Exercitation d'algèbre - correction 9, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation
Eusebe_S
Eusebe_S14 avril 2014

Exercitation d'algèbre - correction 9, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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Exercitation d'algèbre linéaire - correction 9. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le barycentre des points pondérés, L’ensemble des points M du plan.
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MetropoleSseptembre2008.dvi

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Métropole & La Réunion \ septembre 2008

EXERCICE 1 4 points

Commun à tous les candidats

Dans une kermesse un organisateur de jeux dispose de 2 roues de 20 cases cha- cune.

La roue A comporte 18 cases noires et 2 cases rouges. La roue B comporte 16 cases noires et 4 cases rouges. Lors du lancer d’une roue toutes les cases ont la même probabilité d’être obte-

nues. La règle du jeu est la suivante : • Le joueur mise 1( et lance la roue A. • S’il obtient une case rouge, alors il lance la roue B, note la couleur de la case

obtenue et la partie s’arrête. • S’il obtient une case noire, alors il relance la roue A, note la couleur de la case

obtenue et la partie s’arrête.

1. Traduire l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré.

2. Soient E et F les évènements :

E : « à l’issue de la partie, les 2 cases obtenues sont rouges » ; F : « à l’issue de la partie, une seule des deux cases est rouge ».

Montrer que p(E)= 0,02 et p(F)= 0,17. 3. Si les 2 cases obtenues sont rouges le joueur reçoit 10 ( ; si une seule des

cases est rouge le joueur reçoit 2( ; sinon il ne reçoit rien.

X désigne la variable aléatoire égale au gain algébrique en euros du joueur (rappel le joueur mise 1().

a. Déterminer la loi de probabilité de X .

b. Calculer l’espérancemathématique de X et endonner une interprétation.

4. Le joueur décide de jouer n parties consécutives et indépendantes (n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2)

a. Démontrer que la probabilité pn qu’il lance au moins une fois la roue B est telle que pn = 1− (0,9)n .

b. Justifier que la suite de terme général pn est convergente et préciser sa limite.

c. Quelle est la plus petite valeur de l’entier n pour laquelle pn > 0,9 ?

EXERCICE 2 3 points

Commun à tous les candidats

On se propose de déterminer toutes les fonctions f définies et dérivables sur l’inter- valle ]0 ; +∞[ vérifiant l’équation différentielle

(E ) : x f ′(x)− (2x+1) f (x)= 8x2.

1. a. Démontrer que si f est solution de (E ) alors la fonction g définie sur l’in-

tervalle ]0 ; +∞[ par g (x) = f (x)

x est solution de l’équation différentielle

(E ′) : y ′ = 2y +8. b. Démontrer que si h est solution de (E ′) alors la fonction f définie par

f (x)= xh(x) est solution de (E ).

Baccalauréat S

2. Résoudre (E ′) et en déduire toutes les solutions de (E ),

3. Existe-t-il une fonction f solution de l’équation différentielle (E ) dont la re- présentation graphique dans un repère donné passe par le point A(ln2 ; 0) ? Si oui la préciser.

EXERCICE 3 4 points

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).

Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. Le candidat portera sur

la copie, sans justification, la lettre correspondant à la réponse choisie. Il sera attribué

un point si la réponse est exacte, zéro sinon.

Dans le plan orienté, ABCD est un carré direct ((−−→ AB ,

−−→ AD

)

= π

2

)

. On note I son centre

et J le milieu de [AI].

1. C est le barycentre des points pondérés (A,m), (B, 1) et (D, 1) lorsque :

a. m =−2 b. m = 2 c. m =−1 d. m = 3

2. a. B est l’image de C par la rotation de centre I et d’angle π

2 .

b. Le rapport de l’homothétie de centre C qui transforme I en J est 2

3 .

c. Le triangle DAB est invariant par la symétrie de centre I.

d. J est l’image de I par la translation de vecteur 1

2

−−→ BA +

1

4

−−→ DB .

3. L’ensemble des points M du plan tels que ‖−−→MA +−−→MC ‖=AB est : a. la médiatrice de [AC].

b. le cercle circonscrit au carré ABCD.

c. la médiatrice de [AI].

d. le cercle inscrit dans le carré ABCD.

