Exercitation d'algèbre 8, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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Série de mathématique - exercitation d'algèbre 8. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: L’espace affine euclidien orienté E de dimension trois, Préciser la nature et les éléments caractéristiques de l’applicat...
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[ Baccalauréat C Bordeaux juin 1979 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Trouver les couples (a,b) d’entiers naturels (0 < a < b) dont le plus grand commun diviseur d et le plus petit communmultiple m vérifiant

2m+3d = 78

et tels que a ne divise pas b.

EXERCICE 2 5 POINTS

L’espace affine euclidien orienté E de dimension trois est rapporté à un repère or-

thonormé direct (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→

k )

. On désigne par ∆ la droite de E , dirigée par −→ ı , pas-

sant par le point A de coordonnées (0 ; 0 ; 1) et par R la rotation d’axe ∆ qui trans- forme le point O en le point O′ de coordonnées (0 ; −1 ; 1). Trouver les coordonnées

(

x1 ; y1 ; z1 )

du point M1 transformé d’un point M de co- ordonnées (x ; y ; z) par la rotation R.

On désigne par T la translation de vecteur −→ ı +

−→ +

−→

k et par V la transformation composée V = T R. Trouver les coordonnées

(

x2 ; y2 ; z2 )

du point M2 transformé d’un point M de co- ordonnées (x ; y ; z) oùM2 =V (M). Préciser la nature et les éléments caractéristiques de l’application V .

PROBLÈME 12 POINTS

Partie A

On désigne par a,h, t ,x des nombres réels.

1. Déterminer trois constantes réelles A,B et C telles que, quel que soit t > 0 :

1

t(1+ t)2 =

A

t +

B

(1+ t)2 +

C

1+ t .

2. Déterminer trois constantes réelles A′, B ′ etC ′ telles que , quel que suit t > 0 :

−1

t2(1+ t) =

A

t2 +

B

t +

C

1+ t .

3. Pour 0< a < b, justifier l’existence des intégrales :

dt

I (a, b)= ∫b

a

1

t(1+ t)2 dt J (a, b)=−

b

a

1

t2(1+ t) dt .

Montrer que I (a, b)> 0 et J (a, b)6 0.

Calculer I (a, b) et J (a, b).

4. Le nombre réel a > 0 étant fixé, montrer que I (a, b) et J (a, b) tendent vers des limites réelles F (a)= lim

b→+∞ I (a, b) et G(a)= lim

b→+∞ quand b tend vers +∞

telles que :G(a)6 06 F (a).

Partie B

Le baccalauréat de 1979 A. P. M. E. P.

Dans la suite du problème on pose, pour x > 0 :

F (x) = log 1+ x

x

1

1+ x

C (x) = log 1+ x

x

1

x

où log désigne la fonction logarithme népérien.

1. Soit θ l’application de R+ vers R qui à x associe « (1+ x)− x.

Du signe de θ′(x) et de la valeur de θ(0) déduire que θ(x) < 0 pour x > 0. (θ

désigne la dérivée de θ).

Soit ϕ l’application de R+ vers R qui à x associe log(1+ x)− x+ x2

2 .

Du signe de ϕ′(x) et de la valeur de ϕ(0) déduire que ϕ(x)> 0 pour x > 0. (ϕ

désigne la dérivée de ϕ).

Prouver alors que, pour tout x > 0 : − 1

2x2 <G(x)< 0.

2. Soitψ l’application de R+ vers R qui à x associe log(1+ x)− x

1+ x .

Étudier le signe deψ pour x > 0 et en déduire que F (x)> 0 pour x > 0.

3. Montrer que, quel que soit x > 0,

F (x)−G(x)< 1

x2 et 0< F (x)<

1

x2 .

4. Des inégalités G(x)< 0< F (x), déduire que, pour tout x > 0

(

1+ x

x

)x

< e<

(

1+ x

x

)x+1

.

Partie C

1. Soit α un nombre réel supérieur ou égal à 1 . Montrer que

a. 06 ∫α

1 F (x)dx 6 1.

b. 1

2 6

α

1 G(x)dx 6 0.

2. CalcuLer K (α)= ∫α

1 F (x)dx.

(On pourra intégrer par parties). En déduire lim α→+∞

K (α).

3. Calculer L(α)= ∫α

1 G(x)dx et déterminer lim

α→+∞ L(α).

Bordeaux 2 juin 1979

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