Exercices sur les compléments mathématiques, Exercices de Mathématiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8928 février 2014

Exercices sur les compléments mathématiques, Exercices de Mathématiques

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Exercices de mathématique sur les compléments mathématiques. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: exercices.
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Microsoft Word - Examen+Corrigé Complém Mathém 1 1ère SM_10-11.doc

Bon courage

~ Examen Final ~ Matière: Compléments Mathématiques 1

Exercice n°1 (06 points) Dans un repère orthonormé OXYZ, de base )k,j,i,O(

rrr , on considère les vecteurs :

j3i3v1 rrr

+= et kj3iv2 rrrr

++= . 1.Représenter les vecteurs 1v

r et 2v r .

2.Calculer 1v r , 2v

r et les produits 21 v.v rr et 21 vv

rr ∧ .

3.Calculer l’angle θ formé par les vecteurs 1v r et 2v

r . 4.Montrer que le vecteur k2jiv3

rrrr +−= est perpendiculaire au plan (P) formé par les vecteurs 1v

r et 2v r .

5.Montrer que le vecteur ki2v4 rrr

−= appartient au plan (P).

Exercice n°2 (03 points)

Dans un repère orthonormé OXYZ, de base )k,j,i,O( rrr

, on considère les deux vecteurs V r

et W r

. Ils sont donnés à tout instant t par : ktj)t2cos(i)tsin()t(V 2

rrrr ++= , k)t3sin(j)t3cos(2ie)t(W t

rrrr +−= − .

1.a. Déterminer V r

et W r

à l’instant t0 =0.

b. Déterminer dt Vd r

et dt Wd r

à l’instant t0=0.

2.Déterminer l’instant t1 où le vecteur k)t3sin(2j)t3cos(ie)t(H t2 rrrr

−+= est perpendiculaire à W r

.

Exercice n°3 (04 points)

Considérant deux points, A et B, donnés en coordonnées cartésiennes par : )2,2,2(A , )0,1,0(B .1.Représenter ces deux points dans la base cartésienne )k,j,i,O(

rrr .

2.Donner les coordonnées cylindriques )z,,( ϕρ et sphériques ),,r( ϕθ de ces points, respectivement dans les bases locales )e,e,e( z

rrr ϕρ et )e,e,e( r ϕθ

rrr .

Exercice n°4 (03 points)Dans un plan XOY, un point M est repéré à tout instant t par ses coordonnées polaires ),r( θ telles que :

)tcos(a)t(r ω= t)t( ωθ =

a et ω sont des constantes positives, OMr =r et )r,OX( r ∧

=θ .

1.Dans la base locale )e,e( r θ rr , associée aux coordonnées polaires, déterminer les vecteurs OMr =r et

dt OMdv =r .

2.Toujours dans la même base, déterminer puis représenter les vecteurs 1r r et 1v

r à l’instant s)4/(t1 ωπ= .

Exercice n°5 (04 points)Dans le plan XOY muni d’une base orthonormée )j,i,O(

r , on considère la conique (C) de foyer )1,1(F − , de

directrice (D) d’équation x=5 et d’excentricité e =1/3. 1.Quelle est la nature de (C) (ellipse, hyperbole ou parabole). 2.a. Dans la base )j,i,O(

r , représenter : le foyer F, l’axe focal () etla directrice (D).

b. Déterminer l’équation de (C) dans le repère )j,i,O( r

.

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Corrigé : Examen Final Matière: Compléments Mathématiques 1 (S1)

2

~ Corrigé : Examen Final ~ Matière: Compléments Mathématiques 1

Exercice n°1 (06 points)

1.Représentation des vecteurs 1v r

et 2v r

: → Figure ci-contre.

2.18v1 = r

11v2 = r

12v.v 21 = rr

k6j3i3vv 21 rrrrr

+−=∧ 3.Angle θ formé par les vecteurs 1v

r et 2v r

.

On a : θcos.v.vv.v 2121 rrrr

=

1118

12 v.v

v.vcos 21

21 == rr rr

θ → °≈ 47.31θ

4.k2jiv3 rrrr

+−= ⊥ (P)

3v r ⊥ (P)

⎪ ⎩

⎪ ⎨

23

13

vv et

vv

rr

rr

→ ⎪ ⎩

⎪ ⎨

=

=

0v.v et

0v.v

23

13

rr

rr

On a : ⎪ ⎩

⎪ ⎨

=+−=

=−=

0231v.v et

033v.v

23

13

rr

rr

→ donc 3v r

(P)

[Autre méthode : On montre que 3v r // )vv( 21

rr ∧ , c-à-d 0)vv(v 213 =∧∧

rrr ……….]

