Exercitation de mathématique 12, Exercices de Mathématiques Appliquées

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Exercitation de mathématique sur le nombre réel. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Quelles sont les probabilités respectives de ces événements ? Démontrer que si a et b sont deux nombres réels.
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[ Baccalauréat C Montpellier juin 1978 \

EXERCICE 1 5 POINTS

P est un plan affine rapporté à un repère (

O, −→ ı ,

−→

)

. Soit a un nombre réel.

On considère l’application affine notée fa définie par :

fa : P P M(x ; y) 7−→ M

(

x′ ; y ′ ) avec

{

x′ = ax+a−1 y ′ = (3a−1)x+ (1−2a)y +2.

1. Montrer qu’il existe une valeur de a pour laquelle fa est une homothétie dont on déterminera le centre et le rapport.

2. Existe-t-il a tel que fa soit involutive ?Montrer qu’alors faest une symétrie que l’on précisera ?

3. Déterminer avec précision l’ensemble fa (P ) suivant les valeurs de a.

On suppose a = 0. soit t la translation de vecteur 3 −→ . Montrer qu’il existe une

projection p que l’on déterminera telle que :

f0 = t p = p t .

EXERCICE 2 3 POINTS

Dans un jeu de hasard, un joueur a misé 1 F sur le numéro 5. Le jeu consiste à jeter deux dés parfaits. Si le numéro 5 est obtenu sur chacun des deux dés, le joueur reçoit 4 F. S’il est obtenu sur un seul dé, le joueur reçoit 3 F. S’il n’est obtenu sur aucun dé, le joueur perd sa mise.

1. Quelles sont les probabilités respectives de ces événements ?

2. Le gain du joueur (somme reçue diminuée de la mise) est une variable aléa- toire. Quelle est son espérance mathématique ?

PROBLÈME 3 POINTS

Partie A

Soit la fonction :

ϕ : R → R

x 7−→ e2x −1

e2x +1 .

1. Démontrer que ϕ est impaire. Étudier les variations de la fonction ϕ et tracer sa courbe représentative.

2. On désigne par I l’intervalle ]−1 ; 1[. Montrer que ϕ est une bijection de R sur I. Déterminer l’application réciproque ϕ−1.

3. Démontrer que si a et b sont deux nombres réels, alors :

ϕ(a+b)= ϕ(a)+ϕ(b)

1+ϕ(a)ϕ(b) .

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

4. En déduire que si α et β appartiennent à l’intervalle I, alors :

α+β

1+αβ ∈ I.

Partie B

Dans l’ensemble des nombres complexes, on considère le sous-ensemble

D = {z ∈C| |z| < 1}.

Soit α un réel appartenant à I.

1. En supposant z D, comparer |zα| et |1−αz|.

En déduire que si z appartient àD, alors zα

1−αz est défini et appartient à D.

2. Pour tout α de I, on a ainsi défini une application :

: D D

z 7−→ zα

1−αz .

Montrer que est une bijection de déterminer la bijection réciproque.

3. On pose : F = { | α ∈ I}.

Montrer que la composition des applications (notée ◦) est une loi de compo- sition interne dans F .

Montrer que l’application :

h : R → R a 7−→ fϕa

(ϕ désignant l’application définie au A) est un isomorphisme de (R, +) sur (F, ◦).

Montrer que cet isomorphisme permet de retrouver les propriétés de .

Montpellier 2 juin 1978

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