Exercitation d'algèbre - correction 13, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation
Eusebe_S
Eusebe_S14 avril 2014

Exercitation d'algèbre - correction 13, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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Exercitation d'algèbre linéaire - correction 13. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la rotation, l’affixe du point E.
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[ Baccalauréat S Pondichéry 16 avril 2008 \

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

1. Soit f la fonction définie sur [1 ; +∞[ par f (x) = x

ex −1 et soit H la fonction

définie sur [1 ; +∞[ par H(x)= ∫x

1 f (t)dt .

a. Justifier que f et H sont bien définies sur [1 ; +∞[ b. Quelle relation existe-t-il entre H et f ?

c. SoitC la courbe représentative de f dansun repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

du plan. Interpréter en termes d’aire le nombre H(3).

2. On se propose, dans cette question, de donner un encadrement du nombre H(3).

a. Montrer que pour tout réel x > 0, x

ex −1 = x×

e−x

1−e−x .

b. En déduire que ∫3

1 f (x)dx = 3ln

(

1− 1

e3

)

− ln (

1− 1

e

)

− ∫3

1 ln

(

1−e−x )

dx.

c. Montrer que si 16 x 6 3, alors ln

(

1− 1

e

)

6 ln(1−e−x )6 ln (

1− 1

e3

)

.

d. En déduire un encadrement de ∫3

1 ln

(

1−e−x )

dx puis de ∫3

1 f (x)dx.

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité Cet exercice contient une restitution organisée de connaissances.

Partie A

On suppose connus les résultats suivants :

1. Dans le plan complexe, on donne par leurs affixes zA , zB et zC trois points A, B etC .

Alors

zB zC zA zC

= CB

CA et arg

(

zB zC zA zC

)

= (−−→ CA ,

−−→ CB

)

(2π).

2. Soit z un nombre complexe et soit θ un réel :

z = eiθ si et seulement si |z| = 1 et arg(z)= θ+2, où k est un entier relatif.

Démonstration de cours : démontrer que la rotation r d’angle α et de centre Ω d’af- fixeω est la transformation du plan qui à tout point M d’affixe z associe le point M

d’affixe z ′ tel que

z ′−ω= eiα(zω).

Partie B

Dans un repère orthonormal direct du plan complexe (

O, −→ u ,

−→ v

)

d’unité graphique

2 cm, on considère les points A, B, C et D d’affixes respectives

zA =− p 3− i, zB = 1− i

p 3, zC =

p 3+ i et zD =−1+ i

p 3.

1. a. Donner lemodule et un argument pour, chacundes quatre nombres com- plexes zA , zB , zC et zD .

b. Comment construire à la règle et au compas les points A, B, C et D dans

le repère (

O, −→ u ,

−→ v

)

?

A. P. M. E. P. Baccalauréat S

c. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?

2. On considère la rotation r de centre B et d’angle − π

3 . Soient E et F les points

du plan définis par : E = r (A) et F = r (C ). a. Comment construire à la règle et au compas les points F et E dans le re-

père précédent ?

b. Donner l’écriture complexe de r .

c. Déterminer l’affixe du point E .

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

On suppose connu le résultat suivant : Une application f du plan muni d’un repère orthonormal direct dans lui-même est une similitude directe si et seulement si f admet une écriture complexe de la forme z ′ = az+b, où a ∈C∗ et b ∈C.

Démonstrationde cours : on se place dans le plan complexe.Démontrer que si A,B,A

et B ′ sont quatre points tels que A est distinct de B et A′ est distinct de B ′, alors il existe une unique similitude directe transformant A en A′ et B en B ′.

Partie B

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

on consi-

dère les points A, B, C , D d’affixes respectives

zA =− p 3− i, zB = 1− i

p 3, zC =

p 3+ i et zD =−1+ i

p 3.

1. a. Donner le module et un argument-de chacun des quatre nombres com- plexes zA , zB , zC et zD .

b. Construire à la règle et au compas les points A, B, C et D (on prendra pour unité graphique 2 cm).

c. Déterminer le milieu du segment [AC ], celui du segment [BD]. Calculer

le quotient zB

zA . En déduire la nature du quadrilatère ABCD.

