Exercices sur la modélisation mathématique 7, Exercices de Modélisation mathématique et simulation
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Exercices sur la modélisation mathématique 7, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercices sur la modélisation mathématique - étude d'une modélisation - 7. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Indiquer les coordonnées d’un vecteur, Prouver que f est un antidéplacement.
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[ Baccalauréat S Centres étrangers juin 2000 \

Exercice 1 5 points

Les deux questions de cet exercice sont indépendantes et on donnera les réponses sous forme de fractions. Une urne contient 6 boules bleues, 3 boules rouges, et 2 boules vertes, indiscer- nables au toucher.

1. On tire simultanément au hasard 3 boules de l’urne.

a. Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :

E1 : « Les boules sont toutes de couleurs différentes. »

E2 : « Les boules sont toutes de la même couleur. »

b. On appelle X la variable aléatoire qui, à tout tirage de trois boules associe le nombre de boules bleues tirées.

Établir la loi de probabilité de X .

Calculer l’espérance mathématique de X .

2. Soit k un entier supérieur ou égal à 2.

On procède cette fois de la façon suivante : on tire au hasard une boule de l’urne, on note sa couleur, puis on la replace dans l’urne avant de procéder au tirage suivant.

On effectue ainsi k tirages successifs.

Quelle est la valeur minimale de k pour que la probabilité de ne tirer que des boules bleues soit au moins mille fois plus grande que la probabilité de ne tirer que des boules rouges ?

Exercice 2 (obligatoire) 5 points

On se propose d’étudier une modélisation d’une tour de contrôle de trafic aérien, chargée de surveiller deux routes aériennes représentées par deux droites de l’es- pace.

L’espace est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

d’unité 1 km. Le plan (

O, −→ ı ,

−→

)

représente le sol.

Les deux « routes aériennes » à contrôler sont représentées par deux droites (D1) et (D2) , dont on connaît des représentations paramétriques :

(D1)

x = 3+a y = 9+3a z = 2

avec a ∈R (D2)

x = 0,5+2b y = 4+b z = 4−b

avec b ∈R.

1. a. Indiquer les coordonnées d’un vecteur −→ u1 directeur de la droite (D1) et

d’un vecteur −→ u2 directeur de la droite (D2).

b. Prouver que les droites (D1) et (D2) ne sont pas coplanaires.

2. Onveut installer au sommet Sde la tour de contrôle, de coordonnées S(3 ; 4 ; 0,1), un appareil de surveillance qui émet un rayon représenté par une droite no- tée (R) . Soit (P1) le plan contenant S et (D1) et soit (P2) le plan contenant S et (D2).

a. Montrer que (D2) est sécante à (P1).

b. Montrer que (D1) est sécante à (P2).

c. Un technicien affirme qu’il est possible de choisir la direction de (R) pour que cette droite coupe chacune des droites (D1) et (D2). Cette affirmation est-elle vraie ? Justifier la réponse.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Exercice 2 (spécialité) 5 points

Dans le plan orienté, on considère un losange ABCD tel que

AB = BC = CD = DA = 5 et (−−→ AB ,

−−→ AD

)

= π

3 .

On désigne par I, J, K, L et O les milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD], [DA] et [BD]. On note (∆) la médiatrice de [AB] et (∆′) la médiatrice de [CD].

1. Soit f l’isométrie du plan définie par f (A)=B, f (B)=O, f (D)=C.

a. Prouver que f est un antidéplacement.

b. Démontrer que s’il existe un pointM invariant par f , alorsM est équidis- tant des points A, B, C, D.

c. L’isométrie f admet-elle un point invariant ?

2. Soit σ la symétrie orthogonale d’axe (∆) et r la rotation de centre B et d’angle

π

3 .

a. Démontrer que f = r σ.

b. A-t-on f =σr ?

3. Soit s1, la symétrie orthogonale d’axe (BC).

a. Déterminer l’axe de la symétrie orthogonale s2, telle que r = s1 ◦ s2.

b. En déduire que f peut s’écrire sous la forme f = s1◦t1, où t1 est une trans- lation que l’on précisera.

4. Soit t2 la translation de vecteur 1

2

−−→ AD ; on note t− 12 sa réciproque et on pose

g = t− 12 ◦ f .

a. Déterminer g (D), g (I), g (O). En déduire la nature précise de la transfor- mation g .

b. Démontrer que f = t2 ◦ g . A-t-on f = g t2 ?

Centres étrangers 2 juin 2000

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Problème 10 points

Les buts du problème sont l’étude de la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; + ∞[ par :

f (x)= ln

(

e2x −1 )

ex ,

puis la recherche de primitives de cette fonction.

Partie A - Étude de fonctions auxiliaires

1. On définit la fonction g sur l’intervalle ]1 ; +∞[ par :

g (x)= 2x− (x−1) ln(x−1).

a. On admet le résultat suivant : lim x→0

x lnx = 0. En déduire la limite de g (x)

lorsque x tend vers 1.

b. Calculer g ′(x) pour x appartenant à l’intervalle ]1 ; +∞[.

c. Résoudre l’inéquation 1− ln(x −1) > 0, d’inconnue x appartenant à l’in- tervalle ]1 ; +∞[.

d. Étudier le sens de variation de g sur l’intervalle ]1 ; +∞[.

e. Montrer que l’équation g (x) = 0 a une solution unique, notée α, dans l’intervalle

[

e+1 ; e3+1 ]

et étudier le signe de g (x) sur chacun des in- tervalles ]1 ; α[ et ]α ; +∞[.

2. Soit ϕ la fonction définie sur l’intervalle ]1 ; +∞[ par :

ϕ(x)= ln (

x2−1 )

x

a. Déterminer lim x→1

ϕ(x) et prouver que lim x→+ ∞

ϕ(x)= 0.

b. Calculer ϕ′(x) et montrer que ϕ′(x) est du signe de g (x2) sur l’intervalle ]1 ; +∞[.

c. Montrer que ϕ est croissante sur l’intervalle ]

1 ; p α [

et décroissante sur l’intervalle

]p α ; +∞

[

.

Partie B - Étude de la fonction f

1. Vérifier que, pour tout x appartenant à l’intervalle ]0 ; +∞[, on a

f (x)=ϕ (

ex )

.

2. En déduire :

a. La limite de f (x) lorsque x tend vers 0.

b. La limite de f (x) lorsque x tend vers +∞.

c. Le sens de variation de f sur l’intervalle ]0 ; +∞[ et que f admet unmaxi- mum en ln(

p α).

3. Montrer que, pour tout x de l’intervalle ]0 ; +∞[, f (x)6 2 p α

α−1 .

4. Reproduire le tableau suivant et le compléter en donnant des valeurs appro- chées à 10−2 près :

x 0,1 0,5 1 1,5 2 3 f (x)

Centres étrangers 3 juin 2000

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

5. Représenter graphiquement f dans un repère orthogonal, d’unités 5 cm en abscisse et 10 cm en ordonnée, On prendra 10 comme valeur approchée de α.

Partie C - Recherche de primitives de f

1. Vérifier que f est solution de l’équation différentielle :

y ′+ y = ex

ex −1 −

ex

ex +1 .

2. On pose h(x)= ex

ex −1 −

ex

ex +1 .

a. Trouver une primitive H de h sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

b. En déduire les primitives F de f sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

Centres étrangers 4 juin 2000

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