Exercices sur les intégrales doubles, Exercices de Mathématiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8928 février 2014

Exercices sur les intégrales doubles, Exercices de Mathématiques

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Exercices de mathématique sur les intégrales doubles. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: exercices et calculs.
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13. Intégrales doubles

Ex. 1 Calculer

∫ ∫

D

x y2

1 + x2 dxdy, où D = {(x, y) ∈ R2, 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤

1}.

Ex. 2 Calculer

∫ 1

0

( ∫ 1−y

0

ax by dx

)

dy, où a et b sont deux réels distincts,

strictement positifs et différents de 1.

Ex. 3 Des deux intégrales suivantes, laquelle est la plus facile à calculer ? Effectuer ce calcul.

√ 3

1

(∫ 1

0

2 x

(x2 + y2)2 dx

)

dy ,

∫ 1

0

(

√ 3

1

2 x

(x2 + y2)2 dy

)

dx.

Ex. 4 Calculer ∫ z

0

(∫ y

0

(∫ x

0 1 dt )

dx )

dy, puis déterminer par récurrence

∫ xn

0

(∫ xn−1

0

(

. . .

∫ x1

0

1 dx0

)

dx1 . . .

)

dxn−1.

Ex. 5 Calculer

∫ 1

0

(

∫ y

0

2(x+ y) (

1 + (x+ y)2 )2 dx

)

dy et

∫ 1

0

(

∫ 1

x

2(x+ y) (

1 + (x+ y)2 )2 dy

)

dx. L’égalité était-elle prévisible ?

Ex. 6 Calculer Iε =

∫ ∫

exp y

x dx dy, où 0 < ε < 1 et

Dε = {(x, y) ∈ R2, y ≤ x, y ≥ 0 et ε ≤ x ≤ 1}. Que vaut limε→0+ Iε ?

Ex. 7 Calculer ∫∫

D (1− x− y) dx dy, où

D = {(x, y) ∈ R2, y + x ≤ 1, y ≥ 0, x ≥ 0}.

Ex. 8 Calculer (en utilisant les coordonnées polaires)

∫ ∫

D

y3

x2 + y2 dxdy, où

D = {(x, y) ∈ R2, 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4, x ≥ 0, y ≤ x}.

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Ex. 9 Calculer l’aire du domaine

D = {(x, y) ∈ R2, y ≤ 2− x2 et y ≥ x}.

Ex. 10 Calculer l’aire du domaine

D = {(x, y) ∈ R2, | x |≤ 1, 2 √ 3 x2 ≤ y ≤

√ 1− x2}.

Ex. 11 Soit D le domaine défini par

D = {(x, y) ∈ R2, 1 ≤ x ≤ √ 3,

x√ 3 ≤ y ≤ x}.

Calculer directement, puis en utilisant les coordonnées polaires, l’intégrale

double

∫ ∫

D

x

x2 + y2 dxdy.

Ex. 12 Calculer ∫∫

D (y − x) dx dy, où D = {(x, y) ∈ R2, x ≥ 0, x − 3 ≤

y ≤ x+ 1, −2 x+ 1 ≤ y ≤ −2 x+ 7}, en faisant le changement de variables u = y − x, v = y + 2 x.

Ex. 13 Aire d’une ellipse (Extrait de l’examen de Juin 2004) On veut calculer l’aire du domaine ∆ = {(x, y) ∈ R2; x2/a2 + y2/b2 < 1} délimité par l’ellipse d’équation x2/a2 + y2/b2 = 1. 1. Montrer que l’application ϕ : (r, θ) 7→ (x, y) = (ra cos θ, rb sin θ) définit un changement de variables de classe C1 de D =]0, 1[×] − π, π[ sur ∆′ = ∆ \ [−a, 0]× {0}. Représenter D et ∆′. 2. Calculer l’aire de ∆′ grace au changement de variables précédent. 3. Que retrouve-t-on lorsque a = b ?

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