Exercitation de géométrie 11, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Exercitation de géométrie 11 sur le plan affine euclidien. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer l’ensemble E des points de D, Déterminer le sous-ensemble F des points de E.
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[ Baccalauréat C Bordeaux juin 1981\

EXERCICE 1 3 POINTS

Soit P un plan affine euclidien rapporté au repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

. Soit D la

droite de P d’équation : 2x−3y +1 = 0.

1. Déterminer l’ensemble E des points de D dont les coordonnées sont des en- tiers relatifs.

2. Déterminer le sous-ensemble F des points de E dont le carré de la distance au point O est multiple de 5.

Préciser les points deF dont les coordonnées sont strictement comprises entre −20 et +20.

EXERCICE 2 3 POINTS

Soit C le corps des nombres complexes et i un nombre complexe tel que i2 =−1.

1. Calculer

(

1

2 i p 3

)4

.

2. Déterminer les nombres réels a, b tels que

(a+ ib)4 = 73

16 − (

11

2

p 3

)

i.

PROBLÈME 14 POINTS

Partie A

Soit a un nombre réel strictement positif et n un entier naturel n> 1 ; on appelle fn

la fonction numérique définie sur l’intervalle réel

[

− 1

a ; 1

a

]

par

fn(x)= (

1−a2x2 ) n 2 .

Soit Γn la courbe représentative de fn dans un plan affine euclidien P rapporté à un

repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

1. Déterminer les coniques C1 et C2 contenant respectivement Γ1 et Γ2.

Préciser la nature de ces coniques. Indiquer leurs foyers et les directrices as- sociées (discuter selon les valeurs de a).

2. Étudier les variations de f3.

Tracer Γ1, Γ2, Γ3 dans un même repère en prenant a = 2. (On ordonnera les réels f1(x), f2(x) et f3(x) pour le tracé de Γ1, Γ2, Γ3·

Partie B

1. Soit a un nombre réel appartenant à [0 ; π]. Calculer les coordonnées du point d’intersection de Γ1 avec la droite d’équation

(cosα)y a(sinα)x = 0 pour a 6= 0eta 6=π.

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

2. a. On désigne par l’ensemble des points M de P dont les coordonnées (x ; y) vérifient

− 1

a 6 x 6

1

a et

0 6 y 6 p 1−a2x2

On désigne par le demi-plan formé des points M dont les coordon- nées (x ; y) vérifient

(cosα)y a(sinα)x 6 0.

(étudier la position du point (1 ; 0) par rapport au demi-plan ).

Soit =. L’aire deest notée A (α).

Démontrer que pour tout a α ∈ [0, ; π] on a

A (α)=A (

π

2

)

+ cosαsinα

2a − ∫ cosα

a

0

1−a2x2)dx.

(

On distinguera pour cela trois cas :α= π

2 , α

[

0 ; π

2

[

, α ∈ ]

π

2 ; π

])

.

b. Démontrer que la fonction A : α 7−→ A (α) est dérivable sur l’intervalle [0 ; π], et définir la fonction dérivée A ′ de A sur cet intervalle.

En déduire que pour tout α ∈ [0 ; π] on a A (α)= α

2a .

Partie C

Soit Ta l’application affine de P dans P qui à tout point m de coordonnées (x ; y) associe le point M de coordonnées (X ; Y ) telles que

X = ax, Y = y.

Quelles sont les images de Γ1 etpar Ta ? Calculer l’aire de l’image depar Ta .

Partie D

On suppose dans la suite que α ∈ ]

0 ; π

2

]

. Soit un point mobile dans le plan P dont

les coordonnées à la date t (t ∈R) sont {

x(t) = cos(αcos2 t) y(t) = sin(αcos2 t).

Étudier les fonctions : t 7−→ x(t) et t 7−→ y(t). En déduire la trajectoire deM et décrire le mouvement deM (on ne cherchera pas à vérifier si le mouvement est accéléré ou retardé).

Bordeaux 2 juin 1981

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