Exercitation – algèbre – 7 correction, Exercices de Algèbre linéaire
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Exercitation – algèbre – 7 correction, Exercices de Algèbre linéaire

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Correction de l'exercitation – algèbre – 7. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: étude de la position relative de deux courbes et calcul d’aire, exercice de spécialité.
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[ Baccalauréat S 2004\

L’intégrale demars à novembre 2004

Pour un accès direct cliquez sur les liensbleus

Nouvelle-Calédoniemars 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Pondichéry avril 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Amérique du Nord juin 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Antilles-Guyane juin 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Asie juin 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Centres étrangers juin 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

Métropole juin 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Liban juin 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Polynésie juin 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

La Réunion juin 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37 Antilles-Guyane septembre 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Métropole septembre 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Polynésie spécialité septembre 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Nouvelle-Calédonie novembre 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Amérique du Sud novembre 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

année 2004

2

[ Baccalauréat Nouvelle-Calédonie série S\ mars 2004

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

On observe sur une longue période le nombre d’accidents de scooters à un carre- four. Il est alors possible de proposer la modélisation suivante : pour n scooters franchissant le carrefour durant une année (n est un grand nombre inconnu), on admet que la variable aléatoire Sn qui totalise le nombre d’accidents de scooters à ce carrefour durant cette année suit une loi binomiale ; on estime que l’espérance mathématique de Sn notée E(Sn ) est égale à 10. Soit p la probabilité pour un scooter d’être accidenté à ce carrefour pendant l’année considérée.

1. Calculer p, puis justifier l’égalité P(Sn = k) = (n k

)(10 n

)k ( 1−

10

n

)nk k est

un entier naturel tel que 06 k 6 n.

2. a. Établir l’égalité ln[P(Sn = 0)]=−10× ln

( 1−

10

n

)

−10 n

où ln désigne la fonction

logarithme népérien ; en déduire que lim n→+∞

P(Sn = 0)= e−10.

b. Démontrer que P(Sn = k+1)= P(Sn = knk n−10

× 10

k+1 , où k est un en-

tier naturel tel que 06 k 6n−1.

c. Démontrer que si lim n→+∞

P(Sn = k) = e−10 10k

k! pour 0 6 k 6 n, alors on a

également lim n→+∞

P(Sn = k+1)= e−10 10k+1

(k+1)! pour 06 k+16 n.

d. Démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence sur l’entier na-

turel k que lim n→+∞

P(Sn = k) = e−10 10k

k! où k est un entier naturel tel que

06 k 6 n.

3. On suppose que le nombre n est suffisamment grand pour que l’on puisse

admettre que e−10 10k

k! est une approximation acceptable de P(Sn = k). Utili-

ser cette approximation pour calculer à 10−4 près la probabilité pour qu’au cours de cette année il y ait au moins trois accidents de scooters à ce carre- four.

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) ; on considère les points

A(3 ; 0 ; 10), B(0 ; 0 ; 15) et C(0 ; 20 ; 0).

1. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).

b. Montrer que la droite (AB) coupe l’axe des abscisses au point E(9 ; 0 ; 0).

c. Justifier que les points A, B et C ne sont pas alignés.

2. Soit H le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OBC.

a. Justifier que la droite (BC) est perpendiculaire au plan (OEH). En déduire que (EH) est la hauteur issue de E dans le triangle EBC.

b. Déterminer une équation cartésienne du plan (OEH).

année 2004

c. Vérifier que le plan (ABC) admet pour équation cartésienne

20x+9y +12z−180 = 0.

d. Montrer que le système

  

x = 0 4y −3z = 0 20x+9y +12z−180 = 0

a une solution

unique. Que représente cette solution ?

e. Calculer la distance OH, en déduire que EH = 15 et l’aire du triangle EBC.

3. En exprimant de deux façons le volume du tétraèdre OEBC, déterminer la distance du point O au plan (ABC). Pouvait-on prévoir le résultat à partir de l’équation obtenue en 2 c ?

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

1. a. Soit p un entier naturel. Montrer que l’un des trois nombres p, p +10 et p+20, et l’un seulement est divisible par 3.

b. Les entiers naturels a, b et c sont dans cet ordre les trois premiers termes d’une suite arithmétique de raison 10. Déterminer ces trois nombres sa- chant qu’ils sont premiers.

2. Soit E l’ensemble des triplets d’entiers relatifs (u, v, w) tels que

3u+13v +23w = 0.

a. Montrer que pour un tel triplet v w (mod 3) b. On pose v = 3k + r et w = 3k ′+ r k, k ′ et r sont des entiers relatifs et

06 r 6 2.

Montrer que les éléments de E sont de la forme :

(−13k−23k ′ −12r, 3k+ r, 3k ′+ r ).

c. l’espace est rapporté à un repère orthonormal d’origine O et soit P le plan d’équation 3x+13y +23z = 0. Déterminer l’ensemble des points M à coordonnées (x, y, z) entières re- latives appartenant au plan P et situés à l’intérieur du cube de centre O, de côté 5 et dont les arêtes sont parallèles aux axes.

PROBLÈME 11 points

Les trois parties sont dans une large mesure indépendantes.

Pour tout entier naturel n, on définit sur R la fonction numérique fn par :

f0(x)= 1

1+ x2 et pour n entier naturel non nul fn (x)=

xn

1+ x2 .

On note Γn , la courbe représentative de fn , dans le plan rapporté à un repère ortho-

normal ( O,

−→ ı ,

−→ ) , unité graphique : 4 cm.

On désigne par In l’intégrale In = ∫1

0 fn(t)dt .

