Exercices sur la modélisation mathématique 8, Exercices de Modélisation mathématique et simulation
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Eusebe_S11 April 2014

Exercices sur la modélisation mathématique 8, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercices sur la modélisation mathématique - le repère orthonormal - 8. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la transformation géométrique, le sens de variations des fonctions, l'unité graphique.
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[ Baccalauréat S La Réunion juillet 2000 \

Exercice 1 5 points

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

(unité :

2 cm). On dit qu’un triangle équilatéral ABC est direct si et seulement si (−−→ AB ,

−−→ AC

)

= π

3 [2π]. On pose j = e2i

π 3 .

1. a. Vérifier que 1 , j et j2 sont solutions de l’équation z3 = 1. b. Calculer (1− j)(1+ j+ j2) ; en déduire que 1+ j+ j2 = 0. c. Vérifier que ei

π 3 + j2 = 0.

2. Dans le plan complexe, on considère trois points A, B, C , deux à deux dis- tincts, d’affixes respectives a, b, c.

a. Démontrer que le triangle ABC est équilatéral direct si et seulement si ca ba

= ei π 3 .

b. En utilisant les résultats des questions précédentes, montrer que le tri- angle ABC est équilatéral direct si et seulement si : a+bj+cj2 = 0.

3. À tout nombre complexe z 6= 1 , on associe les points R, M et M ′ d’affixes respectives 1, z et z.

a. Pour quelles valeurs de z les points M et M ′ sont-ils distincts ?

b. En supposant que la condition précédente est réalisée, montrer que l’en- semble (∆) des points M d’affixe z tels que le triangle RMM ′ soit équila- téral direct est une droite privée d’un point.

Exercice 2 (obligatoire) 5 points

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

. On désigne par Γ la courbe

paramétrée, ensemble des points M(θ) dont les coordonnées (x(θ), y(θ) sont défi- nies par

{

x(θ) = 20e−θ cosθ y(θ) = 20e−θ sinθ θ ∈ [0 ; +∞[

1. Soient M et M1, les points de Γ correspondant respectivement aux para- mètres θ et θ+π.

a. Démontrer qu’il existe un réel k, indépendant de θ, que l’on déterminera, tel que

−−−→ OM1 = k

−−−→ OM .

b. En déduire une transformation géométrique par laquelle, pour tout réel θ positif, M1 est l’image deM .

2. On appelle Γ1 la partie de Γ correspondant à θ élément de l’intervalle [0 ; π].

a. Montrer que :

x′(θ)=−20 p 2e−θ cos

(

θπ

4

)

et y ′(θ)=−20 p 2e−θ sin

(

θπ

4

)

.

b. Étudier le sens de variations des fonctions x et y sur [0 ; π] ; rassembler les résultats dans un tableau unique et indiquer les points de Γ, en lesquels la tangente est parallèle à l’un des axes de coordonnées.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

3. Tracer Γ1, ainsi que ses tangentes aux points M(0), M (π

4

)

, M

(

3π

4

)

, M(π).

(unité graphique : 1 cm ; on prendra la feuille de papier millimétré dans le sens de la longueur avec l’axe des ordonnées à 4 cm du bord gauche).

Exercice 2 (spécialité) 5 points

Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 5, on considère les nombres

a =n3−n2−12n et b = 2n2−7n−4.

1. Montrer, après factorisation, que a et b sont des entiers naturels divisibles par n−4.

2. On pose α= 2n+1 et β=n+3. On note d le PGCD de α et β. a. Établir une relation entre α et β indépendante de n.

b. Démontrer que d est un diviseur de 5.

c. Démontrer que les nombres α et β sont multiples de 5 si et seulement si n−2 est multiple de 5.

3. Montrer que 2n+1 et n sont premiers entre eux. 4. a. Déterminer, suivant les valeurs de n et en fonction de n, le PGCD de a et

b.

b. Vérifier les résultats obtenus dans les cas particuliers n = 11 et n = 12.

