Exercitation de géométrie 4, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Exercitation de géométrie 4 sur la racine. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la racine imaginaire pure, les éléments caractéristiques.
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[ Baccalauréat C Amérique du Nord juin 1981 \

EXERCICE 1

1. Résoudre dans C l’équation

z2−4(3+2i)z +3(5+12i)= 0.

On notera zA la racine ayant le plus petit module et zB l’autre.

Résoudre dans C l’équation

2z2− (6+19i)z −35+15i = 0.

On notera zC la racine imaginaire pure et zD l’autre.

2. Si A, B, C et D sont les images respectives de zA, zB, zC et zD dans le plan com- plexe, montrer qu’il existe une similitude plane inverse s telle que s(A) = C et s(B) = D. En donner les éléments caractéristiques.

EXERCICE 2

Trois entiers naturels a, b, c s’écrivent dans un système de base inconnue n, respec- tivement 7, 238, 1 541.

1. Déterminer n pour que c = ab, sachant que n est premier.

2. Écrire les nombres dans le système décimal.

Résoudre dans Z2 l’équation ax +by = 1.

PROBLÈME

Partie A

On considère la fonction

f : R⋆ → R

x 7−→ 1

2

(

x + 4

x

)

1. Étudier cette fonction.

Construire soigneusement sa courbe représentative (H) dans un repère ortho- normé. (Unité : 2 cm sur chaque axe.)

2. x0 étant un réel strictement positif, calculer l’aire de la surface limitée par la droite d’équation x = 2, la droite d’équation x = x0, la courbe (H) et son asymptote oblique.

Cette aire admet-elle une limite quand x0 tend vers 0, vers +∞ ?

3. Montrer que f définit une bijection de ]0 ; 2] sur [2 ; +∞[ et déterminer sa bijection réciproque g .

4. Construire la courbe représentative de g dans le même repère que la courbe (H) et en déduire

∫4

2 g (x)dx.

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

Partie A

On considère le mouvement plan défini dans le repère ci-dessus par

{

x = 2t y = 2t−1+21−t , t > 0

1. Déterminer la trajectoire.

2. Donner les coordonnées du vecteur vitesse et du vecteur accélération.

3. Déterminer la position initiale du mobile (c’est-à-dire à l’instant t = 0), son vecteur vitesse initiale et son vecteur accélération initiale.

4. Indiquer sur quelle partie de la trajectoire le mouvement est accéléré, retardé.

Partie C

1. Montrer que la courbe (H), rapportée à ses asymptotes, a une équation de la forme X Y = k.

En déduire les équations, dans le repère initial, des axes de symétrie de la courbe (H). Vérifier qu’ils sont orthogonaux.

2. La courbe (H) étant rapportée à ses axes de symétrie, en déterminer une équa- tion.

Partie D

On considère la suite (un )n∈N de terme général

un+1 = 1

2

(

un + 4

un

)

.

si n > 1 et de premier terme u1 = 1

2 .

1. Montrer que tous les termesde la suite sont biendéfinis et strictement positifs.

2. On pose vn = −2+un 2+un

pour tout n supérieur ou égal à 1.

Calculer vn en fonction de vn−1 puis de v1.

En déduire la limite de vn quand n tend vers +∞ puis celle de un quand n tend vers +∞.

3. Redessiner la branche de la courbe (H) correspondant à x > 0 et la droite d’équation y = x.

Placer les points M1 (u1, u2) , M2 (u2, u3) et M3 (u3, u4).

4. D’une manière plus générale on considère la suite définie par

wn+1 = 1

2

(

wn + a2

wn

)

.

avec a strictement positif et w1 > a.

Montrer par récurrence que wn 6 wn−1 et a 6 wn .

Établir la convergence de la suite wn et calculer sa limite.

N.B. - Les parties A, C et D sont indépendantes les unes des autres.

Amérique du Nord 2 juin 1981

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