Exercices sur les applications de R dans R, Exercices de Mathématiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8928 février 2014

Exercices sur les applications de R dans R, Exercices de Mathématiques

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Exercices de mathématique sur les applications de R dans R.Les principaux thèmes abordés sont les suivants:Limite - Continuité,Applications dérivables,Applications réciproques,Fonctions convexes.
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5. Applications de R dans R

5.1 Limite - Continuité

Ex. 1 Simplifier x 1

ln(x2) . Etudier les limites de x 1 x , (x3 − x + 2)

1 ln(x2) et de√

x2 + x− x lorsque x → +∞.

Ex. 2 Etudier les limites quand x → 0+ de f(x) = (x+ sin x)(1− cosx) (x+ sin(x

2 ))(1− cos(2x)) ,

g(x) =

√ x+ x2 −√x√ 3x ln(1 + x)

, h(x) = (x−2 + 1) √ x

Ex. 3 Soit f : R → R une fonction telle qu’en tout point x les limites f(x+0) et f(x− 0) existent et sont égales. f est-elle nécessairement continue ? Ex. 4 Soit f : [0, 1] → [0, 1] une application continue. Montrer qu’il existe (au moins) un nombre x ∈ [0, 1] tel que f(x) = x. Ex. 5 Soit f : R → R une application continue, vérifiant lim|x|→∞ f(x) = +∞. Montrer que f admet un minimum sur R (i.e., il existe x̄ ∈ R tel que f(x̄) ≤ f(x) pour tout x ∈ R). Ex. 6 Soit f : R → R une application continue. Montrer l’équivalence des deux assertions suivantes : (a) lim

|x|→+∞ |f(x)| = +∞ ;

(b) pour tout m > 0, l’image réciproque de [−m,m] est bornée. Ex. 7 Pour chacune des fonctions suivantes, dire si elle est ou non uni- formément continue sur son ensemble de définition : a) x 7→ ln x ; b) x 7→ x2 ; c) x 7→ √x ; d) x 7→ sin x. Ex. 8 ∗ Soit f : R → R une application uniformément continue. Montrer qu’il existe deux constantes a ≥ 0 et b ≥ 0 telles que

|f(x)| ≤ a|x|+ b, ∀x ∈ R.

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5.2 Applications dérivables

Ex. 1 Soit f une fonction dérivable sur R. On définit

g(x) = f(sin2 x) et h(x) = sin2 (

f(x) )

.

Exprimer les dérivées de g et de h en fonction de f et f ′.

Ex. 2 Montrer, en utilisant la définition de la dérivée en 0, que

lim x→0

sin x

x = 1, lim

x→0

cosx− 1 x

= 0, lim x→0

ex − 1 x

= 1, lim x→0

ln(1 + x)

x = 1.

Ex. 3 Calculer la dérivée logarithmique, puis la dérivée usuelle de

f(x) = x5 cos3 x sin4 x

(1 + x2)ex ·

Ex. 4 Soit f : R → R dérivable telle que f ′(x) → 0 lorsque x → +∞. Montrer que f(x+ 1)− f(x) → 0 lorsque x → +∞.

Ex. 5 (Extrait de la colle de Novembre 2002) Soient f et g deux fonctions dérivables sur R. On note F (x) =

∫ x

0 f(t) dt (resp. G(x) =

∫ x

0 g(t) dt) la

primitive de f (resp. de g) s’annulant en 0. Etudier la validité de chacune des assertions suivantes. On justifiera sa réponse en donnant une preuve courte lorsque l’assertion est vraie, et un contre-exemple lorsqu’elle est fausse. (A1) f(x) ∼ g(x) lorsque x → 0 ⇒ F (x) ∼ G(x) lorsque x → 0. (On supposera en outre que f et g sont positives ou nulles, pour simplifier.) (A2) f(x) ∼ g(x) lorsque x → 0 ⇒ f ′(x) ∼ g′(x) lorsque x → 0. (A3) f(x) ∼ g(x) lorsque x → +∞ ⇒ ef(x) ∼ eg(x) lorsque x → +∞.

Ex. 6 ∗ On dit qu’une application f : I → R est höldérienne d’exposant α > 0 s’il existe une constante C > 0 telle que

∀x, y ∈ I |f(x)− f(y)| ≤ C|x− y|α.

i) Montrer que x → √x est höldérienne d’exposant 1/2 sur I = [0, 1]. ii) Montrer que si f : I → R est höldérienne d’exposant α > 1, alors f est constante. (Indication : montrer que f est dérivable et que sa dérivée est nulle sur I.)

