Exercitation d'algèbre 2, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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Série de mathématique - exercitation d'algèbre 2. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’ensemble des nombres complexes, la courbe représentative de la fonction logarithme népérien.
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[ Baccalauréat C Aix–Marseille juin 1979 \

EXERCICE 1 4 points

Soit C l’ensemble des nombres complexes et f l’application de C− {−i} dans C telle que

f (z)= z− i

z+ i .

1. Démontrer que f applique bijectivement C− {−i} sur C− {1}.

2. Quelle est l’image par f de l’ensemble P des nombres complexes dont la partie imaginaire est strictement positive ?

EXERCICE 2 4 points

SoitC la courbe représentative de la fonction logarithme népérien dans le plan rap-

porté à un repère orthonormé ( O,

−→

ı , −→

) .

1. x étant un réel strictement positif on considère le point M de C qui a pour abscisse x et l’on désigne parm le coefficient directeur de la droite (OM).

Construire la tableau de variations de la fonction continue

µ : R⋆ +

→ R

x 7−→ m.

2. Soient A et B deux points de C d’abscisses respectives a et b telles que a < b. Démontrer que, si ab = ba , A et B sont alignés avec O et que a < e.

3. Trouver tous les couples d’entiers naturels (a, b) tels que

a < b et ab = ba .

PROBLÈME 12 points

Soit E un plan vectoriel euclidien orienté, ( −→

ı , −→

) une base de E orthonormédirecte,

IE l’application identité de E et r la rotation vectorielle de E qui transforme −→

ı en −→

.

Dans le plan affine euclidien E associé à E, muni d’un repère ( O,

−→

ı , −→

) , on donne

les points A(1 ; 0) et B(−1 ; 0) et les cercles a et b passant par O de centres respectifs A et B. Dans tout le problème on associe à chaque point P du cercle a le point Q du cercle

b tel que les angles á(−→ ı ,

−→

AP ) et

á(−→ ,

−−→

BQ ) soient égaux. On notera M le milieu du

segment [PQ].

Partie I

1. Montrer que : −−−→

OM = 1

2

( −→

AP + −−→

BQ ) et que le vecteur

−−−→

OM se déduit du vecteur

−→

AP par l’application linéaire : σ= 1

2 (IE+ r ).

Former la matrice de σ dans la base ( −→

ı , −→

) et reconnaître que σ est la com-

posée d’une homothétie vectorielle et d’une rotation vectorielle.

2. Démontrer que, quel que soit le point P sur le cercle a, le point M s’en déduit par une similitude directe fixe dont on donnera le centre, le rapport et l’angle.

Étudier l’ensemble des points M associés aux points P du cercle a.

Terminale C A. P. M. E. P.

Partie II

Soit θ une détermination de la mesure de l’angle á(−→ ı ,

−→

AP ) .

Calculer en fonction de θ les coordonnées (x ; y), ( x′ ; y

) , (X ; Y ) des points P, Q,

M . Puis calculer X et Y en fonction de x et y . Retrouver les résultats de la question I 2.

Partie III

Étudier l’ensemble S des distances PQ associées aux points P de cercle a. Démontrer que S est un intervalle fermé dont on donnera les bornes.

Partie IV

Étudier l’ensembleT des coefficients directeurs des droites (PQ) associées auxpoints P du cercle a. Démontrer que T est un intervalle fermé dont on donnera les bornes.

Partie V

Soit K un point fixe de E et k le nombre de droites (PQ) passant par K.

1. Quel est l’ensemble des nombres k ainsi associés aux points K de E ?

2. Déterminer l’ensemble des points K de E pour lesquels k = 1.

N.B. Les parties III, IV et V sont indépendantes les unes des autres. Les parties III et IV peuvent être étudiées géométriquement ou par le calcul.

Aix–Marseille 2 juin 1979

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