Exercices sur les suites numériques, Exercices de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez28 janvier 2014

Exercices sur les suites numériques, Exercices de Mathématiques

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Exercices de mathématiques sur les suites numériques. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Variations, Convergence, Suite recurrente lineaire, Suites adjacentes, Suite divergente.
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IUT GEII Université Rennes 1 Ma32 - Mathématiques pour le signal discret Automne 2009

TD n◦1 : Suites numériques

1.1. Variations

Considérons la suite (un)n∈N définie par un = 10n

n! .

a) Est-elle croissante ou décroissante ? b) Donnez un nombre N tel que pour n > N la suite des un soit monotone. c) Cette suite converge-t-elle ? Si oui donnez sa limite.

1.2. Convergence.

Étudiez la convergence et éventuellement la limite des suites de terme général :

a) un = 2n + 1

3n− 1 , b) un =

n2 − 2 2n + 1

, c) un = n− 2

2n2 + 1 ,

d) un = 1 + cos nπ

2

n , e) un = n sin

( 1

n

) , f) un =

( 1 +

1

n

)n .

1.3. Suite récurrente linéaire.

Soit (un)n∈N la suite définie par u0 = 3 et la relation de récurrence :

un = 1

3 un−1 + 1 pour n ≥ 1.

a) Montrez que la suite (un) est décroissante et minorée. b) Donnez une interprétation graphique. Calculez sa limite ` = lim

n→+∞ un.

c) Considérons la suite des différences (dn)n∈N∗ définie par

dn = un − un−1.

Montrez que cette suite est géométrique.

d) Calculez dn en fonction de d1 puis lim n→+∞

dn

e) Donnez l’expression de un en fonction de n.

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1.4. Suite récurrente non linéaire.

Soit (un)n∈N la suite définie par récurrence à partir de u0 = 3 2

et de la relation

un+1 = − 1

un + 2

a) Illustrez graphiquement la relation entre un+1 et un. (Vous commencerez par tracer le graphe de f(x) = − 1

x + 2.)

b) Montrez que pour tout n ∈ N ; 1 ≤ un ≤ 2. c) Montrez que (un) est décroissante et convergente. d) Calculez la limite de (un).

1.5. Suites adjacentes.

Considérons les suites (un)n∈N et (vn)n∈N définies par :

un = n∑ k=0

1

k! et vn = un +

1

n! .

a) Montrez que les suites (un) est croissante et que la suite (vn) est décroissante. b) Montrez qu’elles convergent vers la même limite `. c) Montrez que ` vaut 2, 7 à 10−1 près par défaut.

1.6. Suite divergente.

a) Montrez que ln(n + 1)− ln n ≤ 1 n

pour n ∈ N∗. b) Déduisez-en que la suite (un), définie par un =

∑n k=1

1 k , est divergente.

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