Partie A

1. a. Étudier les limites de f1 en +∞ et en −∞. Quelle est la conséquence gra- phique de ces résultats ?

Nouvelle-Calédonie 4 mars 2004

année 2004

b. Étudier les variations de f1.

c. Tracer la courbe Γ1.

d. Calculer I1.

2. a. Étudier les limites de f3 en +∞. b. Étudier les variations de f3.

c. Tracer la courbe Γ3 sur le même dessin qu’au 1. c..

3. Calculer I1+ I3. En déduire la valeur de I3. 4. Calculer, en unités d’aire, l’aire du domaine limité par les courbes Γ1, Γ3 et

les droites d’équation x = 0 et x = 1.

Partie B

Pour cette partie, on dessinera la figure demandée dans un nouveau repère ortho-

normal ( O,

−→ ı ,

−→ ) , unité graphique : 4 cm.

1. a. Étudier les limites de f0 en +∞ et en −∞. b. Étudier les variations de f0.

2. Soit (an ) la suite définie, pour n entier naturel non nul, par an = ∫n

0

1

1+ t2 dt .

a. Interpréter graphiquement an .

b. Montrer que la suite (an ) est croissante.

c. Montrer que pour tout réel t : 1

1+ t2 6 1 et en déduire que a1 6 1.

d. Montrer que pour tout réel t non nul : 1

1+ t2 6

1

t2 et en déduire que pour

tout entier naturel non nul, ∫n

1

1

1+ t2 dt 6 1−

1

n .

e. Montrer, en utilisant les questions précédentes, que pour tout entier na- turel n non nul, an 6 2. Que peut-on en déduire pour la convergence de la suite (an) ?

Partie C

Soit F la fonction telle que :

F (0)= 0, F dérivable sur R et F ′(x)= 1

1+ x2 .

1. On pose, pour tout x de ] − π

2 ; π

2

[ , H(x)= F [tan(x)].

a. Calculer H(0).

b. Montrer que H est dérivable sur ] − π

2 ; π

2

[ et calculer H ′(x).

c. En déduire que, pour tout x de ] − π

2 ; π

2

[ , H(x)= x.

d. Montrer que F (1)= π

4 .

2. On pose, pour tout x réel positif ou nul, k(x)= F (

1

x+1

) +F

( x x+2

) .

a. Montrer que la fonction k est dérivable sur R+ et déterminer k ′(x).

b. En déduire la valeur de F

( 1

2

) +F

( 1

3

) .

Nouvelle-Calédonie 5 mars 2004

[ Baccalauréat S Pondichéry 1er avril 2004\

Exercice 1 3 points

1. Soit u la suite définie par :

  

u0 = 0

un+1 = 1

2−un pour tout entier naturel n

a. Calculer u1, u2 et u3. On exprimera chacun de ces termes sous forme d’une fraction irréductible.

b. Comparer les quatre premiers termes de la suite u aux quatre premiers

termes de la suite w définie sur N par wn = n

n+1 .

c. À l’aide d’un raisonnement par récurrence, démontrer que, pour tout en- tier naturel n, un =wn .

2. Soit v la suite de terme général vn défini par vn = ln ( n n+1

) où ln désigne la

fonction logarithme népérien.

a. Montrer que v1+ v2+ v3 =− ln4. b. Soit Sn la somme définie pour tout entier naturel non nul n par :

Sn = v1+ v2+·· ·+ vn .

Exprimer Sn en fonction de n.

Déterminer la limite de Sn lorsque n tend vers +∞.

Exercice 2 4 points

Un joueur dispose d’un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6, et de trois urnes U1, U2 et U3 contenant chacune k boules, où k désigne un entier naturel supérieur ou égal à 3. Il y a trois boules noires dans l’urne U1, deux boules noires dans l’urne U2 et une boule noire dans l’urne U3, et toutes les autres boules contenues dans les urnes sont blanches. Les boules sont indiscernables au toucher. Une partie se déroule de la façon suivante : le joueur lance le dé,

• s’il obtient le numéro 1, il prend au hasard une boule dans l’urne U1, note sa couleur et la remet dans l’urne U1 ;

• s’il obtient un multiple de trois, il prend au hasard une boule dans l’urne U2, note sa couleur et la remet dans l’urne U2 ;

• si le numéro amené par le dé n’est ni le 1 ni un multiple de trois, il prend au hasard une boule dans l’urne U3, note sa couleur et la remet dans l’urne U3.

On désigne par A, B, C, et N les évènements suivants : A : « Le dé amène le numéro 1. » B : « Le dé amène unmultiple de trois. » C : « Le dé amène un numéro qui n’est ni le 1, ni un multiple de 3. » N : « La boule tirée est noire. »

1. Le joueur joue une partie.

a. Montrer que la probabilité qu’il obtienne une boule noire est égale à 5

3k .

b. Calculer la probabilité que le dé ait amené le 1 sachant que la boule tirée est noire.

c. Déterminer k pour que la probabilité d’obtenir une boule noire soit su-

périeure à 1

2 .

année 2004

d. Déterminer k pour que la probabilité d’obtenir une boule noire soit égale

à 1

30 .

2. Dans cette question, k est choisi pour que la probabilité d’obtenir une boule

noire en jouant une partie soit égale à 1

30 .

Le joueur joue 20 parties, indépendantes les unes des autres.

Calculer, sous forme exacte puis arrondie à 10−3, la probabilité qu’il obtienne au moins une fois une boule noire.

Exercice 3 8 points

Partie A : étude d’une fonction auxiliaire

Soit ϕ la fonction définie sur R par

ϕ(x)= (x2+ x+1)e−x −1.

