Exercices sur la théorie de calcul 2, Exercices de Théorie de calcul. Université Bordeaux I
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Eusebe_S10 avril 2014

Exercices sur la théorie de calcul 2, Exercices de Théorie de calcul. Université Bordeaux I

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Exercices sur la théorie de calcul 2. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Étudier les variations de g . Placer le point correspondant sur la courbe Cf .
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[ Baccalauréat C Amérique du Nord juin 1987 \

EXERCICE 1 4 POINTS

On considère l’application de C− {−i} dans C définie par

Z = f (z)= z− i

iz−1 .

On notem l’image de z, A celle de i, et B celle de −i.

1. Interpréter géométriquement le module et l’argument de z− i

iz−1 .

2. Déterminer et construire l’ensemble (E1) des pointsm tel que Z soit réel.

3. Déterminer et construire l’ensemble (E2) des pointsm tel que |Z | = 1.

EXERCICE 2 4 POINTS

Calculer une primitive de chacune des fonctions f et g de R dans R définie par :

f (x)= sin4 x et par : g (x)= cos3 x.

PROBLÈME 12 POINTS

Le plan est rapporté à un repère orthonormé (0, i, j), (unité 5 cm). A. - Soit g l’application de ]0 ; +∞] dans R définie par :

g (x)= x lnx.

1. Étudier les variations de g .

2. Déterminer les limites de g aux bornes de son intervalle de définition.Montrer que g admet un prolongement par continuité en 0.

3. Tracer la courbe représentative Cg de g dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

On précisera l’allure de Cg au voisinage de l’origine.

B. - On considère maintenant l’application f de [0 ; +∞] dans R définie par :

{

f (0) = 0, f (x) = |x ln(x)| si x 6= 0.

1. Étudier les variations de f et tracer sa courbe représentative C f dans lemême

repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

2. Calculer, en cm2, l’aire de la partie de plan comprise entre C f , la première

bissectrice et les droites d’équation x = 1

e et x = e.

3. Démontrer qu’il existe un réel unique α appartenant à l’intervalle ]1 ; e[ tel

que f (α)= 1

e .

Placer le point correspondant sur la courbe C f .

Donner, à l’aide de la calculatrice, une valeur approchée par défaut deα à 10−2

près.

C. - On définit la suite numérique (un ) par son premier terme u0, (u0 étant réel stric- tement positif et différent de 1), et pour tout n, par un+1 = f (un ), où f désigne l’ap- plication définie au B.

Le baccalauréat de 1987 A. P. M. E. P.

1. Pour quelles valeurs de u0 la suite (un ) est-elle stationnaire ?

2. On choisit u0 ∈

]

0 ; 1

e

[

. Démontrer que

a. n ∈N, 0< un < 1

e .

b. La suite (un ) est strictement croissante.

c. La suite (un ) converge vers 1

e .

3. On choisit maintenant u0 ∈

]

1

e ; 1

[

. Montrer que u1 ∈

]

0 ; 1

e

[

. La suite (un )

est-elle convergente ?

4. a. Pour u0 > e montrer que la suite (un ) est strictement croissante.

b. Montrer que, pour tout x supérieur à e, on a f ′(x)> 2.

c. En déduire que un+1−un > 2(un un−1)·

d. Montrer que un+1−un > 2n (u1−u0)·

e. Montrer que un+1 > u0+ (u1−u0) (

2n+1−1 )

. En déduire la nature de la suite (un ).

5. Que dire de la suite (un ) si on choisit u0 =α, α étant la valeur introduite au B. 3 ?

Amérique du Nord 2 juin 1987

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