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Ex. 7 ∗ Soit f :]a, b[→ R une fonction dérivable et telle que f ′(x) a une limite (finie) l′ lorsque x → a. i) Montrer que f(x) a aussi une limite finie lorsque x → a. (Indication : vérifier que le critère de Cauchy est satisfait.) ii) On prolonge f par continuité en a. Montrer que f est dérivable en a et que f ′(a) = l′. iii) Application : Soit la fonction f(x) = Argthx + Argth x2 définie et dérivable sur ] − 1, 1[. Montrer que f se prolonge en −1 en une fonction dérivable. (On rappelle que Argth ′(x) = 1

1−x2 .)

Ex. 8 (Extrait de la colle de Novembre 2002) Soit f une fonction de classe C1 sur R. On s’intéresse à la réflexion sur la courbe C = {(x, f(x)), x ∈ R} d’un rayon lumineux arrivant de l’infini en décrivant la demi-droite {(x, y) ∈ R2, x = x0 et y > f(x0)}. 1. Soient ~v, ~n et ~r des vecteurs directeurs respectivement du rayon incident (vertical), de la normale à la courbe en (x0, f(x0)) et du rayon réfléchi. On choisit ~v, ~n et ~r de telle sorte qu’ils pointent vers la partie de R2 au dessus de la courbe C, et que ~v et ~r soient de norme 1. On rappelle que dans ces conditions les lois de l’optique géométrique se traduisent par la relation

~v · ~n = ~n · ~r.

Exprimer ~r en fonction de f ′(x0). 2. Calculer l’ordonnée (notée g(x0)) du point situé à l’intersection du rayon réfléchi et de l’axe des ordonnées. 3. Montrer que la fonction g est constante lorsque f(x) = 1

2 x2.

4. Est-ce encore vrai lorsque f(x) = 1− √ 1− x2 ? Que se passe-t-il lorsque

x0 → 0 ? 5. Donner l’interprétation physique des résultats obtenus aux questions 3 et 4.

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5.3 Applications réciproques

Ex. 1 a. Montrer que arctan(x) + arctan( 1 x ) = π

2 sgn(x) pour tout x ∈ R∗.

b. Montrer que arccos(x) + arcsin(x) = π 2 pour tout x ∈ [−1, 1].

Ex. 2 Soient x ∈ R \ {π 2 + kπ, k ∈ Z} et n =

[

x π + 1

2

]

. Montrer que arctan(tan(x)) = x− nπ.

Ex. 3 (Extrait de l’examen de Janvier 2003) Calculer A = cos(arccos(1 3 ) +

arcsin(1 2 )), B = sin(arccos(1

4 ) + π

3 ), C = cos(1

2 arctan 1), D = arctan(tan 2).

5.4 Fonctions convexes

Ex. 1 Montrer que |ab| ≤ (a2 + b2)/2 pour tout a, b ∈ R, puis que a2 + ab+ b2 > 0 pour tout (a, b) 6= (0, 0). Montrer que |ab| ≤ εa2 + 1

4ε b2 pour tous

ε > 0, a, b ∈ R. Application : Montrer que pour tous x, y ∈ R,

1

3 x2 + x sin y − 3

4 cos2 y ≥ −3

4 ·

Ex. 2 Inégalité de Young : Soient p et p′ deux nombres dans [1,+∞[ et tels que 1/p+ 1/p′ = 1. Montrer, en utilisant la concavité du logarithme, que

ab ≤ a p

p +

bp ′

p′ ∀a, b ≥ 0.

Ex. 3 Montrer que ( √ x+

√ y)/

√ 2 ≤ √x+ y ≤ √x+√y pour tous x, y ≥ 0.

Ex. 4 Montrer

xp + yp ≤ (x+ y)p ≤ 2p−1(xp + yp) ∀x, y ≥ 0, ∀p ≥ 1.

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Ex. 5 Prouver 2

π x ≤ sin x ≤ x ∀x ∈ [0, π

2 ].

Ex. 6 Soit f : I → R une fonction de classe C1 et telle que f ′ est convexe, et soit a ∈ I. On introduit la fonction taux d’accroissement en a

τa(x) =

f(x)− f(a) x− a si x ∈ I, x 6= a,

f ′(a) si x = a.

Montrer que

τa(x) =

∫ 1

0

f ′(a+ t(x− a)) dt ∀x ∈ I.

En déduire que τa est convexe sur I. Application : Vérifier que la fonction lnx

x−1 est concave sur ]0,+∞[.

Ex. 7 Soit f : [a, b] → R une application dérivable et convexe. Montrer que le maximum de f est atteint en a ou en b.

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