Exercices sur la modélisation mathématique - 6, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercices sur la modélisation mathématique sur l’application. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'élément neutre, le réel strictement positif.
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[ Baccalauréat C juin 1982 Montpellier \

EXERCICE 1 4 points

On considère l’application

ϕ : N×N → N⋆

(n, p) 7−→ 2n(2p+1).

1. a. Calculer ϕ(0, 0), ϕ(3, 4) et ϕ(2, 6).

b. Décomposer 1584 en produit de facteurs premiers. Déterminer l’anté- cédent de 1584 par ϕ.

c. Montrer que ϕ est bijective.

2. On définit une loi de composition interne notée T dans N2 par :

∀(n, p)∈N2, ∀(n′, p ′) ∈N2, (n, p)T (n′, p ′)= (n+n′, 2pp ′+p+p ′).

a. Calculer (3, 4) T(2, 6).

b. Résoudre l’équation (3, 4) T (n, p) = (4, 49).

c. Démontrer que l’applicationϕ est un isomorphismede (

N 2, T

)

sur (

N⋆, × )

.

d. Est-ce que (

N 2, T

)

admet un élément neutre ? Quels sont les éléments symétrisables ?

EXERCICE 2 4 points

On considère dans C les complexes z1 et z2 demodule 1 et d’arguments respectifs α et β.

1. Montrer que (z1+ z2)2

z1z2 est un réel positif ou nul. Dans quel cas est-il nul ?

2. Soit deux points A et B d’un plan complexe d’origine O d’affixes respectives a et b (on supposera O, A et B non alignés).

Calculer en fonction de a et b l’affixe z du point I barycentre de (A, |b|) et (B, |a|).

3. À l’aide du 1. montrer que z2

ab est un réel strictement positif.

Exprimer argz en fonction de arga et argb. En déduire que −→ OI est un vecteur

directeur de la bissectrice de l’angle des demi-droites de vecteurs directeurs −−→ OA et

−−→ OB .

PROBLÈME 12 points

Partie A

Soit E l’ensemble des matrices de la forme :

M(a, b) =

(

a+b 0 a ba

)

où(a, b) ∈R2.

On pose I =M(0, 1) et J =M(1, 0).

Terminale C A. P. M. E. P.

1. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de base (I, J) de l’espace vectoriel sur R des matrices 2×2.

2. Calculer J2. En déduire que si M ∈ E, M ′ ∈ E alors M ×M ′ ∈ E.

Montrer que (E, +, ×) est un anneau commutatif unitaire.

3. Quelles sont les matrices M(a, b) inversibles dans E ? Exprimer alors M −1 (a, b)

dans la base (I , J ).

Partie B

Dans ce qui suit on suppose b = 0.

Soit V le plan vectoriel euclidien de base orthonormée (

−→ ı ,

−→

)

.

Soit P un plan affine d’espace vectoriel associé V ; P est rapporté au repère ortho-

normé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Soit fa l’application affinedePdansPdont l’endomorphisme associé a pourmatrice

dans (

−→ ı ,

−→

)

M(a, 0) =

(

a 0 a a

)

et qui au point O fait correspondre le point O′(0 ; a+3).

1. Déterminer analytiquement fa .

2. Pour quelles valeurs de a, fa est-elle une bijection ?

Déterminer analytiquement, quand elle existe f −1a .

3. Déterminer suivant les valeurs de a, l’ensemble D des points invariants par fa .

4. Démontrer que seule l’application f1, obtenue pour la valeur 1 du paramètre a, est une involution que l’on caractérisera.

5. fa peut-elle être une isométrie ?

6. Onprendα ∈R⋆+. Soit G le barycentre des points A(α ; α), B(α ; 2), C

(

α ; −2 Logα

α

)

.

Trouver les coordonnées de G ; en déduire une équation cartésienne de la courbe décrite par G quand α varie dans R⋆+.

7. Soient A1, B1, C1 les images des points A, B, C par l’application f1 (définie en B 4.).

Soit G1 le barycentre de A1, B1, C1 respectivement affectés de 1, 2, −1.

Trouver une équation cartésienne de la courbe décrite par G1 quand α varie dans R⋆+.

Partie C

Soit (C ) la courbe représentative dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

de la fonction numérique

g définie sur R⋆+ par :

g (x)= x

2 +2+

Log x

x .

1. On considère la fonction

h :

R ⋆

+ → R

x 7−→ x2−2Log x+2

Étudier les variations de h et préciser le signe de h(x). (On ne demande pas de tracer la courbe représentative de h).

Montpellier 2 juin 1982

Terminale C A. P. M. E. P.

2. Étudier les variations de la fonction g .Montrer que la courbe (C ) a deux asymp- totes que l’on déterminera. Montrer que (C ) coupe l’une de ces asymptotes en un point que l’on précisera. Tracer la courbe (C ).

3. Soit (C1) la transformée de (C ) par f1 (définie dans B 4.).

a. Écrire une équation de (C1). ((C1) est la courbe représentative d’une fonction g1).

b. Montrer que (C ) et (C1) ont les mêmes droites asymptotes. Tracer (C1)

dans le même repère (

O, −→ ı ,

−→

)

que (C ) sans étudier g1.

4. Calculer l’aire de la partie du plan limitée par la droite d’équation x = 1, la droite d’équation x =m (m > 1) et les courbes (C ) et (C1).

Montpellier 3 juin 1982

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