Exercitation de modélisation mathématique 3, Exercices de Modélisation mathématique et simulation
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Exercitation de modélisation mathématique 3, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercitation de modélisation mathématique 3. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Résoudre l’équation, Exprimer les affixes Z, Étude d’une fonction auxiliaire.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Antilles-Guyane septembre 1998 \

Exercice 1 4 points Enseignement obligatoire

Unmeuble est composé de 10 tiroirs T1, T2, . . . , T10. Une personne place au hasard une boule dans un des tiroirs et une autre est chargée de trouver le tiroir contenant la boule à l’aide de la stratégie suivante : la personne ouvre le tiroir T1. Si la boule est dans le tiroir T1, la recherche est achevée, sinon la personne ouvre le tiroir T2, et ainsi de suite . . . en respectant l’ordre des numéros de tiroirs. On remarquera qu’avec cette stratégie, le tiroir T10 n’est jamais ouvert. Pour i entier compris entre 1 et 10 (16 i 6 10), on appelle Bi l’évènement « La boule se trouve dans le tiroir Ti ». On note X la variable aléatoire égale au nombre de tiroirs qui ont été ouverts afin de localiser la boule avec cette stratégie.

1. Donner l’ensemble des valeurs possibles de X .

2. a. Montrer que, pour i entier compris entre 1 et 8 (16 i 6 8), l’évènement (X = i ) est l’évènement Bi .

b. Justifier que l’évènement (X = 9) est la réunion des évènements B9 et B10.

c. Déterminer la loi de probabilité de X .

d. Calculer l’espérance mathématique de X .

Exercice 2 5 points Enseignement obligatoire

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

.

On placera sur une même figure, qui sera complétée au fur et à mesure, les points introduits dans le texte (unité graphique : 2 cm.)

1. a. Résoudre l’équation

(E) : z2−2z p 3+4= 0.

b. On considère les nombres complexes z1 = p 3+ i et z2 =

p 3− i et on dé-

signe par M et N les points d’affixes respectives z1 et z2. Déterminer le module et l’argument de z1 et z2 ; placer M et N sur la figure.

c. Déterminer les affixes des points Q et P images respectives deM et N par

la translation de vecteur −→ w =−2−→u . Placer P et Q sur la figure.

Montrer que MNPQ est un carré.

2. Soit R le symétrique de P par rapport à O, E l’image de P par la rotation de

centreOet d’angle π

2 , S l’imagedeEpar l’homothétie de centreOet de rapport

p 3.

Placer ces points sur la figure.

Calculer les affixes de R et de S. Montrer que S appartient au segment [MN].

3. On pose α= 2− p 3.

a. Montrer que 1+α2 = 4α et 1−α2 = 2α p 3.

b. Exprimer les affixes Z de −→ PR et Z ′ de

−→ PS en fonction de α.

A. P. M. E. P. A. P. M. E. P.

c. Montrer que |Z | = |Z ′| et que Z

Z ′ = ei

π

3 .

d. Déduire des questions précédentes la nature du triangle PRS.

Exercice 2 5 points Enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ u ,

−→ v

)

.

On placera sur une même figure, qui sera complétée au fur et à mesure les points introduits dans le texte (unité graphique : 2 cm.)

1. a. Résoudre l’équation (E) : z2−2z p 3+4= 0.

b. On considère les nombres complexes z1 = p 3 + i et z2 =

p 3 - i et on

désigne par M et N les points d’affixes respectives z1 et z2. Déterminer le module et l’argument de z1 et de z2 ; placer M et N sur la figure.

c. Déterminer les affixes des points Q et P images respectives deM et N par

la translation de vecteur −→ w = −2−→u . Placer P et Q sur la figure. Montrer

que MNPQ est un carré.

2. Soit R le symétrique de P par rapport à O, E l’image de P par la rotation de

centre O et d’angle π

2 , S l’image de E par l’homothétie de centre O et de rap-

port p 3.

Placer ces points sur la figure.

Calculer les affixes de R et de S. Montrer que S appartient au segment [MN].

3. On pose α= 2− p 3.

a. Montrer que 1+α2 = 4α et 1−α2 = 2α p 3.

b. Exprimer les affixes Z de −→ PR et Z ′ de

−→ PS en fonction de α.

c. Montrer que |Z | = |Z ′| et Z

Z ′ = ei

π

3 .

d. Déduire des questions précédentes la nature du triangle PRS.

Problème 11 points Commun à tous les candidats

Partie A Étude d’une fonction auxiliaire

La fonction d est définie sur ]−1 ; +∞[ par :

d(x)= e x

x+1 .

1. Calculer la fonction dérivée d ′. En déduire les variations de d .

2. Déterminer les limites de d en −1 et en +∞. 3. Montrer que, pour tout x >− 1, on a : 0< d(x)< e.

Partie B Étude de la fonction f

Dans cette partie on s’intéresse à la fonction f définie sur l’intervalle ]−1 ; +∞[ par :

f (x)= x +1−e x

x+1 .

On appelle (C ) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal, l’unité graphique étant 5 cm. On désigne par f ′ et f ′′ les dérivées première et seconde de f .

Antilles-Guyane 2 septembre 1998

A. P. M. E. P. A. P. M. E. P.

1. Démontrer que la droite (D) d’équation y = x−e+1 est asymptote à la courbe (C ).

Préciser la position relative de (D) et (C ).

2. a. Pour x ∈]−1 ; +∞[, calculer f ′(x) et f ′′(x).

Vérifier que f ′′(x)= 2x +1 (x +1)4

e x

x+1 .

En déduire le sens de variations de f ′.

b. Dresser le tableau de variations de f ′.

(On admettra que lim x→−1

f ′ = lim x→+∞

f ′ = 1.)

3. Démontrer que l’équation f ′(x)= 0 admet sur ]−1 ; +∞[ deux solutions dont l’une est 0.

Dans la suite du problème, on notera α la solution non nulle. Donner une valeur approchée de α au centième près.

4. a. Étudier les variations de f .

b. Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.

c. Dresser le tableau de variations de f

Partie C Prolongement de la fonction f en −1

On considère la fonction g définie sur ]−1 ; +∞[ par : {

g (− 1) = 0 g (x) = f (x) pour tout x >− 1.

On appelle (C ′) la courbe représentative de la fonction g dans le repère de la partie B.

1. a. Montrer que l’on peut écrire

g (x)− g (−1) x − (− 1)

= 1− 1

x

( x

x +1 e

x x+1

)

.

b. Pour x ∈]−1 ; +∞[, déterminer la limite lorsque x tend vers -1 de x

x +1 puis de

x

x +1 e

x x+1 .

c. Endéduire que g est dérivable en - 1 et préciser sonnombredérivé g ′(− 1). 2. Construire (D) et (C ′). Préciser les tangentes à (C ′) aux points d’abscisses

− 1, α, 0.

Antilles-Guyane 3 septembre 1998

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