Problème 10 points

Le but du problème est l’étude simultanée de deux fonctions f et g (partie A), uti- lisées ensuite pour déterminer une valeur approchée d’un certain nombre réel noté C. Le plan est rapporté à un repère orthonormal

(

O, −→ ı ,

−→

)

; (unité graphique : 2 cm).

Partie A :

Soient les fonctions f et g définies sur l’ensemble des nombres réels par :

f (x)= x−ex et g (x)= (1− x)ex .

On appelle (C ) et (C ′) leurs courbes représentatives respectives

1. a. Déterminer les limites des fonctions f et g en +∞ et en −∞. b. Montrer que la droite (∆) d’équation y = x est asymptote à la courbe (C ). c. Étudier le sens de variations de chacune des fonctions f et g , sur l’en-

semble des nombres réels.

2. Pour tout réel x, on pose h(x)= f (x)− g (x).

a. Montrer que, pour tout réel x, h′(x)= 1− g (x). b. Endéduire le sens de variations de la fonctionh sur l’ensemble des nombres

réels.

c. Démontrer que les courbe (C ) et (C ′) admettent un unique point d’inter- section, dont l’abscisse notée α, appartient à l’intervalle [1 ; 2].

Donner un encadrement de α d’amplitude 10−1.

d. Étudier, suivant les valeurs de x, la position relative de (C ) et (C ′).

3. Tracer la droite (∆) et les courbes (C ) et (C ′).

4. Pour tout réel x, on pose θ(x)= ∫x

0 h(t)dt .

La Réunion 2 juin 2000

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

a. À l’aide d’une intégration par parties, calculer θ(x).

b. En déduire, sous la forme d’une expression rationnelle enα, l’aire en cm2

du domaine limité sur le graphique par les courbes (C ) et (C ′), l’axe des ordonnées et la droite d’équation x =α.

Partie B

Pour tout entier naturel n non nul, on pose

Sn = 1+ 1

2 +·· ·+

1

n − lnn.

1. À l’aide d’une calculatrice, déterminer un encadrement de S20 d’amplitude 10−3.

2. a. En utilisant le tableau de variations de la fonction g définie dans la partie A, démontrer que, pour tout réel x appartenant à l’intervalle ]0 ; 1[,

ex 6 1

1− x .

b. En déduire que, pour tout nombre entier k > 2, e 1 k 6

k

k−1 , puis que,

pour tout nombre entier k > 2, 1

k 6 ln

(

k

k−1

)

.

c. Pour tout entier naturel n> 2 , calculer SnSn−1. En déduire que la suite (Sn) est décroissante.

3. Pour tout entier n > 20, on pose un = S20−Sn . a. Vérifier que pour tout entier n > 20, un > 0. b. En utilisant le tableau de variations de la fonction f définie dans la partie

A, démontrer que, pour tout réel x appartenant à l’intervalle ]0 ; 1], 1+x6 ex .

c. En déduire que pour tout nombre entier k > 1, k+1 k

6 e 1 k , puis que, pour

tout nombre entier k > 1, ln

(

k+1 k

)

6 1

k .

d. Vérifier que, pour tout entier naturel n > 20,

un = ln ( n

20

)

− (

1

21 +

1

22 +·· ·+

1

n

)

.

En raisonnant par récurrence, démontrer que pour tout entier natureln > 20,

ln

(

n+1 21

)

6 1

21 +

1

22 +·· ·+

1

n .

e. En déduire que, pour tout entier naturel n > 20,

un = ln (

21

20

)

− ln (

n+1 n

)

.

puis que, pour tout entier naturel n > 20, un 6 0,049. 4. On admet que la suite (Sn) est convergente de limite notée C.

a. Justifier l’encadrement S20−0,0496C6 S20. b. Déterminer un encadrement de C d’amplitude 0,05.

La Réunion 3 juin 2000

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