1. a. Déterminer les limites de ϕ en −∞ et en +∞. b. Étudier le sens de variations de ϕ puis dresser son tableau de variations

sur R.

2. Démontrer que l’équation ϕ(x)= 0 admet deux solutions dans R, dont l’une dans l’intervalle [1 ; +∞[, qui sera notée α. Déterminer un encadrement d’amplitude 10−2 de α.

3. En déduire le signe de ϕ(x) sur R et le présenter dans un tableau.

Partie B : étude de la position relative de deux courbes et calcul d’aire

Sur la feuille annexe page 5 sont tracées les courbes représentatives de deux fonc- tions f et g . Les fonctions f et g sont définies sur R par :

f (x)= (2x+1)e−x et g (x)= 2x+1

x2+ x+1 .

Leurs courbes représentatives dans un repère orthogonal ( O,

−→ ı ,

−→ ) sont notéesC f

et Cg .

1. Démontrer que les deux courbes passent par le point A de coordonnées (0 ; 1) et admettent en ce point la même tangente.

a. Démontrer que, pour tout nombre réel x, f (x)−g (x)= (2x+1)ϕ(x) x2+ x+1

ϕ

est la fonction étudiée dans la partie A.

b. À l’aide d’un tableau, étudier le signe de f (x)− g (x) sur R. c. En déduire la position relative des courbes C f et Cg .

2. a. Montrer que la fonction h définie sur R par

h(x)= (−2x−3)e−x − ln ( x2+ x+1

)

est une primitive sur R de la fonction x 7→ f (x)− g (x). b. En déduire l’aire A , exprimée en unités d’aire, de la partie du plan déli-

mitée par les deux courbes C f et Cg et les droites d’équations x =− 1

2 et

x = 0. Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie à 10−4 de cette aire.

Pondichéry 7 avril 2004

année 2004

Exercice 4 : enseignement obligatoire 5 points

Partie A

1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation :

z2−2z+4= 0.

Les solutions seront notées z ′ et z ′′, z ′ désignant la solution dont la partie imaginaire est positive.

Donner les solutions sous forme algébrique puis sous forme exponentielle.

2. Donner la valeur exacte de ( z ′ )2004 sous forme exponentielle puis sous forme

algébrique.

Partie B

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) ; (unité gra-

phique : 2 cm).

1. Montrer que les points A d’affixe 1+i p 3 et B d’affixe 1−i

p 3 sont sur unmême

cercle de centre O dont on précisera le rayon.

Tracer ce cercle puis construire les points A et B.

2. On note O′ l’image du point O par la rotation r1 de centre A et d’angle − π

2 et

B′ l’image du point B par la rotation r2 de centre A et d’angle + π

2 .

Calculer les affixes des points O′ et B′ et construire ces points.

3. Soit I le milieu du segment [OB].

a. Que peut-on conjecturer pour la droite (AI) dans le triangle AO′B′ ?

b. Calculer l’affixe du vecteur −→ AI .

Montrer que l’affixe du vecteur −−−→ O′B′ est égale à 3

p 3− i.

c. La conjecture émise à la question a est-elle vraie ?.

Exercice 4 : exercice de spécialité 5 points

L’espace (E) est muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère les points A(0 ; 5 ; 5) et B(0 ; 0 ; 10).

1. Dans cette question, on se place dans le plan P0 d’équation x = 0 rapporté au repère

( O,

−→ ,

−→ k ) .

On note C le cercle de centre B passant par A.

Démontrer que la droite (OA) est tangente au cercle C .

2. OnnommeS la sphère engendrée par la rotation du cercleC autour de l’axe (Oz) et Γ le cône engendré par la rotation de la droite (OA) autour de l’axe (Oz).

a. Démontrer que le cône Γ admet pour équation x2+ y2 = z2. b. Déterminer l’intersection du cône Γ et de la sphère S .

Préciser la nature de cette intersection et ses éléments caractéristiques.

c. Illustrer ces objets par un schéma dans l’espace.

3. On coupe le cône Γ par le plan P1 d’équation x = 1. Dans P1, l’une des trois figures ci-dessous représente cette intersection.

Identifier cette figure en donnant les justifications nécessaires.

Pondichéry 8 avril 2004

année 2004

4. Soit M(x ; y ; z) un point du cône Γ dont les coordonnées sont des entiers relatifs non nuls. Démontrer que x et y ne peuvent pas être simultanément impairs.

Figure 1 Figure 2 Figure 3

Pondichéry 9 avril 2004

année 2004

Exercice 3

−1 1 2 3

−1

−0,5

0,5

1

1,5

O

Pondichéry 10 avril 2004

[Baccalauréat S Amérique du Nordmai 2004\

EXERCICE 1 3 points Commun à tous les candidats

Dans le plan affine, on considère ABC un triangle rectangle en A, I le milieu du seg- ment [AB] et J le centre de gravité de ABC.

Pour tout réel m, différent de − 1

3 , on note Gm le barycentre du système de points

pondérés

Sm = {(A, 1), (B, m), (C, 2m)} .

Pour tout point M du plan on note −−→ VM = 3

−−→ MA −

−−→ MB −2

−−→ MC .

Pour chacune des six affirmations suivantes, dite si elle est vraie (V) ou fausse (F). Chaque bonne réponse donne 0,5 point, chaque réponse fausse ou illisible enlève 0,25 point, l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Un éventuel total

négatif serait ramené à 0. Répondre aux affirmations sur la page annexe.

Affirmation V ou F

G1 est le milieu du segment [CI].

