Exercitation – algèbre – 1 correction, Exercices de Algèbre linéaire. Université Bordeaux I
Eusebe_S
Eusebe_S11 avril 2014

Exercitation – algèbre – 1 correction, Exercices de Algèbre linéaire. Université Bordeaux I

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Correction de l'exercitation – algèbre – 1. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la courbe représentative de la fonction f dans ³ un repère orthonormal, la limite de f.
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[ Baccalauréat S Amérique du Sud novembre 2004 \

EXERCICE 1 7 points

Soit f la fonction définie sur [0 ; +∞[ par

f (x)= xe−x .

On note Γ la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal( O,

−→ ı ,

−→

) (unité graphique : 10 cm).

Partie A

1. a. Déterminer la limite de f en +∞.

b. Étudier les variations de f et dresser son tableau de variations.

c. Construire Γ dans le repère ( O,

−→ ı ,

−→

) .

2. a. Montrer que, pour tout réelm de

] 0 ;

1

e

[ , l’équation f (x)=m admet deux

solutions.

b. Dans le cas oùm = 1

4 , on nomme α et β les solutions (avec α<β).

Déterminer un encadrement d’amplitude 10−2 de α.

c. Résoudre l’équation f (x)=m dans le cas oùm = 0 etm = 1

e .

Partie B

1. On considère la suite (un ) définie surN par

{ u0 = α

un+1 = une−un , pour tout entier naturel n

α est le réel défini à la question A. 2. b.

a. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un > 0.

b. Montrer que la suite (un ) est décroissante.

c. La suite (un ) est-elle convergente ? Si oui, déterminer sa limite.

2. On considère la suite (wn) définie surN par wn = lnun .

a. Montrer que, pour tout n entier naturel, on a un =wn wn+1.

b. On pose Sn =u0+u1+·· ·+un .

Montrer que Sn =w0−wn+1.

c. En déduire lim n→+∞

Sn .

3. On considère la suite (vn) définie sur N par son premier terme v0 (v0 > 0) et, pour tout entier naturel n, vn+1 = vne−vn .

Existe-t-il une valeur de v0 différente de α telle que, pour tout n Ê 1, on ait un = vn ?

Si oui, préciser laquelle.

EXERCICE 2 3 points

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

0

1

2

0 1 2 3

A

B

O

On a représenté ci-dessus, dans un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→

) , la courbe repré-

sentative de la fonction f dérivable sur R, solution de l’équation différentielle

(E) : y ′+ y = 0 et telle que f (0)= e.

1. Déterminer f (x) pour tout x réel.

2. Soit t un réel donné de l’intervalle [1 ; e].

Résoudre dans R l’équation e1−x = t d’inconnue x.

3. Soit A le point d’abscisse 0 et B le point d’abscisse 1 de la courbe.

On considère le solide obtenu par rotation autour de l’axe des ordonnées de l’arc de courbe •AB comme représenté ci-dessous. On note V son volume.

On admet que V =π ∫e

1 (1− ln t)2 dt .

Calculer V à l’aide de deux intégrations par parties successives.

1

2

1−1−2

EXERCICE 3 5 points

Amérique du Sud 2 novembre 2004

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

On note pA(B) la probabilité conditionnelle de l’évènement B sachant que l’évène- ment A est réalisé.

Une urne contient 4 boules rouges et 2 boules noires indiscernables au toucher.

1. On effectue au hasard un tirage sans remise de deux boules de l’urne.

On note A0 l’évènement ; « on n’a obtenu aucune boule noire » ;

On note A1 l’évènement : « on a obtenu une seule boule noire » ;

On note A2 l’évènement : « on a obtenu deux boules noires ».

Calculer les probabilités de A0, A1 et A2.

2. Après ce premier tirage, il reste donc 4 boules dans l’urne.

On effectue à nouveau au hasard un tirage sans remise de deux boules de l’urne.

On note B0 l’évènement : « on n’a obtenu aucune boule noire au tirage no 2 »

On note B1 l’évènement : « on a obtenu une seule boule noire au tirage no 2 »

On note B2 l’évènement : « on a obtenu deux boules noires au tirage no 2 »

a. Calculer pA0 (B0), pA1(B0) et pA2(B0).

b. En déduire p(B0).

c. Calculer p(B1) et p(B2).

d. On a obtenu une seule boule noire lors de ce second tirage. Quelle est la probabilité d’avoir obtenu une seule boule noire lors du premier ?

3. On considère l’évènement R : « il a fallu exactement les deux tirages pour que les deux boules noires soient extraites de l’une ».

Montrer que p(R)= 1

3 .

EXERCICE 4 5 points

Partie A

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v

) .

Pour réaliser la figure, on prendra pour unité graphique 1 cm. Soit P le point d’affixe p p = 10 et Γ le cercle de diamètre [OP]. On désigne parΩ le centre de Γ. Soit A, B, C les points d’affixes respectives a, b et c, où a = 5+5i, b = 1+3i et c = 8−4i.

1. Montrer que A, B et C sont des points du cercle Γ.

2. Soit D le point d’affixe 2 + 2i.

Montrer que D est le projeté orthogonal de O sur la droite (BC).

Partie B

À tout point M du plan différent de O, d’affixe z, on associe le pointM ′ d’affixe z ′ tel que

z ′ = 20

z z désigne le nombre conjugué de z.

1. Montrer que les points O,M et M ′ sont alignés.

2. Soit ∆ la droite d’équation x = 2 etM un point de ∆ d’affixe z.

On se propose de définir géométriquement le point M ′ associé au point M .

a. Vérifier que z+ z = 4.

b. Exprimer z ′+ z ′ en fonction de z et z et en déduire que 5 ( z ′+ z

) = z z ′.

c. En déduire que M ′ appartient à l’intersection de la droite (OM) et du cercle Γ.

Placer M ′ sur la figure.

Amérique du Sud 3 novembre 2004

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

EXERCICE 4 5 points

Exercice de spécialité

Soit A0 et B0 deux points du plan orienté tels que A0B0 = 8. On prendra le centimètre pour unité.

Soit S la similitude de centre A0, de rapport 1

2 et d’angle

3π

4 .

On définit une suite de points (Bn) de la façon suivante :

pour tout entier naturel n, Bn+1 = S(Bn ).

1. Construire B1, B2, B3 et B4.

2. Montrer que, pour tout entier natureln, les triangles A0BnBn+1 et A0Bn+1Bn+2 sont semblables.

3. On définit la suite (ln) par : pour tout entier naturel n, ln =BnBn+1.

a. Montrer que la suite (ln) est une suite géométrique et préciser sa raison.

b. Exprimer ln en fonction de n et de l0.

c. On pose Σn = l0+ l1+·· ·+ ln .

Déterminer la limite de Σn lorsque n tend vers +∞.

4. a. Résoudre l’équation 3x−4y = 2 où x et y sont deux entiers relatifs.

b. Soit ∆ la droite perpendiculaire en A0 à la droite (A0B0).

Pour quelles valeurs de l’entier naturel n, Bn appartient-il à ∆ ?

Amérique du Sud 4 novembre 2004

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