Exercitation d'algèbre - correction 11, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation
Eusebe_S
Eusebe_S14 avril 2014

Exercitation d'algèbre - correction 11, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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Exercitation d'algèbre linéaire - correction 11. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la probabilité d’un évènement, le projeté orthogonal.
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PolynesieS obli sept.2008.dvi

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S (obligatoire) Polynésie \ septembre 2008

EXERCICE 1 4 points

On rappelle que la probabilité d’un évènement A sachant que l’évènement B est réa-

lisé se note pB (A). Une urne contient au départ 30 boules blanches et 10 boules noires indiscernables au toucher. On tire au hasard une boule de l’urne :

• si la boule tirée est blanche, on la remet dans l’urne et on ajoute n boules blanches supplémentaires.

• si la boule tirée est noire, on la remet dans l’urne et on ajoute n boules noires supplémentaires.

On tire ensuite au hasard une seconde boule de l’urne. On note :

B1 l’évènement : « on obtient une boule blanche au premier tirage » • B2 l’évènement : « on obtient une boule blanche au second tirage » • A l’évènement : « les deux boules tirées sont de couleurs différentes ».

1. Dans cette question, on prend n = 10.

a. Calculer la probabilité p (B1∩B2) et montrer que p (B2)= 3

4 .

b. Calculer pB2 (B1).

c. Montrer que p(A)= 3

10 .

2. On prend toujours n = 10.

Huit joueurs réalisent l’épreuve décrite précédemment demanière identique et indépendante.

On appelle X la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de réali- sations de l’évènement A.

a. Déterminer p(X = 3). (On donnera la réponse à 10−2 près).

b. Déterminer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X .

3. Dans cette question n est un entier supérieur ou égal à 1.

Existe-t-il une valeur de n pour laquelle p(A)= 1

4 ?

EXERCICE 2 5 points

On donne la propriété suivante :

« par un point de l’espace il passe un plan et un seul orthogonal à une droite donnée »

Sur la figure donnée en annexe, on a représenté le cube ABCDEFGH d’arête 1. On a placé :

les points I et J tels que −→ BI =

2

3

−−→ BC et

−→ EJ =

2

3

−−→ EH .

le milieu K de [IJ]. On appelle P le projeté orthogonal de G sur le plan (FIJ).

Partie A

1. Démontrer que le triangle FIJ est isocèle en F.

En déduire que les droites (FK) et (IJ) sont orthogonales.

On admet que les droites (GK) et (IJ) sont orthogonales.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

2. Démontrer que la droite (IJ) est orthogonale au plan (FGK).

3. Démontrer que la droite (IJ) est orthogonale au plan (FGP).

4. a. Montrer que les points F, G, K et P sont coplanaires.

b. En déduire que les points F, P et K sont alignés.

Partie B

L’espace est rapporté au repère orthonormal (

A ; −−→ AB ,

−−→ AD ,

−→ AE

)

.

On appelle N le point d’intersection de la droite (GP) et du plan (ADB). On note (x ; y ; 0) les coordonnées du point N .

1. Donner les coordonnées des points F, G, I et J.

2. a. Montrer que la droite (GN ) est orthogonale aux droites (FI) et (FJ).

b. Exprimer les produits scalaires −−→ GN ·

−→ FI et

−−→ GN ·

−→ FJ en fonction de x et y .

c. Déterminer les coordonnées du point N .

3. Placer alors le point P sur la figure en annexe.

EXERCICE 3 5 points

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

On considère l’ensemble (E) des suites (xn ) définies surN et vérifiant la relation sui- vante :

pour tout entier naturel n non nul, xn+1− xn = 0,24xn−1 .

1. On considère un réel λ non nul et on définit sur N la suite (tn ) par tn =λn .

Démontrer que la suite (tn) appartient à l’ensemble (E) si et seulement si λ est solution de l’équation λ2−λ−0,24 = 0.

En déduire les suites (tn ) appartenant à l’ensemble (E).

On admet que (E) est l’ensemble des suites (un ) définies sur N par une rela- tion de la forme :

un =α(1,2) n +β(−0,2)n α et β sont deux réels.

2. On considère une suite (un ) de l’ensemble (E).

Déterminer les valeurs de α et β telles que u0 = 6 et u1 = 6,6.

En déduire que, pour tout entier naturel n, un = 39

7 (1,2)n +

3

7 (−0,2)n .

3. Déterminer lim n→+∞

un .

Partie B

On considère la suite (vn) définie sur N par :

v0 = 6 et, pour tout entier naturel n, vn+1 = 1,4vn −0,05v 2 n

1. Soit f la fonction définie sur R par f (x)= 1,4x−0,05x2 .

a. Étudier les variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 8].

b. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,

06 vn < vn+1 6 8.

2. En déduire que la suite (vn) est convergente et déterminer sa limite .

Polynésie 2 septembre 2008

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

EXERCICE 4 6 points

On considère la fonction f définie sur R par

f (x)= ln (

ex +2e−x )

.

La courbe (C ) représentative de la fonction f dans un repère orthogonal est donnée en annexe.

Partie A - Étude de fonction f .

1. Montrer que, pour tout réel x, f (x)= x+ ln (

1+2e−2x )

.

On admet que, pour tout réel x, f (x)=−x+ ln (

2+e2x )

.

2. Calculer lim x→+∞

f (x) et montrer que la droite (d) d’équation y = x est asymp-

tote à (C ).

Étudier la position relative de (C ) et de (d).

3. Calculer lim x→−∞

f (x) et montrer que la droite (d′) d’équation y = −x + ln2 est

asymptote à (C ).

4. Étudier les variations de la fonction f .

Montrer que le minimum de la fonction f est égal à 3

2 ln2.

5. Tracer les droites (d) et (d′) sur la feuille annexe.

Partie B - Encadrement d’une intégrale.

On pose I = ∫3

2 [ f (x)− x]dx.

1. Donner une interprétation géométrique de I .

2. Montrer que, pour tout X ∈ [0 ; +∞[, ln(1+X )6 X .

3. En déduire que 06 I 6 ∫3

2 2e−2x dx et donner un encadrement de I d’ampli-

tude 0,02.

Polynésie 3 septembre 2008

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Annexe

Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l’épreuve.

EXERCICE 2

A

B C

D

E

F

G

H

I

J

K +

EXERCICE 4

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5−1−2−3−4−5−6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

0

1

2

3

4

5

6

−→ ı

−→

Polynésie 4 septembre 2008

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