Exercices sur les intégrales simples, Exercices de Mathématiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8928 février 2014

Exercices sur les intégrales simples, Exercices de Mathématiques

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Exercices de mathématique sur les intégrales simples. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Intégrale de Riemann, Calcul de primitives et d’intégrales.
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9. Intégrales simples

9.1 Intégrale de Riemann

Ex. 1 Un automobiliste parcourt en 2 heures un tronçon d’autoroute de 260 km délimité par deux péages. Un agent de la circulation situé au second péage est convaincu que l’automobiliste a commis un excès de vitesse. Pourquoi a- t-il raison ?

Ex. 2 On pose pour tout n ≥ 1

un =

n ∑

k=1

1

n+ k , vn =

n−1 ∑

k=0

1√ n2 + k2

·

Ecrire un et vn comme des sommes de Riemann et calculer les limites des suites (un) et (vn).

Ex. 3 Soit un = n −2(e

1 n + 2 e

2 n + · · · + n enn ) pour tout n ≥ 1. Calculer

limn→+∞ un.

Ex. 4 Calculer l’aire comprise entre les courbes y1(x) = √ 1− x2, x ∈

[−1, 1] et y2(x) = √ 1 + x2 −

√ 2, x ∈ [−1, 1].

Ex. 5 Soit F (x) =

∫ x

0

du

2 + cosu · Montrer que la fonction F est définie et

dérivable sur R et impaire. Calculer F (x) dans ]− π, π[ à l’aide du change- ment de variables t = tan u

2 . En déduire la valeur de F (π) et celle de

∫ π

π

2

du

2 + cosu ·

Ex. 6 ∗ 1. Montrer que pour tout x 6∈ 2πZ N ∑

k=1

eikx = eix eiNx − 1 eix − 1 = e

i(N+1)x/2 sin(Nx/2)

sin(x/2) ·

23

2. On pose pour tout y ∈ R et tout N ∈ N∗

SN(y) = N ∑

k=1

sin(ky)

k ·

Comme la fonction SN est impaire et 2π-périodique, on se restreint à l’intervalle d’étude [0, π], donc dans ce qui suit y ∈ [0, π]. Montrer que

SN(y) =

∫ y

0

cos((N + 1)x/2) sin(Nx/2)

sin x/2 dx

= 1

2

∫ y

0

sin(Nx)cotg(x/2) dx− 1 2

∫ y

0

(1− cos(Nx)) dx.

(Indication : on utilisera le fait que sin(ky)/k = ∫ y

0 cos(kx) dx.)

3. Lemme de Riemann-Lebesgue : Soit f : [a, b] → R une fonction de classe C1. Montrer que

lim N→+∞

∫ b

a

f(x)eiNx dx = 0.

(Indication : intégrer par parties.) 4. Remarquant que SN(π) = 0 et utilisant la question 3, montrer que pour tout y ∈]0, π]

lim N→+∞

SN(y) = π − y 2

·

5. Calculer limy→0 y>0

limN→+∞ SN (y) et limN→+∞ limy→0 y>0

SN(y).

Ex. 7 ∗ Intégrales de Wallis et formule de Stirling Le but de cet exercice est de donner un équivalent simple de n ! lorsque n → +∞. 1. Montrer que pour tout n ∈ N∗ et tout x ∈ [n, n + 1]

lnn + (x− n) ln n+ 1 n

≤ ln x ≤ lnn+ 1 n (x− n). (∗)

En déduire que 2

2n+ 1 ≤ ln n + 1

n ≤ 2n+ 1

2n(n+ 1) ·

24

2. Soit la suite (un)n≥1 définie par

un = (n + 1

2 ) lnn− lnn !− n.

Montrer que pour tout n ≥ 1

0 ≤ un+1 − un ≤ 1

4n(n+ 1) ·

En déduire que la suite (un) est convergente. 3. Prouver qu’il existe un nombre C > 0 tel que

n ! ∼ Ce−nnn+ 12 lorsque n → +∞.

4. Cette question a pour but de déterminer la valeur de la constante C. On introduit la suite (In)n≥0 des intégrales de Wallis

In =

∫ π

2

0

sinn t dt.

a) Montrer que

In =

∫ π

2

0

cosn t dt ∀n ∈ N.

Calculer I0 et I1 et montrer que

In = n− 1 n

In−2 ∀n ≥ 2.

b) On pose pour tout n ∈ N∗

vn = 1 · 3 · 5 · · · (2n− 1) 2 · 4 · 6 · · · (2n) ·

Montrer que pour tout m ≥ 1

I2m = π

2 vm et I2m+1 =

1

2m+ 1

1

vm ·

c) Prouver que

vm ∼ 1√ π

1√ m

lorsque m → +∞.

25

d) Etablir la formule de Stirling

n ! ∼ √ 2π

√ n (n

e

)n

lorsque n → +∞.

(Indications: Remarquer que vm = (2m !)/(2 mm !)2 et utiliser la question 3.)

5. Montrer que pour tout λ > 1 et tout p ∈ N∗

np = o(λn) et λn = o(n !).

9.2 Calcul de primitives et d’intégrales

Ex. 1 Calculer I = ∫ 3

2 x √ 1 + x4 dx.

Ex. 2 (Extrait de la colle de Mars 2004)

Calculer les intégrales suivantes : I1 =

∫ 1

0

√ 1 + x2 dx, I2 =

∫ 1

0

(x2+2)−2 dx,

I3 =

∫ π

2

0

2 + sin θ . On rappelle que argsh x = ln(x+

√ x2 + 1).

Ex. 3 Calculer les primitives suivantes (en précisant leurs domaines) ∫

ln(x+ x−1) dx et ∫

arcsin(x) dx.

Ex. 4 (Extrait de la colle de Mars 2004)

Donner les primitives de 1

x(ln x)3 , ex(x− x2), x− 2

x2 + x− 2 , ln x

x 5 2

.

Ex. 5 (Extrait de l’examen de Septembre 2004)

Donner les primitives de x ex 2 , ln x,

x2 + x+ 2

x(x2 + 1) , √ x ln x, e2x cos(3x),

1 + sin x

sin x cosx ·

Ex. 6 Donner les primitives de tan x, arctan x, cos

√ x√

x , x4 − 2x+ 1

1− x3 , x 2 ex,

1

sin x , cos2 x sin3 x.

26

Ex. 7 Donner les primitives de sin x

1 + cos2 x , ln x

x2 ,

x2√ 1− x3

, x3 + 1

(x2 + 2)2 ,

cosh x

1− sinh x ·

Ex. 8 Soit a > 0. Donner les primitives de 1

x2 + a2 ,

1√ x2 + a2

, 1√

a2 − x2 ,

1√ x2 − a2

.

Ex. 9 Donner les primitives de 2x+

√ x− 1

1 + √ x− 1

et de x√

x2 + 2x+ 2 ·

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