Exercices sur les polynomes, Exercices de Mathématiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8928 février 2014

Exercices sur les polynomes, Exercices de Mathématiques

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Exercices de mathématique sur les polynomes.Les principaux thèmes abordés sont les suivants:exercices.
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6. Polynômes

Ex. 1 Effectuer la division euclidienne de A = x5−3x2+1 par B = x2+x+2, puis la division suivant les puissances croissantes jusqu’à l’ordre 2 de A par B.

Ex. 2 Utilisant l’algorithme d’Euclide, montrer que les polynômes A = x3+1 et B = −2x2+1 sont premiers entre eux, et donner un couple (U, V ) ∈ R[x]2 satisfaisant l’identité de Bezout AU +BV = 1.

Ex. 3 Déterminer le PGCD de A = x4 − 1 et de B = x3 − 3x2 + x− 3.

Ex. 4 Soit A = x3− 7x2+16x− 12. Déterminer le PGCD de A et de A′, et trouver ses racines (qui sont les racines multiples de A). Déterminer toutes les racines de A.

Ex. 5 Soient P = x4 + x2 + 1 et Q = x3 + 1. Donner le PGCD de P et de Q et la décomposition de P en facteurs irréductibles sur R, puis celle en facteurs irréductibles sur C.

Ex. 6 On étudie le système

a2 + b2 + c2 = 14 (1) a+ b+ c = −2 (2)

a−1 + b−1 + c−1 = −5 6

(3)

Montrer que le système est équivalent à

ab+ bc+ ca = −5 (1′) a+ b+ c = −2 (2)

abc = 6, (3′)

et résoudre le second système.

Ex. 7 Polynômes de Tchebychev Pour tout n ≥ 0, on pose

Tn(x) = cos(n arccosx), ∀x ∈ [−1, 1].

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i) Exprimer cosny en fonction de cos y. Montrer que Tn est un polynôme de degré n pour tout n ≥ 0. Calculer T0, T1, T2. ii) Montrer que cos(n + 1)y + cos(n − 1)y = 2 cosny cos y pour tout y. En déduire que

Tn+1 = 2xTn − Tn−1. Calculer T3, T4 et tracer le graphe de T4. iii) On pose xk = cos(

2k−1 2n

π) pour 1 ≤ k ≤ n. Montrer que Tn n’a que des racines simples, qui sont les xk. iv) On pose x′k = cos(

kπ n ) pour 0 ≤ k ≤ n. Montrer que Tn atteint ses

extrema sur [−1, 1] en les x′k.

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