Exercices sur les coordonnées d’un point mobile, Exercices de Logique mathématique

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Exercices de sciences mathématiques sur les coordonnées d’un point mobile. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la trajectoire de M, les nombres complexes, l’équation, la transformée de la droite d’équation.
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[ Baccalauréat C Grenoble septembre 1970 \

EXERCICE 1

Relativement à un repère, (x’Ox, y’Oy), orthonormé les coordonnées d’un point mo-

bile M sont définies, en fonction du temps t , par

{

x = R(t − sin t),

y = R(1−cos t),

R désignant une longueur donnée.

1. Que peut-on dire des positions des vecteurs vitesse et des vecteurs accéléra-

tion de M à deux instants t1 et t2, tels que t2− t1 = 2π ?

Quelle simplification peut-on en déduire relativement à l’étude du mouve-

ment de M (étude que l’on ne demande pas d’effectuer), en particulier, pour

la construction de la trajectoire de M (construction qui n’est pas demandée) ?

2. −→

V étant le vecteur vitesse de M à l’instant t , on considère le point M ′ défini

par −−−→

OM ′ = −→

V .

Quelle est la trajectoire de M ′ ? Montrer que M ′ est animé d’un mouvement

uniforme.

EXERCICE 2

Résoudre dans l’ensemble, C, des nombres complexes l’équation

z2− (5− i)z +8− i= 0,

z est l’inconnue.

EXERCICE 3

Dans un plan rapporté à un repère orthonormé (x′Ox, y ′Oy), on considère la trans-

formation (T ) qui à tout point M différent de O associe le point M ′ construit de la

façon suivante :

soit K la projection orthogonale de M sur x′Ox et T le symétrique de K par rapport

à O ; M ′ est la projection orthogonale de O sur la droite MT .

Partie A

1. Calculer les coordonnées (x′ ; y ′) de M ′ en fonction des coordonnées (x ; y)

de M .

2. Déterminer la transformée de la droite d’équation x = 1 et en donner l’équa-

tion.

3. Déterminer tous les points M dont le transformé M ′ appartient à la droite

d’équation y = x.

4. Déterminer les points M tels que (Ox, Oy, OM , OM ′) soit un faisceau harmo-

nique.

Partie B

1. Soit (Π) la parabole d’équation y2 = 4x ; en déterminer le foyer et la directrice.

2. On suppose désormais que le point M appartient à (Π). Montrer que la droite

M M ′ est tangente à (Π) en M .

Le baccalauréat de 1971 A. P. M. E. P.

3. Soit I le point de coordonnées (−1 ; 0), (Γ) le cercle de diamètre IO et (∆) la

perpendiculaire en I à (x′Ox ; la droite OM ′ recoupe (Γ) en P et coupe (∆) en

Q .

Montrer que −−−→

OM ′ = −−→

PQ et endéduire une constructionpar points de la courbe (

Π ′ )

transformée de (Π) par (T ).

Grenoble 2 septembre 1970

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