Exercitation d'algèbre 14, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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Série de mathématique - exercitation d'algèbre 14. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la loi de probabilité de la variable aléatoire X, Trouver tous les éléments de Q.
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[ Baccalauréat C Côte d’Ivoire juin 1979 \

EXERCICE 1 4 points

Une urne contient 2 boules blanches, 4 boules rouges et 2 boules vertes, toutes in- discernables au toucher. Un joueur tire une boule de l’urne au hasard ;

– Si elle est blanche, il reçoit x francs (

x ∈N⋆ )

et le jeu s’arrête. – Si elle est rouge, il donne y francs

(

y ∈N⋆ )

et le jeu s’arrête. – Si elle est verte, il tire une autre boule au hasard, sans remettre la première ;

si cette dernière boule tirée est blanche, il reçoit x francs et le jeu s’arrête ; si non il donne x francs et le jeu s’arrête.

On désigne par X le gain en francs (positif ou négatif suivant qu’il a reçu ou donné de l’argent).

1. Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire X ainsi définie ?

2. Calculer l’espérance mathématique E(X) en fonction de x et de y .

3. Pour participer au jeu précédent, le joueur a dû verser 5 francs.

4. Trouver les couples (x ; y) d’entiers naturels tous deux inférieurs à 100 tels que l’espérance de gain du joueur soit égale à sa mise.

EXERCICE 2 4 points

On appelle Q l’ensemble des entiers naturels de la forme q = 2a .p p désigne un nombre premier arbitraire autre que 2 et a un naturel quelconque.

1. Calculer en fonction de p et de a le nombre n et la somme s des diviseurs d’un nombre q .

2. Montrer que si l’égalité s = 2q est vérifiée, le nombre 2a+1−1 est premier.

3. Montrer que si a + 1 n’est pas premier, il en est de même pour 2a+1−1. (On montrera que si b et c sont des entiers strictement supérieurs à 1, alors 2bc −1 est divisible par 2b −1).

4. Trouver tous les éléments de Q pour lesquels a < 10 et s = 2q .

PROBLÈME 12 points

N.B. - La partie C peut être abordée sans que la partie B ait été traitée

Dans tout le problème, P désigne le plan affine euclidien rapporté à un repère or-

thonormé R = (

O, −→

ı , −→

)

.

Partie A

Pour tout réel k strictement positif, on considère l’application Tk de P dans lui- même qui à tout pointM de coordonnées (x ; y) associe le pointM ′ de coordonnées (

x′ ; y ′ )

telles que

{

x′ = kx

y ′ = y +Logk où Log désigne le logarithme népérien.

1. Montrer que Tk est une application affine bijective.

Terminale C A. P. M. E. P.

2. SoitG l’ensemble des applications Tk k décrit R. La loi de composition des applications étant notée ◦, montrer que (G, ◦) est isomorphe à (R, ×) et que (G, ◦) est un groupe. Préciser si ce groupe est commutatif ou non, indiquer son élément neutre et le symétrique de l’élément Tk .

Partie B

Pour tout réel k strictement positif, on considère la fonction numérique fk de la variable réelle x telle que, pour tout x réel :

fk (x)= ex k2e−x

2 où e désigne la base du logarithme népérien.

1. Étudier la variation de fk .

2. Montrer que fk admet une application réciproque que l’on notera gk . Calculer gk (x) pour tout réel x de l’ensemble de définition de gk .

3. On appelle Ck et Γk les courbes représentatives de fk et gk dans R.

a. Construire C1 et Γ1.

b. Montrer que le point O est centre de symétrie pour chacune des courbes C1 et Γ1.

c. Calculer, en fonction du réel a positif, l’aire du domaine plan D défini par :

M(x ; y)∈D ⇐⇒

{

a 6 x 6 a

0 6 y 6 g1(x).

4. Montrer que l’image de Γ1 par l’application Tk définie au 1. est la courbe Γk .

5. En utilisant les résultats 3. b. et 4., montrer que Γk admet un centre de symé- trie. Quel est l’ensemble de ces centres de symétrie quand k décrit R ?

6. Montrer quedeux courbes quelconquesΓk1 etΓk2 se déduisent l’unede l’autre par une application de l’ensemble G que l’on précisera.

Partie C

Pour tout réel t élément de [0 ; 2π], on considère le point M de P de coordonnées (x ; y) dans R telles que :

{

x = cos t y = sin t

1. Quelle est la nature dumouvement de M quand t varie ?

2. k étant un réel strictement positif arbitrairement choisi, soit m le point de P tel quem = Tk (M).

a. Donner une équation cartésienne de la trajectoire dem quand t varie. Préciser la nature de cette courbe, ses éléments de symétrie et les points remarquables qui s’y trouvent.

b. Calculer les coordonnées du vecteur vitesse et du vecteur accélération du pointm à la date t . Le mouvement est-il accéléré ou retardé ?

3. On suppose que k = 2. Construire, sur un même croquis, les trajectoires deM etm. Placer les positions M0 etm0 de ces points à la date t = 0, ainsi que les repré- sentants, d’origines respectives M0 etm0, des vecteurs vitesse et accélération de chacun de ces mobiles à la date t = 0. On donne Log 2≈ 0,7.

Côte d’Ivoire 2 juin 1979

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