G1 est barycentre de

{ (J, 2),

( C,

2

3

)}

Pour tout point M , −−→ VM =

−−→ AB +2−−→AC .

Pour toutm, distinct de − 1

3 , −−−→ AGm est colinéaire à

−−−−→ AG−1 .

IBG− 12 est un triangle rectangle.

Pour tout point P de (AG−1), il existe un réelm tel que P =Gm .

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

1. On veut résoudre dans C l’équation

(E) : z3+4z2+2z−28= 0.

a. Déterminer deux réels a et b tels que l’équation (E) s’écrive :

(z−2) ( z2+az+b

) = 0.

b. Résoudre (E)

2. On note (H) l’ensemble des points M du plan complexe d’affixe z vérifiant :

z2−4= 4− z2.

année 2004

a. On note x et y les parties réelle et imaginaire de l’affixe z d’un point M .

Montrer que :M appartient à (H) si et seulement si

x2− y2 = 4.

b. Soient A, B et C les points d’affixes respectives 2, −3− i p 5 et −3+ i

p 5.

Vérifier que A, B et C appartiennent à (H).

3. Soit r la rotation de centre O et d’angle − π

4 .

a. Déterminer les affixes de A′, B′ et C′, images respectives de A, B et C par la rotation r (on donnera ces affixes sous la forme algébrique).

b. On note M ′ l’image par r du point M d’affixe z. On note z ′ l’affixe de M ′. Les parties réelle et imaginaire de z sont notées x et y , celles de z ′ sont no- tées x′ et y ′. On note (H′) l’ensemble des points du plan dont l’antécédent par r est un point de (H).

— Exprimer x et y en fonction de x′ et y ′. — En utilisant la question 2. a. prouver que : M ′ appartient à (H′) si et

seulement si

xy ′ =−2.

4. Faire une figure sur laquelle on placera les points A, B, C, A′, B′, C′, la courbe (H′), puis la courbe (H).

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

Soient les points A, A′, B et B′ d’affixes respectives :

zA = 1−2i, zA′ =−2+4i, zB = 3− i, zB′ = 5i.

1. a. Placer les points A, A′, B et B′ dans le plan complexe. Monter que ABB′A′

est un rectangle.

b. Soit s la réflexion telle que s(A)=A′ et s(B)=B′. On note (∆) son axe.

Donner une équation de la droite (∆) et la tracer dans le plan complexe.

c. On note z ′ l’affixe du point M ′ image par s du point M d’affixe z.

Montrer que

z ′ = ( 3

5 + 4

5 i

) z+2i−1.

2. Soit g l’application du plan dans lui même qui à tout pointM d’affixe z asso- cie le point P d’affixe z ′ définie par :

z ′ = ( − 6

5 − 8

5 i

) z+5− i.

a. On note C et D les images respectives de A et B par g ; déterminer les affixes deC et D et placer ces points dans le plan complexe.

b. SoitΩ le point d’affixe 1+i et soit h l’homothétie de centreΩ et de rapport −2. Montrer que C etD sont les images respectives de A′ et B′ par h.

c. Soit M1 d’affixe z1 l’image par h de M , d’affixe z. Donner les éléments caractéristiques de h−1 et exprimer z en fonction de z1.

Amérique du Nord 12 mai 2004

année 2004

3. On pose f = h−1 ◦ g . a. Déterminer l’expression complexe de f .

b. Reconnaître f . En déduire une construction du point P , image par g d’un point M quelconque donné du plan.

EXERCICE 3 4 points Commun à tous les candidats

Un jeu de hasard est formé d’un dispositif lançant de façon aléatoire une fléchette

dans une cible ayant la forme suivante :

B B B B B B B B B J J J V V R R V V J J J B B B B B B B B B

La fléchette atteint toujours une case et une seule.

Les trente cases, blanches (B), jaunes (J), vertes (V) ou rouges (R), ont toutes la même probabilité d’être atteintes.

— Si la fléchette atteint une case rouge, le joueur gagne 8 euros. — Si la fléchette atteint une case verte, le joueur gagne 5 euros. — Si la fléchette atteint une case jaune, le joueur ne gagne rien et ne perd rien. — Si la fléchette atteint une case blanche, le joueur perd a euros, la lettre a dé-

signe un nombre réel positif.

1. On note X la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur (compté négativement quand il perd).

a. Donner la loi de probabilité de X .

b. Calculer a pour que le jeu soit équitable, c’est-à-dire pour que l’espérance E(X ) soit nulle.

2. Un joueur est considéré comme gagnant s’il a obtenu un gain strictement positif.

a. Quelle est la probabilité p qu’un joueur gagne ?

b. Un joueur joue 5 parties consécutives indépendantes. Quelle est la pro- babilité qu’il gagne exactement 2 fois ? exactement 5 fois ?

c. Quel est le nombre moyen de parties gagnantes dans la situation décrite en 2. b. ?

EXERCICE 4 8 points Commun à tous les candidats

Partie I

On donne un entier naturel n strictement positif, et on considère l’équation diffé- rentielle :

(En ) y ′+ y =

xn

n! e−x .

1. On fait l’hypothèse que deux fonctions g et h, définies et dérivables sur R, vérifient, pour tout x réel :

g (x)= h(x)e−x .

a. Montrer que g est solution de (En) si et seulement si, pour tout x réel,

h′(x)= xn

n! .

Amérique du Nord 13 mai 2004

année 2004

b. En déduire la fonction h associée à une solution g de (En), sachant que h(0)= 0. Quelle est alors la fonction g ?

