Exercitation de géométrie 5, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Exercitation de géométrie 5 sur l’algorithme d’Euclide. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le plan affine euclidien rapporté au repère, la rotation de centre.
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[ Baccalauréat C groupe 2 1 juin 1981 \

EXERCICE 1 4 POINTS

1. En utilisant l’algorithme d’Euclide :

a. Montrer que 1981 et 1815 sont premiers entre eux.

b. Déterminer deux entiers relatifs a et b tels que 1981a+1815b = 1. 2. En déduire que dans Z/1981Z, 1815 admet un inverse que l’on déterminera.

3. Résoudre alors dans Z/1981Z l’équation 1815x+1515 = 732. N.B.- n désigne la classe de l’entier n dans l’ensemble Z/1981Z.

EXERCICE 2 4 POINTS

Soit P un plan affine euclidien rapporté au repère (

O, −→ ı ,

−→

)

orthonormé direct.

Soit f l’application de P dans P qui à tout point M de coordonnées (x ; y) dans le

repère (

O, −→ ı ,

−→

)

, associe la point M ′ de coordonnées (

x′ ; y ′ )

tel que

x′ = 1

2 x+

p 3

2 y

y ′ = p 3

2 x+

1

2 y

1. a. Montrer que f est bijective et déterminer l’ensemble des points inva- riants par f .

b. Déterminer l’ensemble des points M de P tels que O, M , M ′ soient ali- gnés.

2. On désigne par M1 et M2 les projections orthogonales du point M respective-

ment sur les droites (

O, −→ ı )

et (

O, −→

)

. Montrer queM ′ est le transformé deM1 dans une rotation de centreM2 dont on déterminera une mesure de l’angle.

PROBLÈME 12 POINTS

Partie A

Pour tout entier naturel n, non nul, on considère la fonction fn définie sur [0 ; +∞[ par

fn (x)= {

xn logx si x > 0 0 si x = 0.

1. Étudier les fonctions f1 et f2 et construire leur représentation graphique res-

pective (C1) et (C2) dans un repère orthonormé du plan (

O, −→ ı ,

−→

)

(on pren-

dra 4 cm pour unité de longueur). Préciser la position relative de (C1) et (C2).

2. Prouver que, pour tout n, fn est intégrable sur [0 ; 1]. On définit, alors, la suite (un )n∈N⋆ par

n ∈N⋆, un = ∫1

0 fn (x)dx.

3. a. À l’aide d’une intégration par parties, déterminer une primitive de fn sur ]0 ; 1].

1. Amiens

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

b. En déduire une primitive de fn sur [0 ; 1].

c. Montrer que un =− 1

(n+1)2 et déterminer lim

n→+∞ un .

d. Soit D le sous-ensemble du plan constitué des points M dont les coor-

données (x ; y) dans (

O, −→ ı ,

−→

)

vérifient 06 x 6 1 et f1(x)6 y 6 f2(x).

Calculer, en centimètres carrés, l’aire de D.

Partie B

Soit g la fonction, définie sur [0 ; +∞[ par

g (x)=

x logx

x2+1 si x > 0

0 si x = 0.

1. Montrer que g est intégrable sur [0 ; 1].

2. Soit x un réel quelconque.

a. Calculer pour tout n deN la somme

xx3+ x5− x7+·· · + (−1)n × x2n+1.

b. En déduire que

n ∈N, x

1+ x2 = xx3+·· ·+ (−1)n × x2n+1+ (−1)n+1

x2n+3

1+ x2 .

3. En déduire que

n ∈N, ∫1

0 g (x)dx =u1−u3+·· ·+ (−1)nu2n+1+ (−1)n+1

∫1

0

f2n+3(x)

1+ x2 dx.

4. On pose pour tout n deN,

Sn =u1−u3+·· ·+ (−1)nu2n+1.

a. Prouver que ∀n ∈N ∣

∫1

0 g (x)dxSn

6−u2n+3.

b. En déduire que lim n→+∞

Sn = ∫1

0 g (x)dx.

c. Déterminer un entier n0 tel que

∫1

0 g (x)dxSn0

6 10−2.

En déduire une valeur approchée à 10−2 près de ∫1

0 g (x)dx.

Partie C

SoitG la fonction définie sur [0 ; +∞[ par

G(x)= ∫x

0 g (t)dt .

1. Étudier la dérivabilité deG et son sens de variation.

2. a. Montrer que ∀t ∈R, t > 1, 1

2t2 6

1

t2+1 6

1

t2 .

Aix-Marseille 2 juin 1981

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

b. En déduire que

x ∈R, x > 1, 1

2

x

1

log t

t dt 6G(x)6

x

1

log t

t dt .

c. Calculer pour tout x > 1, ∫x

1

log t

t dt .

d. Déduire de ce qui précède lim x→+∞

G(x) et lim x→+∞

G(x)

x . (On pourra poser

X = p x.)

3. Donner l’allure de la courbe représentative deG. Préciser la tangente au point d’abscisse 1 et la nature de la branche infinie.

La courbe a-t-elle une tangente au point d’abscisse 0 ?

N. B.- Pour obtenir une valeur approchée deG(0) on utilisera B 4. c.

Pour obtenir une valeur approchée deG(2) on utilisera l’encadrement obtenu au C 2.

Aix-Marseille 3 juin 1981

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