Exercices sur les ensembles et les applications, Exercices de Mathématiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8928 février 2014

Exercices sur les ensembles et les applications, Exercices de Mathématiques

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Exercices de mathématique sur les ensembles et les applications. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: exercices.
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1. Ensembles - Applications

Ex. 1 Dans chacun des cas suivants mettre dans l’espace ... le symbole ap- proprié parmi ∈, 6∈, ⊂, 6⊂ : a) 1 ... C; b) {2} ... R; c) {3, 1− 2i} ... Z; d)

√ 2 ... Q;

e) R \Q ... C \ Z; f) π ... R; g) {π} ... R.

Ex. 2 On désigne par I l’intervalle [0, 4] et on considère les fonctions de I dans R définies de la façon suivante : f1(x) =

x 2 + 3,

f2(x) = x+ 1, f3(x) = −x2 + 4 x+ 2. a) Tracer sur une même figure les courbes représentatives de f1, f2 et f3. b) Etudier chacune des assertions suivantes et dire si elle est vraie ou fausse. On justifiera sa réponse par un argument d’une à deux lignes au plus. (A1) ∃M ∈ R tel que ∀x ∈ I f1(x) ≤ M ; (A2) ∀x ∈ I, ∃x′ ∈ I tel que f1(x) = f2(x′) ; (A3) ∃x ∈ I tel que ∀x′ ∈ I f1(x′) ≤ f3(x) ; (A4) ∃x′ ∈ I tel que ∀x ∈ I f1(x′) ≤ f3(x) ; (A5) ∀x ∈ I, f2(x) ≤ f1(x).

Ex. 3 Dans chacun des cas suivants, dire si l’application f : R → R est injective, surjective ou bijective : a) f(x) = x2; b) f(x) = x3; c) f(x) = x(x2 − 1); d) f(x) = exp x; e) f(x) = sin x.

Ex. 4 Soit A = {a1, ..., an} un ensemble fini. 1. Soit f : A → A. Montrer que f est injective si, et seulement si, f est surjective. Le résultat persiste-t-il si A est infini ?

1

2. Combien y a-t-il de bijections de A sur A ?

Ex. 5 Trouver un majorant du nombre de chiffres d’un entier n.

Ex. 6 Supposons qu’un plan d’épargne soit rémunéré 5% par an, et que les intérêts acquis à la fin de chaque année viennent s’ajouter au capital. Au bout de combien d’années le capital aura-t-il doublé ?

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