Exercitation de mathématique 9, Exercices de Mathématiques Appliquées

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Exercitation de mathématique sur l’équation. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer les solutions, l’affinité orthogonale de rapport.
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[ Baccalauréat C Lyon juin 1978 \

EXERCICE 1 3 POINTS

1. Résoudre dans Z×Z l’équation

13x−84y = 7

2. Déterminer les solutions (x ; y) de cette équation telles que x et y soient pre- miers entre eux (on pourramontrer que si (x ; y) est une solution de l’équation le PGCD de x et y est 1 ou 7).

EXERCICE 2 5 POINTS

Dansunplan affine euclidienP on considère trois points A, B etC tels que ( A,

−−→ AB ,

−−→ AC

)

soit un repère orthonormé direct. Soit t un nombre réel quelconque ; on désigne par It le barycentre des points A, B, C affectés respectivement des coefficients 2t2− t , t , 1− t2. L’objet de cet exercice est de déterminer l’ensemble E des barycentres It lorsque t décrit R. On désigne par f l’affinité orthogonale de rapport 2 et dont l’axe contient les points A et C.

1. Montrer que l’image f (E) de l’ensemble E par l’application f est inclus dans un cercle (Γ) de centre A dont on précisera le rayon.

2. Soit D le point symétrique du point C par rapport à A. On désigne par (Γ) {D} l’ensemble des points du cercle (Γ) qui sont distincts du point D ; montrer que l’on a f (E )= (Γ)− {D}.

3. En déduire la nature de l’ensemble E et le représenter graphiquement (on prendra 8 cm pour unité de longueur).

On rappelle que l’affinité orthogonale d’axe D et de rapport k ∈ R est la trans- formation qui associe à chaque point M du plan, le point M ′ tel que −−−→ HM ′ = k

−−−→ HM H désigne l’image deM par la projection orthogonale sur la

droiteD.

PROBLÈME 11 POINTS

Pour tout nombre réel λ 6= 0 on désigne par la fonction de l’ensemble C des nombres complexes dans lui-mêmequi associe à tout nombre complexe z le nombre complexe Z = (z) satisfaisant à l’équation :

Z − iλ= i

λ (z− iλ).

Dans un plan affine euclidien orienté P rapporté à un repère orthonormé direct( O,

−→ ı ,

−→

) on note l’application affine qui associe à tout point m d’affixe z le

point M d’affixe Z = (z).

Partie A

1. a. Montrer que est une bijection et déterminer l’application réciproque F−1 λ

.

b. Montrer que admet un unique point invariant . Calculer ses coor- données.

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

2. a. Pour m 6= , exprimer en fonction de λ le rapport SλM

Sλm , ainsi que la

mesure de l’angle á(−−−→

Sλm , −−−→ SλM

) .

b. En déduire la nature de l’application et préciser ses éléments caracté- ristiques. Pour quelle valeur de λ l’application est-elle une rotation ?

Partie B

1. Pour tout pointm de coordonnées (x ; y) on note par (X ; Y ) les coordonnées du point M = (m).

a. Calculer X et Y en fonction de x et y .

b. Soit A le point de P de coordonnées (1 ; 1) ; donner une équation de l’en- semble des points de la forme (A) lorsque λ décrit R.

2. a. Étudier la fonction numérique

x 7−→ 1− x+ 1

1− x .

et construire sa courbe représentative (Γ) dans le repère donné. Préciser ses asymptotes et son centre de symétrieΩ.

b. Soit a un nombre réel, a > 2 ; calculer l’aire arithmétique de la partie du plan limitée par la courbe (Γ), son asymptote oblique et les droites d’équation x = 2 et x = a. Quelle est la limite de cette aire lorsque a tend vers +∞ ?

c. Établir une équation de la courbe (Γ) dans un repère ( Ω,

−→ I ,

−→ J

) , −→ I et

−→ J étant des vecteurs convenablement choisis dirigeant respectivement chacune des deux asymptotes de (Γ).

En déduire la nature de la courbe (Γ).

Partie C

1. Soit ϕ l’application qui à tout nombre réel λ 6= 0 associe le point (A) de P. Montrer que ϕ est une bijection de R⋆ sur (Γ).

2. Pour tout couple (λ1 ; λ2) de nombres réels non nuls on désigne par

M1 = ϕ (λ1) , M2 = ϕ (λ2) leurs images respectives et par M1 ⋆M2 = ϕ (λ1λ2) l’image par ϕ du produit λ1λ2.

Montrer que (Γ, ⋆) est un groupe commutatif.

On notera E son élément neutre.

3. Dans cette question, on note par M3 le point M1⋆M2.

a. On suppose les points M1 etM2 distincts.

Montrer que les vecteurs −−−→ EM3 et

−−−−−→ M1M2 sont colinéaires.

b. Onsuppose les pointsM1 etM2 confondus.Montrer que le vecteur −−−→ EM3 ,lorsqu’il

n’est pas nul, dirige la tangente à Γ au point M1.

c. Endéduire une construction géométriquedeM3 à partir deM1 etM2. On justifiera à l’aide d’une équation de (Γ) que l’intersection de la courbe (Γ) avec une droite quelconque ∆ se compose de deux points au plus.

Lyon 2 juin 1978

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