Exercitation de mathématique 4, Exercices de Mathématiques Appliquées

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Exercitation de mathématique sur le système décimal. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’application de R dans E, l’application de R dans R, En déduire que f est différentiable.
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[ Baccalauréat C Liban juin 1978 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Dans cet exercice, pour noter les entiers, on utilise le système décimal. Soit E le sous- ensemble deN constitué des entiers n qui possède les propriétés suivantes : ⊲ 4 divise n n admet au moins dix diviseurs appartenant à N et il existe un entier premier p tel que n = 37p +1.

1. Quel est le plus petit élément de E ?

2. Existe-t-il un élément n, de E, vérifiant 26800 < n < 27800 ?

EXERCICE 2 4 POINTS

Soit E un plan vectoriel euclidien rapporté à une base (

−→ a ,

−→ b

)

. (Le produit scalaire

des vecteurs −→ x et

−→ y de E est noté

−→ x ·

−→ y ).

Soit ϕ l’application de R dans E, telle que

x ∈R, ϕ(t)= cos t −→ a + sin t

−→ b

et ϕ′ sa dérivée.

1. Montrer que ∀α ∈R, ϕ(α) et ϕ′(α) constituent une base de E.

2. Pour tout réel t , décomposer ϕ(t) dans une telle base.

3. Étudier l’ensemble des réels u tels que ϕ(u) ·ϕ′(u)= 0.

PROBLÈME 12 POINTS

1. Soit f l’application de R dans R telle que

x ∈R, f (x)= ∫ π

4

0 e−

x

cos2 t dt .

Montrer que, ∀x > 0, f (x)6 e−x .

Quelle est la limite de f quand x tend vers +∞.

2. a. Montrer que, pour tout réel b strictement positif,

x ∈R, x 6 b ⇒ ex −1− x 6 1

2 eb x2

et x >−b ⇒ ex −1− x > 1

2 e−b x2.

b. Montrer que, pour tout réel a, il existe une application ϕa , de R dans R, continue en a, telle que ϕa(a)= 0 et

x ∈R, f (x)− f (a)= (x a)

(

π

4

0

e− a

cos2 t

cos2 t dt +ϕa(x)

)

.

En déduire que f est différentiable.

Préciser la dérivée f ′ de f .

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

3. Soit P une primitive (sur R) de f de l’application u 7−→ e−u 2 .

Á tout réel x, on associe l’application Qx , de I = ]

π

2 ; π

2

[

dans R, telle que

x ∈R, Qx (t)= P (x tan t).

Montrer que Qx est dérivable sur I ; expliciter sa dérivée.

Prouver que :

x ∈R, ∫x

0 e−u

2 du = x

π

4

0

e−x 2 tan2 t

cos2 t dt .

4. Soit g l’application de R dans R telle que

x ∈R, g (x)= f (

x2 )

.

Soit g ′ sa dérivée.

Montrer que ∀x ∈R, g ′(x)=−2e−x 2 ∫x

0 e −t2 dt .

Que peut-on dire de la fonction h telle que :

x ∈R∀x ∈Rx ∈R,h(x)= g (x)+

( ∫x

0 e−t

2 dt

)2

?

Quelle est la limite de ∫x

0 e−t

2 dt quand x tend vers +∞ ?

Liban 2 juin 1978

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