2. Soit ϕ une fonction dérivable sur R.

a. Montrer que ϕ est solution de (En) si et seulement si ϕg est solution de l’équation :

(F) y ′+ y = 0.

b. Résoudre (F).

c. Déterminer la solution générale ϕ de l’équation (En).

d. Déterminer la solution f de l’équation (En) vérifiant f (0)= 0.

Partie II

Le but de cette partie est de montrer que

lim n→+∞

n

k=0

1

k! = e (on rappelle que par convention 0!= 1).

1. On pose, pour tout x réel,

f0(x)= e−x , f1(x)= xe−x .

a. Vérifier que f1 est solution de l’équation différentielle : y ′+ y = f0. b. Pour tout entier strictement positif n, on définit la fonction fn comme la

solution de l’équation différentielle y ′+ y = fn−1 vérifiant fn (0)= 0. En utilisant la Partie I, montrer par récurrence que, pour tout x réel et tout entier n> 1 :

fn (x)= xn

n! e−x .

2. Pour tout entier naturel n, on pose :

In = ∫1

0 fn (x)dx. (on ne cherchera pas à calculer In )

a. Montrer, pour tout entier naturel n et pour tout x élément de l’intervalle [0 ; 1], l’encadrement :

06 fn(x)6 xn

n! .

En déduire que 06 In 6 1

(n+1)! , puis déterminer la limite de la suite (In ).

b. Montrer, pour tout entier naturel k non nul, l’égalité : Ik Ik−1 =− 1

k! e−1.

c. Calculer I0 et déduire de ce qui précède que :

In = 1− n

k=0

e−1

k!

d. En déduire finalement :

lim n→+∞

n

k=0

1

k! = e.

Amérique du Nord 14 mai 2004

[ Baccalauréat S Antilles-Guyane juin 2004\

L’utilisation d’une calculatrice est autorisée. Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

On définit les suites (an) et (bn) par a0 = 1, b0 = 7 et

  

an+1 = 1

3 (2an +bn )

bn+1 = 1

3 (an +2bn )

Soit Dune droitemunie d’un repère ( O ;

−→ ı ) . Pour tout n ∈N, on considère les points

An et Bn d’abscisses respectives an et bn .

1. Placez les points A0, B0, A1, B1, A2 et B2.

2. Soit (un ) la suite définie par un = bnan pour toutn ∈N. Démontrez que (un ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

Exprimez un en fonction de n.

3. Comparez an et bn . étudiez le sens de variation des suites (an) et (bn). Inter- prétez géométriquement ces résultats.

4. Démontrez que les suites (an) et (bn ) sont adjacentes.

5. Soit (vn) la suite définie par v = an + bn pour tout n ∈ N. Démontrez que (vn) est une suite constante. En déduire que les segments [AnBn ] ont tous le même milieu I.

6. Justifiez que les suites (an) et (bn) sont convergentes et calculez leur limite. Interprétez géométriquement ce résultat.

EXERCICE 2 7 points Commun à tous les candidats But de l’exercice : approcher ln(1+a) par un polynôme de degré 5 lorsque a appar- tient à l’intervalle [0 ; +∞[.

Soit a ∈ [0 ; +∞[.

On note I0(a)= ∫a

0

1

1+ t dt et pour k ∈N∗, on pose Ik (a)=

a

0

(t a)k

(1+ t)k+1 dt .

1. Calculez I0(a) en fonction de a.

2. À l’aide d’une intégration par parties, exprimez I1(a) en fonction de a.

3. À l’aide d’une intégration par parties, démontrez que

Ik+1(a)= (−1)k+1ak+1

k+1 + Ik (a) pour tout k ∈N∗.

4. Soit P le polynôme défini sur R par P (x)= 1

5 x5−

1

4 x4+

1

3 x3−

1

2 x2+ x.

Démontrez en calculant I2(a), I3(a) et I4(a), que I5(a)= ln(1+a)−P (a).

5. Soit J (a)= ∫a

0 (t a)5 dt . Calculez J (a).

6. a. Démontrez que pour tout t ∈ [0 ; a], (t a)5

(1+ t)6 > (t a)5.

b. Démontrez que pour tout a ∈ [0 ; +∞[, J (a)6 I5(a)6 0.

7. En déduire que pour tout a ∈ [0 ; +∞[, |ln(1+a)−P (a)|6 a6

6 .

année 2004

8. Déterminez, en justifiant votre réponse, un intervalle sur lequel P (a) est une valeur approchée de ln(1+a) à 10−3 près.

EXERCICE 3 4 points Commun à tous les candidats

Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Chaque réponse juste rapporte 1 point. Une absence de réponse n’est pas sanctionnée. Il sera retiré 0,5 point par ré- ponse fausse. On ne demande pas de justifier. La note finale de l’exercice ne peut être

inférieure à zéro.

On pose z =− √

2+ p 2+ i

√ 2−

p 2.

1. La forme algébrique de z2 est :

A : 2 p 2 B : 2

p 2−2i

p 2 C : 2+

p 2+i

( 2−

p 2 )

D : 2 p 2+2i

p 2

2. z2 s’écrit sous forme exponentielle :

A : 4ei π 4 B : 4e−i

π 4 C : 4ei

3π 4 D : 4e−i

3π 4

3. z s’écrit sous forme exponentielle :

A : 2ei 7π 8 B : 2ei

π 8 C : 2ei

5π 8 D : 2ei

3π 8

4.

√ 2+

p 2

2 et

√ 2−

p 2

2 sont les cosinus et sinus de :

A : 7π

8 B :

5π

8 C :

3π

8 D :

π

8

EXERCICE 4 5 points Pour les candidats n ’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On considère le tétraèdre ABCD ; on note Imilieu du segment [AB] et J celui de [CD].