4. L’ensemble des points M du plan tels que : (

2 −−→ MA +−−→MB +−−−→MD

)

· (−−→ MA −−−→MC

)

= 0

est :

a. la médiatrice de [AC].

b. le cercle circonscrit au carré ABCD.

c. la médiatrice de [AI].

d. le cercle inscrit dans le carré ABCD.

EXERCICE 4 4 points

Commun à tous les candidats

On considère la suite numérique (Jn) définie, pour tout entier naturel n non nul, par

Jn = ∫n

1 e−t

p 1+ t dt .

1. Démontrer que la suite (Jn) est croissante.

2. Dans cette question, le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa

démarche même si elle n’aboutit pas.

On définit la suite (In ), pour tout entier naturel n non nul, par :

In = ∫n

1 (t +1)e−t dt .

Métropole & La Réunion 2 septembre 2008

Baccalauréat S

a. Justifier que, pour tout t > 1, on a p t +16 t +1.

b. En déduire que Jn 6 In .

c. Calculer In en fonction de n. En déduire que la suite (Jn) est majorée par un nombre réel (indépendant de n).

d. Que peut-on en conclure pour la suite (Jn) ?

EXERCICE 5 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

.

On réalisera une figure en prenant 2 cm comme unité graphique sur chaque axe. On considère les points A, B et I d’affixes respectives zA = 1, zB = 5 et zI = 3+ i. On note (C ) le cercle de centre O et de rayon 1, (∆) la médiatrice de [AB] et (T) la tangente au cercle (C ) en A. À tout point M d’affixe z, différent de A, on associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que :

z ′ = z−5 z−1

.

Le point M ′ est appelé l’image deM .

Partie A

1. Déterminer sous forme algébrique l’affixe du point I′ image de I.

Vérifier que I′ appartient à (C ).

2. a. Justifier que pour tout point M distinct de A et B, on a : OM ′ = MB

MA .

b. Justifier que pour tout point M distinct de A et B, on a : (−−→ OA ,

−−−→ OM

)

= (−−→ MA ,

−−→ MB

)

.

Partie B

Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte

dans l’évaluation.

Dans la suite de l’exercice, M désigne un point quelconque de (∆). On cherche à construire géométriquement son imageM ′.

1. Démontrer que M ′ appartient à (C ).

2. On note (d) la droite symétrique de la droite (AM) par rapport à la tangente (T). (d) recoupe (C ) en N .

a. Justifier que les triangles AMB et AON sont isocèles.

Après avoir justifié que (−−→ AO ,

−−→ AN

)

= (−−→ AM ,

−−→ AB

)

démontrer que (−−→ OA ,

−−→ ON

)

= (−−→ MA ,

−−→ MB

)

.

b. En déduire une construction deM ′.

EXERCICE 5 5 points

Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

.

On réalisera une figure en prenant 4 cm comme unité graphique sur chaque axe. On considère le point A d’affixe zA = 1.

Partie A

Métropole & La Réunion 3 septembre 2008

Baccalauréat S

k est un réel strictement positif ; f est la similitude directe de centre O de rapport k

et d’angle π

3 .

On note A0 = A et pour tout entier naturel n, An+1 = f (An).

1. a. Étant donné un point M d’affixe z, déterminer en fonction de z l’affixe z

du point M ′ image deM par f .

b. Construire les points A0, A1, A2 et A3 dans le cas particulier où k est égal à 1

2 .

2. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier n, l’affixe zn du point An est égale à kne

i3 .

b. En déduire les valeurs de n pour lesquelles le point An appartient à la

demi droite [

O ; −→ u

)

et, dans ce cas, déterminer en fonction de k et de n

l’abscisse de An .

Partie B

Dans cette partie toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte

dans l’évaluation.

Désormais, k désigne un entier naturel non nul.

1. Donner la décomposition en facteurs premiers de 2008.

2. Déterminer, en expliquant laméthode choisie, la plus petite valeur de l’entier naturel k pour laquelle k6 est un multiple de 2008.

3. Pour quelles valeurs des entiers n et k le point An appartient-il à la demi

droite [

O ; −→ u

)

avec pour abscisse un nombre entier multiple de 2008 ?

Métropole & La Réunion 4 septembre 2008

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