5.ki2v4 rrr

−= appartient au plan (P).ki2v4

rrr −= ∈ (P) αet β t.q : 214 vvv

rrr βα +=

→ on trouve α=1 et β=-1214 vvv

rrr −= . Donc 4v

r ∈ (P)

[Autre méthode : On montre que 4v r ⊥ )vv( 21

rr ∧ , c-à-d : 0)vv.(v 214 =∧

rrr ……….]

Exercice n°2 (03 points)

ktj)t2cos(i)tsin()t(V 2 rrrr

++= , k)t3sin(j)t3cos(2ie)t(W t rrrr

+−= − .

1.a.V r

et W r

à l’instant t0 =0 : j)0(V rr

=

j2i)0(W rrr

−=

b. dt Vd r

et dt Wd r

à l’instant t0 :kt2j)t2sin(2i)tcos(dt Vd rrr r

+−= → i dt Vd

0t

r r

=⎟⎟ ⎠

=

k)t3cos(3j)t3sin(6ie dt Wd t rrr r

++−= − → k3i dt Wd

0t

rr r

+−=⎟⎟ ⎠

=

2.Instant t1 où le vecteur H r

est perpendiculaire à W r

.

k)t3sin(2j)t3cos(ie)t(H t2 rrrr

−+= ; k)t3sin(j)t3cos(2ie)t(W t rrrr

+−= − .

A l’instant t1, WH rr

0W.H = rr

02e)t3(sin2)t3(cos2eW.H t22t =−=−−=

rr

2lnt1 =

0,5 pts

0,5 pts0,5 pts

0,5 pts0,5 pts 1v

r

2v r

i r

j r

k r

X

Z

Y

0,5 pts

0,5 pts

0,5 pts

0,5 pts

0,5 pts

0,5 pts

0,5 pts

0,5 pts

0,5 pts

0,5 pts

0,5 pts

0,5 pts

0,5 pts

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Corrigé : Examen Final Matière: Compléments Mathématiques 1 (S1)

3

Exercice n°3 (04 points) 1. Représentation des deux points A et B :Figure ci-contre. 2. Coordonnées cylindriques et sphériques des points A et B:

(x,y,z) )z,,( ϕρ ),,r( ϕθ

)2,2,2(A )2, 4

,2()z,,( AAA πϕρ = )

4 ,

4 ,8(),,r( AAA

ππϕθ =

)0,1,0(B )0, 2

,1()z,,( BBB πϕρ = )

2 ,

2 ,1(),,r( BBB

ππϕθ =

Exercice n°4 (03 points) 1. Vecteurs rr et vr dans la base locale )e,e( r θ

rr .

rr etcosaerOM)t(r rrr

ω=== .

[ ]θωωω etcosetsinadt OMd)t(v r

rrr +−== .

2. Détermination et représentation des vecteurs 1r r et 1v

r à l’instant s)4/(t1 ωπ= .

t(s) rr v r

s)4/(t1 ωπ= r1 e2 2ar rr =

⎥ ⎥ ⎦

⎢ ⎢ ⎣

⎡ +−= θω e2

2e 2 2av r1

rrr

On a : 2 2ar1 =

r .

ωav1 = r .

Représentation des vecteurs 1r r

et 1v r

à l’instant t1 → figure ci-contre.

Exercice n°5 (04 points)Conique (C) de foyer F(1,−1), de directrice (D) d’équation x=5 et d’excentricité e =1/3.

1.Nature de (C) : Excentricité e =1/3 <1 (C) est une ellipse.

2.a. Représentation du foyer F, de l’axe focal () etla directrice (D).

Figure ci-contre.

b. Equation de (C) dans le repère )j,i,O( r

.

On a : e MH MF

=

e MH MF

= ⇔ 222 MHeMF =

2H2F2F )xx(9 1)yy()xx( −=−+−

222 )x5( 9 1)1y()1x( −=++− ; (avec 5xH = )

07y18x8y9x8 22 =−+−+

End

0,5 pts

0,5 pts

F(1,-1)

Directrice (D) : x=5

M(x,y)

i

j r

X

Y

H(5,y)

K

Axe focal

0,5 pts

0,5 pts0,5 pts

0,5 pts

01 pt

1r r

re r

θe r

1v r

i r

j r

O X

Y

π/4

t=t1

0,5 pts

0,5 pts

0,5 pts0,5 pts

0,5 pts

0,5 pts

0,75 pts 0,75 pts

0,75 pts

i r

j r

k r

X

Z

Y2

A

B

2

0,5 pts

0,5 pts 0,75 pts

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