Exercices sur la modélisation mathématique - 9, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercices sur la modélisation mathématique sur la variable aléatoire 9. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les tirages successifs.
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[ Baccalauréat C juin 1982 Nantes \

EXERCICE 1 4 points

Une urne contient neuf jetons numérotés de 1 à 9, indiscernables au toucher.

1. On tire simultanément deux jetons de l’urne et on note leurs numéros : a et b. On suppose qu’il y a équiprobabilité de sortie pour chaque jeton. On considère la variable aléatoire X associant à chaque paire de jetons tirés, a, b, le plus grand commun diviseur de a et de b.

a. Déterminer l’ensemble des valeurs prises par X.

b. Déterminer la loi de probabilité de X et sa fonction de répartition. On re- présentera graphiquement celle-ci dans le plan rapporté à un repère or-

thonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

c. Déduire de la question précédente les probabilités des évènements sui- vants :

A : « l’équation (x, y) ∈Z2 et ax+by = 1 admet des solutions », B : « l’équation (x, y) ∈Z2 et ax+by = 2 admet des solutions », C : « l’équation (x, y) ∈Z2 et ax+by = 12 admet des solutions ».

2. On effectue maintenant l’épreuve suivante : on tire une paire de jetons, on note a et b, on remet les jetons dans l’urne, on effectue un nouveau tirage, et ainsi de suite.

a. Quelle est la probabilité d’obtenir exactement trois fois 1 pour plus grand commun diviseur de a et de b au cours de quatre tirages successifs ?

b. Combien faut-il effectuer de tirages pour que la probabilité d’avoir au moins une fois 1 pour plus grand commun diviseur de a et de b au cours de n tirages successifs soit supérieure à 0,999 ?

EXERCICE 2 4 points

Soit E3 l’espace affine euclidien orienté, rapporté au repére orthonormé direct (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

.

1. f désigne l’application affine de E3 définie analytiquement par

x′ = − 1

2 x

p 3

2 y

y ′ = p 3

2 x

1

2 y

z ′ = z.

Démontrer que f est une rotation affine ; préciser son axe et une mesure de son angle.

2. On considére les quatre points :

A(2 ; 0 ; 0), B(−1 ; p 3 ; 0), C(−1 ; −

p 3 ; 0), D(0 ; 0 ; 4)

On pose F = {A,B,C,D}. a. Vérifier que ABC est un triangle équilatéral de centre de gravité O.

Terminale C A. P. M. E. P.

b. Vérifier que l’application f laisse F globalement invariant.

3. Soit g une isométrie affine de E3 qui laisse F globalement invariant.

a. Déterminer l’isobarycentre G des quatre points A, B, C, D. Calculer

−−→ GA

∥ , ∥

−−→ GB

∥ , ∥

−−→ GC

∥ , ∥

−−→ GD

∥ .

b. En déduire que g laisse invariant les points G et D.

c. En déduire l’ensemble des déplacements de E3 qui laissent F globale- ment invariant.

4. Soit s un antidéplacement de E3 qui laisse F globalement invariant.

a. Démontrer que s est associé à une symétrie vectorielle orthogonale par rapport à un plan vectoriel ; en déduire la nature géométrique de s.

b. Quel est l’ensemble des isométries affines de E3 qui laissent F globale- ment invariant ?

PROBLÈME 12 points

Sauf pour les notations, les trois parties du problème sont indépendantes

P est unplan affine euclidienorientémuni d’un repère orthonormédirect (

O, −→ u ,

−→ v )

;

C est l’ensemble des nombres complexes ; i est le nombre de complexe de module 1

et d’argument π

2 . Les affixes des points de P sont toujours données par rapport au

repére (

O, −→ u ,

−→ v )

.

f et g sont les deux applications de C vers C définies par, pour tout z de C,

f (z) = z3+4(1− i)z2−2(2+7i)z−16+8i g (z) = z3+2−2i.

Partie A

1. Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes z vérifiant g (z) = 0. Représenter les points dont les affixes sont les nombres trouvés et démontrer que ces points forment un triangle équilatéral.

2. Démontrer qu’il existe un, et un seul, réel r , que l’on déterminera, qui vérifie f (r )= 0. Déterminer les deux nombres complexes a et b de faÁon à avoir

f (z)= (zr ) (

z2+az+b )

pour tout z deC .

3. Résoudre l’équation z ∈C, f (z)= 0. Démontrer que les points dont les affixes sont les solutions de cette équation forment un triangle rectangle dans le plan P.

4. A, B, C sont les points de P dont les affixes respectives sont −1+3i, 1+ i, −4. Déterminer l’affixe dubarycentreGdes points A, B, C affectés respectivement des coefficients 4 ; 3 ; 5.

5. On désigne par h l’application de P vers R qui à tout point M de P associe le réel

−−→ MA ·−−→MB +2−−→MB ·−−→MC +3−−→MC ·−−→MA .

Calculer h(C). Exprimer h(M) en fonction de ‖MG‖2 et h(G). Déterminer et dessiner l’ensemble des pointsM de P qui vérifient h(M)= 18.

Nantes 2 juin 1982

Terminale C A. P. M. E. P.

Partie B

À tout point M de P d’affixe z on associe le point M ′ de P d’affixe

f (z)− g (z).

1. Déterminer les coordonnées (

x′ ; y ′ )

deM ′ dans le repère (

O, −→ u ,

−→ v )

en fonc-

tion des coordonnées (x ; y) deM dans le même repère.

2. A, B, C sont les points définis en A 4. Donner une équation de l’ensemble H1 des points M de P tels que O, B et M ′ soient alignés. Démontrer que H1 est une hyperbole dont on précisera le centre et les asymptotes.

3. Donner une équation de l’ensemble H2 des points M de P tels que O, I et M

soient alignés, I étant le centre de gravité de A, B, C.

Démontrer queH2 est unehyperbole dont onprécisera le centre et les asymp- totes : on pourra, par exemple, donner une équation de H2 sous la forme y =ϕ(x).

4. Démontrer qu’un point M est commun à H1 et H2 si, et seulement si, M ′ est confondu avec O.

Résoudre l’équation

z ∈C, f (z)= g (z).

En déduire les points communs à H1 et H2.

Construire H1 et H2 dans le repére (

O, −→ u ,

−→ v )

.

Partie C

Unmobile du plan P a son affixe z(t) donnée, en fonction du temps t par

z(t)= f (t .i)+10−6i,

quand t décrit l’intervalle [0 ; 2] de R. On noteraM(t) le point correspondant à l’ins- tant t .

1. Déterminer les coordonnées (x(t) ; y(t)) de M(t) dans le repére (

O, −→ u ,

−→ v )

,

ainsi que les coordonnées dans la base (−→ u ,

−→ v )

des vecteurs vitesse et accé-

lération dumobile à l’instant t .

2. Faire un tableau indiquant les variations de x et de y en fonction de t .

3. Construire les points de la trajectoire du mobile correspondant aux valeurs :

0, 1

2 , 2

3 , 1,

7

4 , 2 du réel t et un vecteur directeur des tangentes à la trajectoire

pour les valeurs 0, 2

3 , 7

4 , 2 de t .

4. Déduire de ce qui précéde le tracé de la trajectoire du mobile, en indiquant le sens du parcours, quand t décrit [0 ; 2].

Nantes 3 juin 1982

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