Partie C ⋆ On désigne par n un entier naturel non nul et on considère la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par

fn (x)= xne− x 2 .

On note (Cn) la courbe représentative de f dans le repère (

O, −→ ı ,

−→ )

.

1. Montrer que, pour tout entier n > 1, fn admet un maximum pour x = √

n

2 .

On note αn , ce maximum.

2. On appelle Sn le point de (Cn) d’abscisse

n

2 .

Montrer que, pour tout n, (Cn) passe par S2. Placer S1, S2, S3 sur la figure.

Métropole 24 juin 2000

L’intégrale S 2000 A. P. M. E. P.

3. Soit la fonction g définie sur [0 ; +∞[ par :

g (x)= e− x 2

[

−1+ln (

x 2

)]

c’est-à-dire g (x)= exp [

x2 (

− 1+ ln (

x 2

))]

.

a. Étudier le sens de variation de g .

b. Montrer que, pour tout entier n> 1, αn = g (n). En déduire que tout point Sn a une ordonnée supérieure à celle de S2.

Métropole 25 juin 2000

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