Exercitation de géométrie 12, Exercices de Géométrie Algorithmique

Exercitation de géométrie 12, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Exercitation de géométrie 12 sur le repère orthonormé direct. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la propriété (E), la translation de vecteur.
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[ Baccalauréat C septembre 1981 Bordeaux 1 \

EXERCICE 1

SoitP unplan affine euclidienorientémuni d’un repère orthonormédirect (

O ; −→ e1 ,

−→ e2

)

.

À tout point P de P on associe son affixe complexe p. Soit 1, j et j2 les racines cubiques de l’unité où

j= cos 2π

3 + isin

2π

3 .

On se propose d’étudier la propriété (E) suivante relative à un triplet (A, B, C) de points de P : (E) : les affixes a, b et c des points A, B, C satisfont :

a+b +c 2 = 0.

1. Soit T−→ v une translation de vecteur

−→ v définie dans P .

Montrer que si le triplet (A, B, C) a la propriété (E), il en est de même de (

T−→ v (A), T−→

v (B), T−→

v (C)

)

.

2. Soit un triangle équilatéral dont les sommets A, B et C sont disposés de sorte

qu’une mesure de l’angle (−−→ AB ,

−−→ AC

)

soit π

3 .

Montrer que (A, B, C) a la propriété (E).

3. Caractériser géométriquement la propriété (E).

EXERCICE 2

L’espace affine euclidien orienté de dimension 3 est rapporté à un repère ortho-

normé direct (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

. On considère l’application affine f qui, à tout point M

de coordonnées (x ; y ; z), associe le point M ′ de coordonnées (

x′ ; y ′ ; z ′ )

tel que

2x′ = x+ y z p 2+2

2y ′ = x+ y + z p 2+2

2z ′ = (xy) p 2.

1. Démontrer que f est un vissage.

2. Déterminer les éléments caractéristiques de f .

PROBLÈME

Soit P un plan affine euclidien muni d’un repère orthonormé (

O ; −→ e1 ,

−→ e2

)

.

Partie A

Soit f la fonction numérique définie sur [0 ; 1] par

f (x)= x−2x p 2+1.

On appelle (C ) la courbe représentative de f dans le repère (

O ; −→ e1 ,

−→ e2

)

.

1. Étudier les variations de la fonction f .

1. Caen, Clermont-Ferrand, Nantes, Poitiers, Rennes

Terminale C A. P. M. E. P.

2. Démontrer que, pour tout x appartenant à l’intervalle [0 ; 1], ( f f )(x)= x.

Que peut-on en déduire pour la courbe (C ) ?

3. Construire la courbe (C ) dans le repère (

O ; −→ e1 ,

−→ e2

)

. (On prendra pour unité

de longueur : 10 cm, et on déterminera les demi-tangentes à la courbe (C ) aux points d’abscisses 0 et 1).

4. Calculer l’aire du domaine plan limité par les axes de coordonnées et par la courbe (C ).

Partie B

Soit, dans le plan P, les points A1 de coordonnées

(

0 ; 1

2 +λ

)

et B1 de coordonnées (

0 ; 1

2 −λ

)

λ est un paramètre réel de l’intervalle

[

− 1

2 ; 1

2

]

.

On note la droite déterminée par les points A1 et B1.

1. Déterminer une équation desous la forme

a(λ)x+b(λ)y +c(λ)= 0

a, b et c sont trois fonctions dérivables de la variable λ que l’on détermi- nera.

2. Soit D λ la droite d’équation

a′(λ)x+b′(λ)y +c ′(λ)= 0

a′, b′ et c ′ désignent les fonctions dérivées respectives de a, b et c.

Vérifier que, pour toute valeur de λ dans l’intervalle

[

− 1

2 ; 1

2

]

et D λ sont

sécantes en un point . Démontrer que les coordonnées (

; )

de sont

=

(

1

2 +λ

)2

et =

(

1

2 −λ

)2

.

3. Démontrer que, lorsque λ décrit l’intervalle

[

− 1

2 ; 1

2

]

le point décrit la

courbe (C ) définie dans la partie A.

4. Démontrer que, pour tout λ appartenant à l’intervalle

[

− 1

2 ; 1

2

]

la droite

est tangente enà la courbe (C ).

Partie C

À tout point M du plan P, de coordonnées (x ; y), on associe son affixe z = x+ iy . On appelle (Γ) l’ensemble des points M du plan P dont l’affixe z satisfait la relation (1)

(1)

z+ iz

2

=

z− 1

2 (1+ i)

1. Démontrer que (Γ) admet pour équation dans le repère (

O ; −→ e1 ,

−→ e2

)

.

x2+ y2−2xy −2x−2y +1 = 0.

2. Démontrer que la courbe (C ), définie dans la partie A, est incluse dans la courbe (Γ).

Bordeaux 2 septembre 1981

Terminale C A. P. M. E. P.

3. Dans cette question le plan P est supposé orienté. (

O ; −→ e1 ,

−→ e2

)

est un repère orthonormé direct.

Soit r la rotation vectorielle dont une mesure de l’angle est π

4 .

Soit −→ e ′1 = r

(−→ e1

)

, −→ e ′2 = r

(−→ e2

)

.

a. Déterminer une équation de (Γ) dans le repère (

O ; −→ e ′1 ,

−→ e ′2

)

.

b. Quelle est la nature de (Γ) ? Quels sont ses éléments caractéristiques ?

c. Que signifie géométriquement la relation (1) ?

Bordeaux 3 septembre 1981

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