1. a. Soit G1 le barycentre du système de points pondérés

{(A, 1) ; (B, 1) ; (C, −1) ; (D, 1)}. Exprimez

−−→ IG1 en fonction de

−−→ CD . Placez I, J et G1 sur la figure (voir feuille

annexe).

b. SoitG2 le barycentre du systèmedepoints pondérés {(A, 1) ; (B, 1) ; (D, 2)}.

Démontrez que G2 est le milieu du segment [ID]. Placez G2.

c. Démontrez que IG1DJ est un parallélogramme.

En déduire la position de G2 par rapport aux points G1 et J.

2. Soitm un réel. On noteGm le barycentre du système de points pondérés

{(A, 1) ; (B, 1) ; (C , m−2) ; (D, m)}.

a. Précisez l’ensemble E des valeurs dem pour lesquelles le barycentreGm existe.

Dans les questions qui suivent, on suppose que le réel m appartient à l’ensemble E .

b. Démontrez queGm , appartient au plan (ICD).

c. Démontrez que le vecteurm −−−→ JGm est constant.

d. En déduire l’ensemble F des pointsGm lorsquem décrit l’ensemble E .

Antilles-Guyane 16 juin 2004

année 2004

EXERCICE 4 5 points Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Dans le plan orienté, on considère un carré direct ABCD de centre O. Soit P un point du segment [BC] distinct de B. On note Q l’intersection de (AP ) avec (CD). La per- pendiculaire δ à (AP ) passant par A coupe (BC) en R et (CD) en S.

1. Faire une figure.

2. Soit r la rotation de centre A et d’angle π

2 .

a. Précisez, en justifiant votre réponse, l’image de la droite (BC) par la rota- tion r .

b. Déterminez les images de R et de P par r .

c. Quelle est la nature de chacun des triangles ARQ et APS.

3. On note N le milieu du segment [PS] et M celui du segment [QR]. Soit s la

similitude de centre A, d’angle π

4 et de rapport

1 p 2 .

a. Déterminez les images respectives de R et de P par s.

b. Quel est le lieu géométrique du point N quand P décrit le segment [BC] privé de B ?

c. Démontrez que les points M , B, N et D sont alignés.

Antilles-Guyane 17 juin 2004

année 2004

Annexe : exercice 4

A

B

C

D

Antilles-Guyane 18 juin 2004

[ Baccalauréat S Asie juin 2004\ • L’utilisation d’une calculatrice n’est pas autorisé

EXERCICE 1 3 points Commun à tous les candidats

À chacune des trois affirmations suivantes, répondre par « VRAI » ou par « FAUX ». Aucune justification n’est demandée.

Données Affirmations Réponses f est la fonction définie sur l’ensemble R des nombres

réels par : f (x) = 1

1+ex , C est

la courbe représentative de f dans un repère du plan.

La tangente à C au point d’abs- cisse 0 est parallèle à la droite

d’équation y =− 1

4 x.

G est le barycentre du sys- tème de points pondérés {(A ; −1), (B ; 1), (C ; 4)}

L’application du plan dans lui- même qui à tout point M associe

le pointM ′ tel que −−−−→ MM ′ =−−−→MA +

−−→ MB + 4−−→MC , est une homothétie de rapport −3.

f (x)= x sin3x Les solutions de l’équation f (x) = 1

2 x sont : 0 ;

π

18 + 2k

π

3 ou

5π

18 +

2k π

3 , k et k ′ sont des entiers re-

latifs.

Le barème est le suivant : • Réponse exacte : 1 point. • Réponse fausse : −0,5 point. • Absence de réponse : 0 point. • La note attribuée à l’exercice ne peut être négative.

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal direct ( O,

−→ e1 ,

−→ e2

) , unité

graphique 1 cm. Soit A le point d’affixe 3i. On appelle f l’application qui, à tout point M d’affixe z, distinct de A, associe le point M ′ d’affixe z ′ définie par :

z ′ = 3iz−7 z−3i

.

1. Recherche des points invariants par f .

a. Développer (z−7i)(z+ i). b. Montrer que f admet deux points invariants B et C dont on précisera les

affixes et qu’on placera sur un dessin.

2. On appelle Σ le cercle de diamètre [BC]. Soit M un point quelconque de Σ, distinct de B et de C, soit M ′ son image par f .

a. Justifier que l’affixe z deM vérifie : z = 3i+4eiθ θ est un nombre réel. b. Exprimer l’affixe z ′ de M ′ en fonction de θ et en déduire que M ′ appar-

tient aussi à Σ.

c. Démontrer que z ′ = −z et en déduire, en la justifiant, une construction géométrique deM ′.

année 2004

3. On considère un cercle de centre A, de rayon r > 0. Déterminer l’image de ce cercle par f .

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On appelle (E) l’ensemble des entiers naturels qui peuvent s’écrire sous la forme 9+a2 où a est un entier naturel non nul ; par exemple 10= 9+12 ; 13= 9+22 etc. On se propose dans cet exercice d’étudier l’existence d’éléments de (E) qui sont des puissances de 2, 3 ou 5.

1. Étude de l’équation d’inconnue a : a2+9= 2n a ∈N, n ∈N, n> 4. a. Montrer que si a existe, a est impair.

b. En raisonnant modulo 4, montrer que l’équation proposée n’a pas de so- lution.

2. Étude de l’équation d’inconnue a : a2+9= 3n a ∈N, n ∈N, n> 3. a. Montrer que si n> 3, 3n est congru à 1 ou à 3 modulo 4.

b. Montrer que si a existe, il est pair et en déduire que nécessairement n est pair.

c. On pose n = 2p p est un entier naturel, p > 2. Déduire d’une factori- sation de 3n a2, que l’équation proposée n’a pas de solution.

