Exercices sur la théorie de calcul 1, Exercices de Théorie de calcul. Université Bordeaux I
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Eusebe_S10 avril 2014

Exercices sur la théorie de calcul 1, Exercices de Théorie de calcul. Université Bordeaux I

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Exercices sur la théorie de calcul 1. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Construire les courbes, définir la surface limitée par la courbe.
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[ Baccalauréat C groupe 4 1 1987 \

EXERCICE 1 4 POINTS

1. La lettre x désigne un nombre réel, linéariser sin6 x.

2. On pose I = ∫ π

4

0

( ∫x

0 sin5 t cos t dt

)

dx.

Démontrer que I = 15π−44

1152 .

EXERCICE 2 4 POINTS

On donne dans l’espace, quatre points A, B, C, D non coplanaires.

I est le milieu de [AB], J le milieu de [CD], G est le milieu de [IJ].

1. Peut-on avoir I = F ? Existe-t-il des points de l’espace tels que :

−−→

MA + −−→

MB = −−→

MC + −−−→

MD ? (Justifier les réponses.)

2. Déterminer l’ensemble (P1) des points M de l’espace tels que :

−−→

MA + −−→

MB ∥

∥=

−−→

MC + −−−→

MD ∣

∣ .

3. Déterminer l’ensemble (P2) des points M de l’espace tels que :

MA2+MB2 =MC2+MD2.

4. Peut-on avoir (P1)= (P2) ?

PROBLÈME 12 POINTS

Dansunplan (P ) rapporté à un repère orthonormé (

O, −→

ı , −→

)

, on considère la courbe

m) d’équation :

y2 =mx2− (m−1)x−3(2m+1),

m désigne un nombre réel donné.

1. Vérifier que le point A(3 ; 0) appartient à la courbe (Γm), quel que soit le réel m.

2. Dans cette question, on supposem non nul.

a. Montrer que la courbe (Γm) est une conique à centre. Montrer que le

centre Im de (Γm) a pour couple de coordonnées

(

(m−1)

2m ; 0

)

.

Préciser suivant la valeur de m, s’il s’agit d’une ellipse ou d’une hyper-

bole.

b. Construire les courbes (Γ−1) et (Γ1) (figure 1).

3. Soit (a ; b) un couple de nombres complexes. T est la transformation du plan (P ), qui à tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ défini par

z ′ = az+b.

a. Déterminer a et b pour que le point A(3 ; 0) ait pour image par T le point A′(3 ; −3) et que le point B(−3 ; 0) ait pour image par T le point B′(−3 ; 3).

Préciser alors la nature de T et ses éléments caractéristiques.

1. Aix-Marseille - Nice - Corse - Montpellier - Toulouse

Le baccalauréat de 1987 A. P. M. E. P.

b. Justifier que (

Γ ′

−1

)

transformée de (Γ−1) par T , est un cercle dont on pré-

cisera le centre et le rayon.

c. Exprimer les coordonnées x′ et y ′ de M ′ en fonction des coordonnées x et ydu point M , puis x et y en fonction de x′ et y ′.

d. En déduire une équation de (

Γ ′

1

)

transformée de (Γ1) par T . Construire

la courbe (

Γ ′

1

)

(sur la figure 1).

4. a. On se donne la droite (D) d’équation y = 5x − 21. (D ′) est l’ensemble transformé de (D) par T .

Déterminer une équation de (D ′).

b. U et V (U d’ordonnée positive) sont les points communs à (Γ1) et (D), et U ′ et V ′ leurs images par T .

Déterminer les couples de coordonnées des pointsU , V ,U ′ et V ′.

c. Soit S la surface limitée par la courbe (Γ1) et le segment [UV ]. Hachurer sur la figure 1 la surface S et son image S ′.

Calculer l’aire de S ′ donnée par :

A (

S ′ )

=

∫9

3 2

[

9

x

(

2

3 x−7

)]

dx.

En déduire l’aire de S.

5. Dans cette question, on étudie le cas oùm = 0.

a. Quelle est la nature de la courbe (Γ0) ?

Faire une deuxième figure, représentant la courbe (Γ0) (figure 2).

b. On appelle G le barycentre de la famille {(A, 2), (b, 1), (M , 1)}.

M décrit (Γ0). On appelle (

γ0

)

la courbe alors décrite parG.

Démontrer que (

γ0

)

est l’ensemble transformé de (Γ0) par une homothé-

tie de centre I−1(1 ; 0), dont on précisera le rapport.

On appelle M1 et M2 les points de (Γ0) d ?abscisses respectives 4 et 7,

dont les ordonnées sont positives.

Construire les barycentres G1 et G2 correspondants.

c. On appelle (

Γ ′

0

)

l’image par T de (Γ0).

On appelle (

γ

0

)

l’image par T de (

γ0

)

.

Démontrer que (

γ

0

)

est l’image de (

Γ ′

0

)

par une homothétie que l’on pré-

cisera.

Construire les images par T des points M1, M2,G1,G2, et les courbes (

Γ ′

0

)

et (

γ

0

)

.

N.B.- L’usage des instruments de calcul est interdit pour cette épreuve

Aix-Marseille 2 juin 1987

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