2. On considère la similitude directe g dont l’écriture complexe est z ′ = e−i π 3 z+

2.

a. Déterminer les éléments caractéristiques de g .

b. Construire à la règle et au compas les images respectives E , F et J par g des points A, C etO.

c. Que constate-t-on concernant ces points E , F et J ? Le démontrer.

EXERCICE 3 4 points Commun à tous les candidats

On considère un tétraèdre ABCD. On note I , J , K , L, M , N les milieux respectifs des arêtes [AB], [CD], [BC ], [AD], [AC ] et [BD]. On désigne par G l’isobarycentre des points A, B, C et D. A

B

C

D

Pondichéry 2 16 avril 2008

A. P. M. E. P. Baccalauréat S

1. Montrer que les droites (I J ), (KL) et (MN ) sont concourantes enG.

Dans la suite de l’exercice, on suppose que AB =CD, BC = AD et AC =BD. (Ondit que le tétraèdre ABCD est équifacial, car ses faces sont isométriques).

2. a. Quelle est la nature du quadrilatère IK JL ? Préciser également la nature des quadrilatères IM JN et KNLM .

b. Endéduire que (I J ) et (KL) sont orthogonales.Onadmettra que, demême, les droites (I J ) et (MN ) sont orthogonales et les droites (KL) et (MN ) sont orthogonales.

3. a. Montrer que la droite (I J ) est orthogonale au plan (MKN ).

b. Quelle est la valeur du produit scalaire −→ I J ·

−−−→ MK ? En déduire que (I J ) est

orthogonale à la droite (AB). Montrer de même que (I J ) est orthogonale à la droite (CD).

c. Montrer queG appartient aux plans médiateurs de [AB] et [CD].

d. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’ini- tiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Comment démontrerait-on que G est le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD ?

EXERCICE 4 7 points Commun à tous les candidats

On cherche à modéliser de deux façons différentes l’évolution du nombre, exprimé

en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat, en fonction de

l’année.

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A : un modèle discret

Soit un le nombre, exprimé en millions, de foyers possédant un téléviseur à écran plat l’année n. On pose n = 0 en 2005, u0 = 1 et, pour tout n> 0,

un+1 = 1

10 un (20−un ) .

1. Soit f la fonction définie sur [0 ; 20] par

f (x)= 1

10 x(20− x).

a. Étudier les variations de f sur [0 ; 20].

b. En déduire que pour tout x ∈ [0 ; 20], f (x) ∈ [0 ; 10]. c. On donne en annexe la courbe représentative C de la fonction f dans un

repère orthonormal.

Représenter, sur l’axe des abscisses, à l’aide de ce graphique, les cinq pre- miers termes de la suite (un )n>0.

2. Montrer par récurrence que pour tout n ∈N, 06 un 6 un+1 6 10. 3. Montrer que la suite (un)n>0 est convergente et déterminer sa limite.

Partie B : un modèle continu

Soit g (x) le nombre, exprimé enmillions, de tels foyers l’année x. On pose x = 0 en 2005, g (0)= 1 et g est une solution, qui ne s’annule pas sur [0 ; +∞[, de l’équation différentielle

(E) ; y ′ = 1

20 y(10− y).

Pondichéry 3 16 avril 2008

A. P. M. E. P. Baccalauréat S

1. On considère une fonction y qui ne s’annule pas sur [0 ; +∞[ et on pose z =

1

y .

a. Montrer que y est solutionde (E) si et seulement si z est solutionde l’équa- tion différentielle :

(E1) : z ′ =−

1

2 z+

1

20 .

b. Résoudre l’équation (E1) et en déduire les solutions de l’équation (E).

2. Montrer que g est définie sur [0 ; +∞[ par g (x)= 10

9e− 1 2 x +1

.

3. Étudier les variations de g sur [0 ; +∞[. 4. Calculer la limite de g en +∞ et interpréter le résultat. 5. Enquelle année le nombrede foyers possédant un tel équipement dépassera-

t-il 5 millions ?

Pondichéry 4 16 avril 2008

A. P. M. E. P. Baccalauréat S

ANNEXE

À rendre avec la copie

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13

−1 −2 −3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23−1−2−3−4-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

Pondichéry 5 16 avril 2008

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