Exercices sur les sciences mathématiques, Exercices de Mathématiques. Université Claude Bernard (Lyon I)
Emmanuel_89
Emmanuel_8928 février 2014

Exercices sur les sciences mathématiques, Exercices de Mathématiques. Université Claude Bernard (Lyon I)

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Exercices de mathématique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: exercices, nombres réels, les fonctions.
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MATHÉMATIQUES, durée : 1h30

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Exercice 1 On suppose que a, b sont des nombres réels > 0 fixés. Donner pour les fonctions f suivantes

- le domaine de définition D f (l’ensemble des nombres réels x pour lesquels f (x) a un sens)

- la dérivée f 0 (x) en tout x de D f où elle existe

- la limite de f (x) quand x +∞ lorsqu’elle existe x

a) f (x) = 1

a + b x

b) f (x) = ln(a + ebx )

Exercice 2

On suppose que a, b sont des nombres réels > 0 fixés. Résoudre en l’inconnue x les équations ou

inéquations suivantes

a) b ≥ (ax + b)2

b) bebx > a + ebx

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Exercice 3

Un joueur dispose d’un dé équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et de trois urnes U1,

U2, U3 contenant chacune n boules indiscernables au toucher. L’entier n est supposé ≥ 3. Il y a

une boule noire dans U1, deux boules noires dans U2 et trois boules noires dans U3, les autres

boules sont blanches. Le jeu se déroule ainsi :

Le joueur lance le dé

S’il obtient 1,2 ou 3 il prend au hasard une boule dans U1, note sa couleur et la remet dans U1

S’il obtient 4 ou 5 il prend au hasard une boule dans U2, note sa couleur et la remet dans U2

S’il obtient 6 il prend au hasard une boule dans U3, note sa couleur et la remet dans U3.

On note A, B, C, D les événements suivants :

A : le dé amène le numéro 1,2 ou 3

B : le dé amène le numéro 4 ou 5

C : le dé amène le numéro 6 D : la boule tirée est de couleur noire.

a) Déterminer la probabilité d’obtenir une boule noire, en fonction de n.

b) Quelle est la probabilité que le dé ait amené le numéro 6 sachant que la boule tirée est noire ?

c) Le joueur joue trois parties, sans relation entre les parties. Quelles valeurs peut on donner à 1l’entier n pour que la probabilité d’obtenir trois boules noires soit inférieure à ?

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Exercice 4

On considère la suite (un ) de nombres réels définie par a) Montrer que pour x ≥ 21/3 on a 21/3 ≤ f (x) ≤ x.

b) Montrer que pour tout entier n ≥ 0 on a 21/3 ≤ un+1 ≤ un .

c) Comment se comporte la suite (un ) quand n tend vers l’infini ?

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