Exercitation de modélisation mathématique 4, Exercices de Modélisation mathématique et simulation
Eusebe_S
Eusebe_S11 avril 2014

Exercitation de modélisation mathématique 4, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercitation de modélisation mathématique 4. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la représentation paramétrique, les coordonnées du point It .
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[ Baccalauréat C Asie juin 1998 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Le plan complexe P est rapporté à un repère direct (

O, −→ u ,

−→ v )

, ayant comme unité

graphique 3 cm. Les nombres complexes z1, z2, z3, z4, z5 et z6 que l’on va calculer dans cet exercice seront tous exprimés sous forme algébrique et sous forme expo- nentielle

(

ρeiθ )

.

1. Résoudre dans C l’équation : z2− z p 3+1= 0.

On pose z1 = p 3+ i 2

et z2 = p 3− i 2

. Exprimer z1 et z2 sous forme exponentielle

et placer les points M1 et M2 d’affixes respectives z1 et z2 dans le plan P .

2. Soit r la rotation de centre O et d’angle 2π

3 .

Calculer l’affixe z3 du point M3 = r (M2). Placer M3 sur la figure précédente.

3. Soit t la translation dont le vecteur ~w a pour affixe − p 3+ i 2

.

Calculer l’affixe z4 du point M4 = t(M2). Placer M4 sur la figure.

4. Soient z5 = i

2 (1+ i

p 3) et z6 =

2

i− p 3 .

Exprimer z5 et z6 sous forme algébrique et sous forme exponentielle.

Placer les points M5 et M6 d’affixes respectives z5 et z6 sur la figure.

5. a. Calculer z6 k pour k ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

b. Écrire z6+1 sous forme d’un produit de trois polynômes du second degré à coefficients réels. Justifier cette écriture.

EXERCICE 2 4 POINTS

Les questions 1 et 2 sont indépendantes. N* est l’ensemble des entiers strictement positifs.

Pour tout entier n deN⋆, on considère l’intégrale : In = ∫e

1 (lnx)n dx.

1. a. Démontrer que pour tout x dans l’intervalle ]1 ; e[, et pour tout n entier naturel, on a :

(lnx)n − (lnx)n+1 > 0

b. En déduire que la suite (In ) est décroissante.

2. a. Calculer I1 à l’aide d’une intégration par parties.

b. Démontrer à l’aide d’une intégration par parties que, pour tout n ∈ N*, In = e− (n+1)In .

c. En déduire I2, I3 et I4. Donner les valeurs exactes, exprimées en fonction de e, et les valeurs approchées à 10−3 près par défaut.

3. a. Démontrer que, pour tout n ∈N*, In > 0. b. Démontrer que, pour tout n ∈N*, (n+1)In 6 e. c. En déduire la limite de In .

d. Déterminer la valeur de nIn + (In + In+1) et en déduire la limite de nIn .

Le baccalauréat de 1990 A. P. M. E. P.

EXERCICE 2 4 POINTS Enseignement de spécialité

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

, l’unité graphique étant 1 cm.

1. Soit (C ) la courbe dont une représentation paramétrique est :

x = f (t) = 1

2 (t2+2)

y = g (t) = 1

2 (t3+2t)

, t ∈R

a. Montrer que (C ) est symétrique par rapport à l’axe des abscisses.

b. Étudier conjointement les variations des fonctions f et g sur [0 ; +∞[. c. Préciser la tangente au point de paramètre t = 0. d. Tracer la courbe (C ).

2. Soit (P ) la parabole d’équation y2 = 4x. a. Tracer (P ) dans le même repère que (C ).

b. Vérifier qu’une représentation paramétrique de (P ) est :

{

x(t) = t2 y(t) = 2t , t ∈R

c. Soit (Dt ) la tangente à (P ) au point Mt de coordonnées (x(t) ; y(t)). Soit (∆t ) la perpendiculaire à (Dt ) au pointMt . Montrer qu’une équation car- tésienne de (∆t ) est :

Y =− tX + t3+2t .

d. Pour t ∈ R⋆, (∆t ) coupe l’axe des abscisses en un point At et l’axe des ordonnées en un point Bt . On appelle It le milieu du segment [AtBt ].

Exprimer en fonction de t les coordonnées du point It .

PROBLÈME 11 POINTS

I

Soit la fonction g définie sur R, qui à tout x associe :

g (x)= ex (x−1)+ x2 .

1. a. Montrer que la dérivée de la fonction g sur R est

g ′(x)= x(ex +2)

b. Déterminer les limites de g en +∞ et en −∞. c. Étudier le signe de g ′(x) sur R, et dresser le tableau de variation de g sur

R.

2. Montrer que l’équation : g (x) = 0 admet une solution α et une seule sur l’in-

tervalle [0 ; +∞[. Montrer que α est dans l’intervalle I= [

1

2 ; 1

]

.

II

Asie 2 juin 1998

Le baccalauréat de 1990 A. P. M. E. P.

Soit la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par :

f (x)= ex

ex + x 1. Montrer que les équations : f (x)= x et g (x)= 0 sont équivalentes sur [0 ; +∞[,

et que, par suite, l’équation f (x)= x admet α pour solution unique sur I. 2. a. Calculer la dérivée de f et endéduire le sens de variationde f sur [0 ; +∞[.

b. Déterminer la limite de f en +∞[. c. Dresser le tableau de variation de f .

d. Construire la courbe représentative C de f sur [0 ; +∞[ dans un repère orthonormal (unité 2 cm). On indiquera en particulier les tangentes à C aux points d’abscisses 0 et 1.

III

1. Montrer que, pour tout x appartenant à I , f (x) appartient à I .

2. Soit la suite (un )u∈N définie par

{

u1 = 1

2 un = f (un−1) pour tout n > 1

a. Montrer que, pour tout n ∈N⋆, un I .

b. Montrer que, pour tout x I , | f ′(x)|6 1

2 .

c. En appliquant le théorème de l’inégalité des accroissements finis, dé- montrer que :

pour tout n > 1, |un α|6 1

2 |un−1−α|.

d. Endéduire, par un raisonnement par récurrence, quepour toutn ∈N∗, |un

α|6 (

1

2

)n

.

e. En déduire que (un ) converge vers α.

f. A priori, combien suffit-il de calculer de termes de la suite pour obtenir une valeur approchée de α à 10−7 près ?

3. Enutilisant la décroissancede f ,montrer queα est compris entre deux termes consécutifs quelconques de la suite. En déduire un encadrement de α d’am- plitude 10−7.

Asie 3 juin 1998

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