3. étude de l’équation d’inconnue a : a2+9= 5n a ∈N, n ∈N, n> 2. a. En raisonnant modulo 3, montrer que l’équation n’a pas de solution si n

est impair.

b. On pose n = 2p, en s’inspirant de 2 c démontrer qu’il existe un unique entier naturel a tel que a2+9 soit une puissance entière de 5.

EXERCICE 3 4 points Commun à tous les candidats

L’espace E est rapporté au repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On appelle P le plan d’équation 2xy+5= 0 et Q le plan d’équation 3x+ yz = 0.

1. Montrer que P et Q sont sécants en une droite D dont une représentation paramétrique est :

  

x = α y = 2α+5 z = 5α+5

α est un nombre réel.

2. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier précisément vos réponses :

• Affirmation 1 : D est parallèle au plan R d’équation : −5x+5y z = 0. Soit D′ la droite de l’espace de représentation paramétrique :

  

x = −3β y = 1+β z = 2+2β

β est un nombre réel.

• Affirmation 2 : D et D′ sont coplanaires.

EXERCICE 4 8 points Commun à tous les candidats

I Première partie étude d’une fonction f

Asie 20 juin 2004

année 2004

On appelle f la fonction définie sur l’intervalle I =

] − 1

2 ; +∞

[ par

f (x)= ln(1+2x).

1. Justifier que f est strictement croissante sur l’intervalle I.

2. Déterminer la limite de f (x) quand x tend vers − 1

2 .

3. On considère la fonction g définie sur l’intervalle I par g (x)= f (x)− x. a. Étudier les variations de g sur l’intervalle I.

b. Justifier que l’équation g (x) = 0 admet deux solutions : 0 et une autre, notée β, appartenant à l’intervalle [1 ; 2].

c. En déduire le signe de g (x) pour x appartenant à l’intervalle I.

4. Justifier que pour tout réel x appartenant à l’intervalle ]0 ; β[, f (x) appartient aussi à ]0 ; β[.

II Deuxième partie étude d’une suite récurrente

On appelle (un )>0 la suite définie par un+1 = f (un) et u0 = 1.

1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, un appartient à ]0 ; β[.

2. Démontrer par récurrence que la suite (un )>0 est croissante.

3. Justifier que la suite (un )>0 est convergente.

III Troisième partie Recherche de la limite de la suite (un)>0

1. Montrer que pour tout réel x > 1, f ′(x)6 2

3 .

2. Recherche de la limite de la suite (un )>0

a. Démontrer que pour tout entier naturel n, ∫β

un

f ′(t)dt 6 2

3

( βun

) .

b. En déduire que pour tout entier naturel n, βun+1 6 2

3

( βun

) , puis à

l’aide d’un raisonnement par récurrence que 06βun 6 ( 2

3

)n .

c. Quelle est la limite de la suite (un )>0 ?

Asie 21 juin 2004

[ Baccalauréat S Centres étrangers juin 2004\

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) , unité graphique : 2 cm.

On appelle A le point d’affixe −2i. À tout point M du plan d’affixe z, on associe le point M ′ d’affixe

z ′ =−2z+2i.

1. On considère le point B d’affixe b = 3−2i. Déterminer la forme algébrique des affixes a′ et b′ des points A′ etB ′ associés respectivement aux points A et B. Placer ces points sur le dessin.

2. Montrer que si M appartient à la droite (∆) d’équation y = −2 alors M ′ ap- partient aussi à (∆).

3. Démontrer que pour tout point M d’affixe z , ∣∣z ′+2i

∣∣ = 2|z +2i| ; interprétez géométriquement cette égalité.

4. Pour tout point M distinct de A on appelle θ un argument de z+2i.

a. Justifier que θ est une mesure de l’angle (−→ u ,

−−→ AM

) .

b. Démontrer que (z+2i)(z ′+2i) est un réel négatif ou nul. c. En déduire un argument de z ′+2i en fonction de θ. d. Que peut-on en déduire pour les demi-droites [AM) et [AM ′) ?

5. En utilisant les résultats précédents, proposer une construction géométrique du point M ′ associé au point M .

EXERCICE 2 5 points Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Unemployé se rend à son travail. S’il est à l’heure il prend le bus de ramassage gratuit mis à disposition par l’entreprise, s’il est en retard il prend le bus de la ville et il lui en coûte 1,50 (. Si l’employé est à l’heure un jour donné, la probabilité qu’il soit en retard le len-

demain est 1

5 , s’il est en retard un jour donné la probabilité qu’il soit en retard le

lendemain est 1

20 .

Pour tout entier naturel non nul n, on appelle Rn l’évènement : « l’employé est en retard le jour n ». On note pn , la probabilité de Rn et qn , celle de Rn . On suppose que p1 = 0.

1. Détermination d’une relation de récurrence.

a. Déterminer les probabilités conditionnelles pRn (Rn+1) et pRn (Rn+1).

b. Déterminer p (Rn+1∩Rn ) en fonction de pn et p ( Rn+1∩Rn

) en fonction

de qn

c. Exprimer pn+1 en fonction de pn et de qn .

d. En déduire que pn+1 = 1

5 −

3

20 pn .

2. Étude de la suite ( pn

) .

Pour tout entier naturel non nul n, on pose vn = pn − 4

23 .

a. Démontrer que (vn) est une suite géométrique de raison − 3

20 .

année 2004

b. Exprimer vn puis pn en fonction de n.

c. Justifier que la suite ( pn

) est convergente et calculer sa limite.

