Exercices sur les suites et les séries de fonctions, Exercices de Mathématiques Appliquées
Caroline_lez
Caroline_lez28 janvier 2014

Exercices sur les suites et les séries de fonctions, Exercices de Mathématiques Appliquées

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Exercices de mathématiques sur les suites et les séries de fonctions. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Etude d'une serie trigonometrique, Series trigonometriques solutions d'une equation di erentiel...
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Université de Rennes 1– 2012/2013

L3–Suites et séries de fonctions–Feuille de TD 9

Exercice 1. (Etude d’une série trigonométrique) On considère la série trigonométrique∑ n≥1

sin(2n− 1)x (2n− 1)3

.

(i) Montrer que cette série est uniformément convergente sur R. (ii) Montrer que la somme f : R→ R de cette série est continûment dérivable sur R et calculer sa dérivée f ′ sous forme de série trigonométrique. (iii) Déterminer une primitive de f sous forme de série trigonométrique.

Exercice 2. (Etude d’une série trigonométrique) On considère la série trigonométrique

∑ n∈Z∗ e

inx/i √ |n|.

(i) Ecrire cette série trigonométrique sous la forme a0 + ∑

n≥1 an cos nx+ bn sin nx. (ii) Etudier la convergence simple et la convergence uniforme de cette série trigonométrique.

Exercice 3. (Etude d’une série trigonométrique) On fixe un nombre réel r ∈ [0, 1[ et on considère la série trigonométrique 1 + 2

∑+∞ n=1 r

neinx. (i) Montrer que cette série est uniformément convergente sur R et déterminer sa somme f : R→ C (ii) Déduire de (i) une expression simple pour les sommes des séries

1 + 2 +∞∑ n=1

rn cos(nx) et 2 +∞∑ n=1

rn sin(nx).

Exercice 4. (Séries trigonométriques solutions d’une équation différentielle) On considère une série trigonométrique

∑ n∈Z cne

inx telle que les séries de terme général n2|cn| et n2|c−n| convergent. (i) Montrer que

∑ n∈Z cne

inx converge uniformément sur R. Soit f : R→ C la somme de cette série.

(ii) Montrer que f est deux fois continûment dérivable. On suppose que f est solution de l’équation différentielle (∗) suivante:

(∗) y′′ + eixy = 0.

(iii) Montrer que cn = 0 pour tout n < 0 et cn = 1

(n!)2 c0 pour tout n ≥ 1.

(iv) Vérifier que la somme f de la série trigonométrique ∑

n∈N 1

(n!)2 einx est bien

deux fois continûment dérivable et qu’elle est solution de l’équation différentielle (∗).

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