Exercitation de géométrie 2, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Exercitation de géométrie 2 sur l’ensemble des nombres premiers. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Montrer que X possède au moins un facteur premier de la forme en question, Montrer la suite u est croissan...
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[ Baccalauréat C groupe 4 1 juin 1981 \

EXERCICE 1

Le but de cet exercice est de démontrer par l’absurde qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n − 1, où n est un élément de N∗ (ensemble des entiers naturels non nuls.

1. Soit E l’ensemble des nombres premiers de la forme 4n−1, où n est élément deN∗.

Montrer que E a aumoins deux éléments.

2. On suppose E fini. Soit P le produit de tous les éléments de E et X = 4P −1.

a. Trouver un minorant de X .

b. Montrer que X n’est pas divisible par 2, et en déduire que tout facteur premier de X est soit de la forme 4n+1, soit de la forme 4n−1 où n est un élément deN∗.

c. Montrer que X possède au moins un facteur premier de la forme 4n−1 où n est un élément deN∗.

3. En considérant un facteur premier p de X de la forme 4n−1, la définition de P et la relation X = 4P −1, achever la démonstration par l’absurde.

EXERCICE 2

Dans un plan affine P rapporté au repère cartésien (

O, −→ ı ,

−→

)

, soit A et B les points

de coordonnées respectives (−1 ; 0) et (0 ; 1), et soit t un nombre réel non nul. On désigne par f , g , h les homothéties de rapport t et de centres respectifs O, A, B. À tout point M du plan P, on fait correspondre successivement les points : M1 = f (M), M2 = g (M1) , M3 = h (M2) etM4 = f (M3).

1. Représenter sur unmême figure les points M1,M2,M3,M4 dans le cas où t = 2

et −−−→ OM =

−→ ı +

−→ . (On pourra donner aux représentations de

−→ ı et

−→ la longueur

0,5 cm).

2. Exprimer le vecteur −−−→ OM4 en fonction de t et des vecteurs

−→ ı et

−→ .

3. Soit ϕt l’application du plan P dans lui-même définie par :

pour tout point M de P, ϕt (M)= f h g f (M).

Déterminer suivant les valeurs de t l’ensemble des points de P invariants par ϕt et préciser dans chaque cas la nature de ϕt .

PROBLÈME

On noteraN l’ensemble des entiers naturels,N∗ l’ensemble des entiers naturels non nuls, N′ l’ensemble des entiers naturels privés des nombres 0 et 1.

Partie A

On considère les suites u et v définies sur N∗ par

u1 = 1

v1 = 1 et, pour tout n,élément deN′

un = 1

12 +

1

22 +·· ·+

1

n2

vn = 1+ 1

1×2 +

1

2×3 +·· ·+

1

(n−1)n

1. Aix-Marseille - Nice - Corse - Montpellier - Toulouse

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

1. Trouver deux réels A et B tels que, pour tout n, élément deN′

1

(n−1)n =

A

n−1 +

B

n .

En déduire que, pour tout n, élément deN′,

vn = 2− 1

n .

2. Montrer que la suiteu est croissante, que, pour toutn, élément deN′ :un 6 vn , que la suite u est majorée.

Partie B

On rappelle que si q est un nombre complexe différent de 1 et n un élément deN

1+q +q2+·· ·+qn = 1−qn+1

1−q .

1. Soit t un élément de [0 ; π] ; on pose pour n, élément de N′

Cn (t)= n

k=1 coskt et Sn(t)=

n

k=1 sinkt .

a. Calculer le nombre complexe Cn (t)+ iSn(t).

En déduire que si t est un élément de ]0 ; π]

Cn(t)= sin

nt

2 cos

n+1

2 t

sin t

2

et si t = 0, Cn(0)=n.

b. L’application Cn de [0 ; π] dansN est-elle continue sur [0 ; π].

2. Vérifier que pour tout t , élément de ]0 ; π] :

1+2Cn (t)= sin

2n+1

2 t

sin t

2

et montrer que l’application de ]0 ; π] dans R qui à t associe sin

2n+1

2 t

sin t

2

peut

être prolongée en une fonction gn continue sur [0 ; π].

3. Montrer que pour tout n, élément deN∗,

π

0

(

t2

2π t

)

cosnt dt = 1

n2 .

En déduire que

un =

π

0

(

t2

2π t

)

Cn(t)dt .

Aix-Marseille 2 juin 1981

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

4. Vérifier que

1

2

π

0

(

t t2

2π

)

dt = π 2

6 .

et que, pour tout n, élément deN∗ :

π 2

6 −un =

1

2

π

0

(

t t2

2π

)

gn(t)dt .

Partie C

On considère la fonction numérique f définie sur [0 ; π] par f (0)= 2 et pour tout t , élément de ]0 ; π]

f (t)= t

t2

2π

sin t

2

.

1. Montrer que f est continue sur [0 ; π] ; en déduire l’existence d’un réel M tel que, pour tout t , élément de [0 ; π] :

06 f (t)6M .

2. Soit α un réel fixé tel que 0<α<π.

a. Montrer que, pour tout n, élément deN,

α

0 f (t)sin

2n+1

2 t dt

6αM .

b. Montrer que f est dérivable sur [α ; π] et que la fonction dérivée f ′ est continue sur ce segment.

En déduire l’existence d’un réelM ′ tel que, pour tout t , élément de [α ; π] f ′(t)6M ′.

c. On pose, pour tout n, élément deN,

In =

π

α

f (t)sin 2n+1

2 t dt .

Montrer en utilisant une intégration par parties, que

lim n→+∞

In = 0.

3. Déduire de la question C 2. que

lim n→+∞

un = π 2

6 .

Aix-Marseille 3 juin 1981

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