Exercitation d'algèbre 11, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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Série de mathématique - exercitation d'algèbre 11. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Étudier les variations de la fonction, tracer la courbe représentative dans un repère orthonormé.
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[ Baccalauréat C Caen 1 septembre 1979 \

EXERCICE 1 3 POINTS

On se propose de résoudre dans C l’équation :

(E) z6−2(1−5i)z3+11+2i = 0.

1. Résoudre l’équation obtenue en substituant t à z3 dans (E).

2. Calculer (2− i)3.

3. Résoudre l’équation (E).

EXERCICE 2 4 POINTS

1. Soit la fonction f définie sur R⋆+ par

f (x)= xLog x + 1

x .

Démontrer que f possède des primitives sur R⋆+, et déterminer celle qui s’an- nule pour x = 1.

2. Étudier (sans tracer la courbe correspondante) la variation de x f (x) sur R⋆+ et en déduire le signe de f (x).

3. Étudier les variations de la fonction définie sur R⋆+ par

F (x)= x2

2

(

Log x − 1

2

)

+Log x + 1

4

et en tracer la courbe représentative dans un repère orthonormé.

PROBLÈME 13 POINTS

On désigne par F l’ensemble des applications de R dans R, par P l’ensemble des fonctions polynômes définies sur R, de degré inférieur ou égal à 2. On rappelle que : F est un espace vectoriel sur R pour les lois usuelles et que :T est le sous-espace vectoriel de P , dont une base est (P0, P1, P2) avec

P0(x)= 1, P1(x)= x, P2(x)= x 2 pour tout x deR.

Soit Φ l’application de F dans F telle que Φ(F )= f f est définie par

f (x)= F (x +1)−F (x)pour tout x deR.

Partie A

1. a. Montrer que Φ est un endomorphisme de F .

b. Quelle est l’image par Φ d’un polynôme de degré n ? En déduire que Φ(P )⊂P .

2. Soit ϕ la restriction de Φ à P .

a. Montrer queϕ est un endomorphisme deP et déterminerϕ (P0) ,ϕ (P1) ,

ϕ (P2) en fonction de P0, P1, P2.

En déduire le noyau et l’image de ϕ.

1. Nantes–Poitiers–Rennes

Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.

b. Existe-t-il des droites D de P telles que ϕ(D)= (D) ?

3. Soit F0 l’élément de F défini par F0(x)= ex pour x ∈R.

Déterminer f0 =Φ (F0). En déduire que la droite vectorielle engendrée par F0 est globalement invariante parΦ.

Quelle est la restriction deΦ à cette droite ?

Partie B

Dans cette partie, on se propose, pour tout nombre réelλ, de déterminer l’ensemble :

= {F ∈F , Φ(F )=λF }

1. a. Trouver un nombre réel λ0 tel que le noyau deΦ soit égal à 0 .

b. Vérifier que

(F ) ⇐⇒ [∀x ∈R, F (x +1)= (λ+1)F (x).]

Quel est l’ensemble S−1 ?

c. Soit J la fonction définie par

x ∈R, J (x)= ex sinπx.

Démontrer qu’il existe une valeur λ, unique telle que J appartienne à .

2. Pour λ différent de −1, on notera , la fonction de R dans R définie par

(x)= |1+λ|x.

Démontrer que si F ∈F , la fonction G = F

appartient à F .

3. On suppose λ>−1.

Démontrer que F appartient à si et seulement si G appartient au noyau de Φ. En déduire qu’il existe un réel a, indépendant de λ, tel que

= {×H , H Sa}

4. On suppose maintenant λ<−1.

Démontrer qu’il existe un réel b, indépendant de λ, tel que

= {×H , H Sb}

Caen–Nantes–Poitiers–Rennes 2 septembre 1979

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