EXERCICE 2 5 points Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On se propose dans cet exercice d’étudier le problème suivant : « Les nombres dont l’écriture décimale n’utilise que le seul chiffre 1 peuvent-ils être premiers ? » Pour tout entier naturel p> 2, on pose Np = 1. . . 1 où 1 apparaît p fois. On rappelle dès lors que Np = 10p−1+10p−2+·· ·+100.

1. Les nombres N2 = 11, N3 = 111, N4 = 1111 sont-ils premiers ?

2. Prouver que Np = 10p −1

9 . Peut-on être certain que 10p −1 est divisible par

9 ?

3. On se propose de démontrer que si p n’est pas premier, alors Np n’est pas premier.

On rappelle que pour tout nombre réel x et tout entier naturel n non nul,

xn −1= (x−1) ( xn−1+ xn−2+·· ·+ x+1

) .

a. On suppose que p est pair et on pose p = 2q , où q est un entier naturel plus grand que 1.

Montrer que Np est divisible par N2 = 11. b. On suppose que p est multiple de 3 et on pose p = 3q , où q est un entier

naturel plus grand que 1.

Montrer que Np est divisible par N3 = 111. c. On suppose p non premier et on pose p = kq k et q sont des entiers

naturels plus grands que 1.

En déduire que Np est divisible par Nk .

4. énoncer une condition nécessaire pour que Np soit premier.

Cette condition est-elle suffisante ?

EXERCICE 3 9 points Commun à tous les candidats

On s’intéresse à des courbes servant demodèle à la distribution de lamasse salariale d’une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l’intervalle [0 ; 1] doivent vérifier les conditions suivantes : (1) f (0)= 0 et f (1)= 1 ; (2) f est croissante sur l’intervalle [0 ; 1] (3) Pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ; 1], f (x)6 x.

Le plan est rapporté au repère orthonormalR = ( O,

−→ ı ,

−→ ) , unité graphique : 10 cm.

I. Première partie étude d’un modèle

On appelle g la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 1] par

g (x)= xex−1.

1. Prouver que g vérifie les conditions (1) et (2).

2. Montrer que g (x)− x = x

e (ex −e) et en déduire que g vérifie la condition (3).

Centres étrangers 23 juin 2004

année 2004

3. Tracer les droites d’équations y = x et x = 1 et la courbe représentative de g dans le repère R.

II. Seconde partieUn calcul d’indice

Pour une fonction f vérifiant les conditions (1), (2) (3), on définit un indice I f égal à l’aire exprimée en unité d’aire, du domaine plan M délimité par les droites d’équa- tions y = x, x = 1 et la courbe représentative de f .

1. Justifier que I f = ∫1

0

[ xf (x)

] dx.

2. À l’aide d’une intégration par parties, calculer l’indice Ig , associé à g .

3. On s’intéresse aux fonctions fn , définies sur l’intervalle [0 ; 1] par

fn(x)= 2xn

1+ x n est un entier naturel supérieur en égal à 2. On admet que ces fonctions vérifient les conditions (1), (2), (3) et on se propose d’étudier l’évolution de leur indice In lorsque n tend vers l’infini.

a. On pose In = ∫1

0

[ xfn (x)

] dx et un =

∫1

0 fn(x)dx. Prouver que

In = 1

2 −un .

b. Comparer tn+1

1+ t et

tn

1+ t sur l’intervalle [0 ; 1] ; en déduire que la suite (un )

est décroissante.

c. Prouver que pour tout réel t appartenant à l’intervalle [0 ; 1],

06 tn+1

1+ t 6 tn .

d. En déduire que pour tout entier naturel n> 2, 06 un 6 2

n+1 .

e. Déterminer alors la limite de In quand n tend vers l’infini.

Centres étrangers 24 juin 2004

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat SMétropole juin 2004\

EXERCICE 1 3 points Commun à tous les candidats

On considère la suite (un ) définie par

{ u0 = 1 un+1 = un +2n+3 pour tout entier naturel n.

1. Étudier la monotonie de la suite (un ).

2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, un >n2. b. Quelle est la limite de la suite (un ) ?

3. Conjecturer une expression de un , en fonction de n, puis démontrer la pro- priété ainsi conjecturée.

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Dans l’ensemble C des nombres complexes, i désigne le nombre de module 1 et

d’argument π

2 .

1. Montrer que (1+ i)6 =−8i. 2. On considère l’équation (E) : z2 =−8i.

a. Déduire de 1. une solution de l’équation (E).

b. L’équation (E) possèdeune autre solution ; écrire cette solution sous forme algébrique.

3. Déduire également de 1. une solution de l’équation (E’) z3 =−8i.

4. On considère le point A d’affixe 2i et la rotation r de centre O et d’angle 2π

3 .

a. Déterminer l’affixe b du point B , image de A par r , ainsi que l’affixe c du point C , image de B par r .

b. Montrer que b et c sont solutions de (E′).

5. a. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v )

(unité graphique 2 cm), représenter les points A, B et C .

b. Quelle est la nature de la figure que forment les images de ces solutions ?

c. Déterminer le centre de gravité de cette figure.

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

1. Montrer que, pour tout entier naturel non nul k et pour tout entier naturel x :

(x−1) ( 1+ x+ x2+·· ·+ xk−1

) = xk −1.

Dans toute la suite de l’exercice, on considère un nombre entier a supérieur ou égal à 2.

2. a. Soit n un entier naturel non nul et d un diviseur positif de n : n = dk. Montrer que ad −1 est un diviseur de an −1.

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