Exercices sur les suites numériques, Exercices de Mathématiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8928 février 2014

Exercices sur les suites numériques, Exercices de Mathématiques

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Exercices de mathématique sur les suites numériques. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: exercices, les modèles de population.
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3. Suites numériques

Ex. 1 Montrer que la suite définie par u0 = 1 et un+1 = √ 3 + 2un est

convergente.

Ex. 2 Que signifie pour la suite (un) : ∀A ∈ R, ∃N ∈ N, ∀n ∈ N (n ≥ N ⇒ un < A) ?

Ex. 3 On suppose un → l. Est-il vrai que l ≥ 0 lorsque i) un ≥ 0 pour 0 ≤ n ≤ 1000 ? ii) un2 ≥ 0 pour tout n ∈ N ?

Ex. 4 Etudier les limites des suites définies par

un = 32n

(6n)2 , vn = sin(n !)− n2, wn =

n3 − n2 + 2 2n3 + 1− n−2 ·

Ex. 5 On considère les suites (un)n∈N et (vn)n∈N, définies par un = 3n − n! 2n − n3

pour tout n ≥ 0, v0 = 0 et vn+1 = (vn+12 ) 1 3 . Etudier la convergence de cha-

cune de ces suites en précisant la limite lorsqu’elle existe.

Ex. 6 On pose pour tout n ≥ 1

un =

n ∑

k=0

1

k! et vn = un +

1

n · n! ·

Montrer que les suites (un)n≥1 et (vn)n≥1 sont adjacentes. Que peut-on dire de la suite (un) ?

Ex. 7 Soient an = n

n+1 et bn =

n+1 n+2

. Les suites (an) et (bn) sont-elles

adjacentes ?

Ex. 8 Soit (un)n≥0 la suite définie par u0 = 2, u1 = 1 et la relation de récurrence un = −32un−1 + un−2 pour n ≥ 2. Donner l’expression de un pour tout n ≥ 0, et la limite de un lorsque n → +∞.

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Ex. 9 ∗ Modèles de population. On s’intéresse à des modèles discrets s’appliquant à des populations présentant des phénomènes de synchronisation (par exemple, les insectes se reproduisent à une même période de l’année). On choisit une unité de temps et on note Pn le nombre d’individus au bout de n unités de temps, P0 (> 0) désignant la population initiale. La quantité Tn = Pn+1 − Pn

Pn est le taux d’accroissement de la population entre les instants n

et n+ 1. 1. On suppose que Tn = T pour tout n (loi de Malthus), où T ∈] − 1,+∞[ est une constante. Ecrire l’équation liant Pn+1 et Pn et reconnâıtre le type de la suite (Pn). Etudier sa limite. 2. On suppose que pour tout n

Tn = k(1− Pn P ∗

) (loi de Verhulst),

où k > 0 et P ∗ > 0 sont des constantes. a) On pose

xn = k

k + 1

Pn P ∗

·

Montrer que xn+1 = (k + 1)xn(1− xn), ∀n ≥ 0.

A partir de maintenant on suppose que k = 1/2 et que 0 < P0 < 3P ∗.

b) Montrer que xn → 13 . (On distinguera les cas suivants (i) 0 < x0 < 1/3, (ii) x0 = 1/3, (iii) 1/3 < x0 < 2/3 et (iv) 2/3 ≤ x0 < 1 et on établira dans les cas (i) et (iii) la monotonie de la suite (xn) à partir d’un certain rang.) c) Conclure.

Ex. 10 ∗ Développement décimal illimité Le but de cet exercice est de définir le développement décimal illimité de tout nombre réel l ∈ [0, 10]. 1. Soit (un)n≥0 une suite réelle vérifiant un ∈ {0, 1, 2, ..., 9} pour tout n ≥ 0. On définit deux suites (sn)n≥0 et (s

′ n)n≥0 par

sn = n ∑

k=0

uk · 10−k = u0, u1u2 · · ·un, s′n = sn + 10−n ∀n ≥ 0.

Montrer que les suites (sn) et (s ′ n) sont adjacentes. En déduire qu’elles con-

vergent vers une nombre l ∈ [0, 10]. On écrira l = u0, u1u2 · · · et on dira

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que u0, u1u2 · · · est un développement décimal illimité du réel l. Que vaut l lorsque un = 9 pour tout n ? 2. Inversement, on se donne un réel quelconque l ∈ [0, 10[ et on cherche à construire un développement décimal illimité de l. On pose u0 = [l] (partie entière de l). Si u0, ..., un sont construits, on pose un+1 = [10

n+1(l− sn)], où sn = u0, u1 · · ·un. Montrer par récurrence sur n que

{

0 ≤ un ≤ 9 sn ≤ l < sn + 10−n

∀n ≥ 0.

En déduire que l = u0, u1u2 · · · 3. Cette question vise à montrer qu’un nombre réel l ∈]0, 10] admet un unique dévelop- pement décimal illimité si et seulement si l n’est pas un nombre décimal. Soit l ∈]0, 10] un réel possédant deux développements décimaux illimités distincts :

l = u0, u1u2 · · · = v0, v1v2 · · · Soit N le premier entier pour lequel un 6= vn. On peut supposer par exemple que uN < vN . a) Montrer que vN = uN + 1. b) Montrer que un = 9 et vn = 0 pour tout n ≥ N + 1. En déduire que l est un nombre décimal. c) Inversement, montrer que tout nombre décimal l ∈]0, 10] admet deux développements décimaux illimités. 4. On dit qu’un développement décimal illimité est périodique (à partir d’un certain rang) s’il existe deux entiers N (le rang) et T (la période) tels que un+T = un pour tout n ≥ N . Le but de cette question est de montrer que les rationnels sont les seuls réels à posséder un développement décimal illimité périodique. a) Déterminer le développement décimal illimité de l = 131/7. (Indication : faire la division de l’école primaire). b) Supposons que le nombre l ∈ [0, 10] soit rationnel : l = p/q, avec p, q ∈ N. Montrer que le développement décimal illimité de l s’obtient en divisant indéfiniment p par q, et que ce développement décimal illimité est périodique. c) Réciproquement, soit l ∈ [0, 10] un réel admettant un développement décimal illimité périodique. Montrer que l est rationnel.

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