Exercitation de mathématique 13, Exercices de Mathématiques Appliquées

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Exercitation de mathématique sur le reste de la division euclidienne. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'espace affine euclidien, Le plan affine euclidien.
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[ Baccalauréat C Montréal juin 1978 \

EXERCICE 1 4 POINTS

1. Quel est le reste de la division euclidienne de 3670 par 11 ?

2. Quel est le reste de la division euclidienne de 3670 par 61 ?

3. Quel est le reste de la division euclidienne de 3671 par 671 ?

EXERCICE 2 4 POINTS

Dans un espace affine euclidien rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

on

considère l’application f , qui, à un point M de coordonnées (x ; y ; z) fait corres- pondre le point M1 de coordonnées

(

x1 ; y1 ; z1 )

où :

x1 = 1

3 (−2x−2y + z+2)

y1 = 1

3 (−2x+ y −2z+3)

z1 = 1

3 (x−2y −2z+4)

Montrer que f est la symétrie orthogonale par rapport à une droite que l’on déter- minera. vspace0,5cm PROBLÈME 12 POINTS

Leplan affine euclidienorienté (P) est rapporté à un repère orthonormédirect (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Partie A

1. a. Soit A le point d’affixe (3+ i) et B le point d’affixe 6. Pour tout réel u, on considère les deux points Mu d’affixe 3− sinu+ icosu et Nu d’affixe 3(1+cosu)+3i sinu. Montrer qu’il existe une unique similitude directe Tu telle que

Tu(A)=Mu et Tu(B)=Nu .

b. Déterminer les éléments géométriques de Tu .

c. Soit E = {

Tu, u ∈R }

.

Démontrer que (E , ◦) est un groupe commutatif. 2. On pose B0 = B, B1 = T π

2 (B), B2 = T π

22 ,

et ∀n ∈N⋆, Bn = T π 2n

(Bn−1).

Calculer en fonction de n les coordonnées de Bn .

Quelle est la position limite du point Bn quand n tend vers +∞ ?

Partie B

Soit (C ) le sous-ensemble de (P) d’équation

(y −8y +15)ey−3+3− x = 0

et soit (C1) l’image de (C ) par T π 2 .

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

1. Montrer que (C1) a pour équation

y = (

x2+2x )

e−x

2. Soit f la fonction définie pour tout x réel par

f (x)= (

x2+2x )

e−x

a. Étudier le comportement de x2e−x quand x tend vers +∞ (on pourra utiliser Log

(

x2e−x )

).

b. Étudier la fonction f .

Construire (C1) dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

. On donne exp (p

2 )

≈ 4,1. En déduire la construction de (C ) dans le même repère.

3. a. Calculer ∫x

0

(

t2+2t )

e−t dt .

b. Soit m un nombre réel positif. Calculer l’aire de la portion de plan com- prise entre (C) et les droites d’équation x = 3, y = 5, y = 3−m en intégrant par parties.

Cette aire a-t-elle une limite quandm tend vers +∞ ?

Montréal 2 juin 1978

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