Exercitation d'algèbre 15, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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Série de mathématique - exercitation d'algèbre 15. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la base des logarithmes népériens, la fonction numérique de la variable réelle, l'application h de R dans IR.
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[ Baccalauréat C Dijon juin 1979 \

EXERCICE 1 3 POINTS

L’espace affine euclidien de dimension 3 est rapporté à un repère orthonormé direct( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) . On considère l’application affine f qui, à tout point M de coordon-

nées (x, y, z) associe le point M ′ dont les coordonnées ( x′, y ′, z

) sont données par

 

x′ = y +2 y ′ = x−1 z ′ = −z

Démontrer que l’application linéaire associée à f est une rotation vectorielle dont on précisera l’axe et l’angle. En déduire que f est un vissage.

EXERCICE 2 4 POINTS

Soit α un entier relatif non nul. Pour tout couple (a, b) d’entiers relatifs, on pose

Ma, b =

( a ab

b a

)

et on note l’ensemble de ces matrices lorsque (a, b) décrit Z2.

1. Démontrer que est stable par l’addition et la multiplication des matrices, La multiplication est-elle commutative dans ?

2. Démontrer qu’il existe (a, b) 6= (0, 0) et (c, d) 6= (0, 0) dans Z2 tels que Ma, b × Mc , d =M0, 0.

3. Onsuppose quail existeβ, élément deZ, tel queα =β2 Déterminer l’ensemble des couples (a, b) de Z2 tels qu’il existe (c, d) différent de (0, 0) dans Z2 avec Ma, b ×Mc , d =M0, 0.

PROBLÈME 13 POINTS

Dans ce probeème, e représente la base des logarithmes népériens.

Partie 1

Soit x0 un réel. On note I (x0) l’intégrale :

I (x0)= ∫x0

0

(x0− t)2

2 et dt .

1. a. Sachant que : et 6 ex0 si t 6 x0, démontrer sans calculer I (x0) que

06 I (x0)6 e x0 ·

x30

6 , six0 est positif ou nul.

b. Sachant que et 6 1, si t 6 0,démontrer sans calculer I (x0) que :

06 |I (x0)|6 |x0|

3

6 , six0 est négatif ou nul.

2. En calculant I (x0) par intégrations par parties, démontrer que l’on a :

ex0 = 1+ x0+ x20

2 + I (x0) .

Le baccalauréat de 1979 A. P. M. E. P.

Partie 2

On note f la fonction numérique de la variable réelle, définie sur R par :  

f (x) =

ex −1

x si x 6= 0

f (0) = 1

1. Démontrer que f est dérivable sur R et préciser son nombre dérivé en 0 . (On utilisera les résultats de la partie 1).

Démontrer que f ′, fonction dérivée de f , est continue sur R.

2. Étudier les variations de f sur R (on pourra étudier le signe de la fonction g définie sur R par g (x)= xex −ex +1).

En déduire que f (x) est toujours strictement positif.

3. Tracer la courbe représentative de f dans le plan euclidien rapporté à un re-

père orthonormé ( O,

−→ ı ,

−→ ) .

Partie 3

1. Démontrer que pour tout x réel non nul, on a :

x f (x)> x et xex > x f (x).

En déduire qu’il existe un unique réel y , compris strictement entre 0 et x tel que : f (x)= ey si x est différent de zéro.

2. On définit ainsi une application h de R dans IR telle que

{ h(0) = 0 h(x) = y six 6= 0

Démontrer que h est dérivable sur R et étudier ses variations (on ne demande pas de représentation graphique).

3. Démontrer que, pour tout x réel non nul, on peut trouver un réel θ et un seul, compris strictement entre 0 et 1, tel que :

ex = 1+ xe.

Vérifier que θ = 1

x log[ f (x)].

4. Soit θ̂ l’application de R⋆ dans R définie par :

θ̂(x)= 1

x log[ f (x)].

En remarquant que log[ f (0)]= 0, trouver la limite de θ̂ lorsque x tend vers 0.

Dijon 2 juin 1979

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