Exercitation d'algèbre 12, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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Série de mathématique - exercitation d'algèbre 12. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer l’ensemble des couples (a, b), Calculer c et d en fonction de a et b.
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[ Baccalauréat C Clermont-Ferrand juin 1979 \

EXERCICE 1 4 POINTS

À tout réelm, élément de ]0 ; 1[ on associe, dans un plan affine euclidien, rapporté à

un sepère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

la conique (Em) d’équation

y2 = 2xx2

m .

1. Construite la courbe (

E 3 4

)

.

2. Quelle est la nature de (Em) ? Déterminer par leurs coordonnées dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

le centre et les sommets de (Em). Déterminer et tracer la courbe

(S) constituant l’ensemble des sommets du grand axe de (Em) quand m varie dans l’intervalle indiqué.

3. Déterminer par leurs coordonnées dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

les foyers de (Em).

Déterminer et tracer la courbe (C ) constituant l’ensemble de ces foyers quand m varie dans l’intervalle indiqué.

EXERCICE 2 4 POINTS

Deux urnes A et B contiennent des boules numérotées. Dans l’urne A, il y a deux boules : une porte le numéro a, l’autre porte le numéro 1. Dans l’urne B, il y a trois boules : une porte le numéro b, les deux autres le numéro−1. a et b sont deux entiers relatifs. On tire au hasard (*) une boule de l’urne A et une boule de l’urne B et on calcule la somme des numéros portés par chacune des deux boules tirées. On définit ainsi une variable aléatoire réelle X .

1. Calculer, en fonction de a et b, l’espérance mathématique de X .

2. Déterminer l’ensemble des couples (a, b) d’entiers relatifs tels que l’espérance mathématique de X soit nulle.

3. Déterminer l’ensemble des couples (a, b) d’entiers relatifs tels que les deux conditions suivantes soient simultanément remplies :

– l’espérance mathématique de X est nulle ; – l’écart-type de X est inférieur ou égal à 2.

(*) cela signifie que les couples de numéros possibles sont d’égale probabilité.

PROBLÈME 12 POINTS

N. B. – Les parties A, B et C sont indépendantes

Soit (

O, −→ ı ,

−→

)

un repère cartésien du plan affine (P). On désigne par f une appli-

cation affine de (P) dans (P) telle que f (0) = 0 et dont l’endomorphisme ϕ associéé

a pour matrice

(

a c

b d

)

dans la base (

−→ ı ,

−→

)

du plan vectoriel (

−→ P

)

associé à (P).

Partie A

Dans cette partie, on suppose que

ϕ (

−→ ı +

−→

)

= (a+b) (

−→ ı +

−→

)

et queb 6= 0.

1. Calculer c et d en fonction de a et b.

Le baccalauréat de 1979 A. P. M. E. P.

2. Trouver une équation de l’ensemble des pointsM de (P) tels queM , f (M) et le

point A défini par −−→ OA =

−→ ı soient alignés. Discuter la nature de cet ensemble

suivant les valeurs de a et b en supposant le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

orthonormé.

3. Soit −→ Ek =

{

−→ u

(

−→ P

)

/ϕ (

−→ u

)

= k −→ u , k ∈R

}

.

Calculer k pour que −→ Ek soit différent de {

−→ 0 }. Déterminer

−→ Ek pour ces valeurs

de k.

4. On pose −→ I =

−→ ı +

−→ et

−→ J =

−→ ı

−→ .

Quelle est la matrice de ϕ dans la base (

−→ ı ,

−→

)

?

On poseϕ2 =ϕϕ et, plus généralement ϕn =ϕn−1◦ϕ pour tout n deN⋆−{1}. Donner, en fonction de α= a+b et β= ab la matrice de ϕn dans la base (1,

J) puis dans la base (

−→ ı ,

−→

)

.

En déduire les coordonnées de f n(A) dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

en fonction de

a, b et n.

Partie B

Dans cette partie, on suppose que f f = f0 et que f 6= f0 ; f0 étant l’application affine qui à tout point de (P) fait correspondre le point O.

1. Lorsque b = 1, calculer c et d en fonction de a et démontrer que l’image de (P) par f est une droite (∆) passant par O telle que sa droite vectorielle associée soit le noyau de ϕ noté Ker ϕ ?

2. Dans le cas général, démontrer queϕ (

−→ P

)

, image de −→ P , est incluse dans Kerϕ.

En déduire que Ker ϕ puis ϕ (

−→ P

)

sont de dimension 1. Retrouver ainsi le ré-

sultat du 1.

3. Soit M0 un point de (P) et (D) la droite de (P), parallèle à (∆) passant par M0.

Montrer que, quel que soit le point M de (D) , ϕ (

−−−−→ M0M

)

= −→ 0 .

En déduire l’image de (D) par f .

Partie C

On suppose, dans cette partie que

f f f = f 3 = f0 et f f = f 2 6= f0

1. −→ u étant un vecteur de

−→ P tel que ϕ2

(

−→ u

)

6= −→ 0 , prouver qu’il n’existe pas de réel

k tel que ϕ (

−→ u

)

= k −→ u .

En déduire qu’il existe deux réels λ et λ′ tels que

ϕ2 (

−→ u

)

=ϕ (

−→ u

)

+λ′ −→ u .

2. Calculer ϕ3 (

−→ u

)

en fonction de λ, λ′, −→ u et ϕ

(

−→ u

)

.

Que peut-on en déduire pour λ et λ′ puis pour ϕ2 (

−→ u

)

?

Existe-t-il une application f telle que l’on ait à la fois f 3 = f0 et f 2 6= f0 ?

Clermont-Ferrand 2 juin 1979

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