Exercitation de modélisation mathématique 5, Exercices de Modélisation mathématique et simulation
Eusebe_S
Eusebe_S11 avril 2014

Exercitation de modélisation mathématique 5, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

PDF (446 KB)
44 pages
202Numéro de visites
Description
Exercitation de modélisation mathématique 5. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: tracé de la courbe C, Calcul d’aire et étude d’une suite, Calculs d’aires.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 44
Ceci c'est un aperçu avant impression
3 shown on 44 pages
Télécharger le document
Ceci c'est un aperçu avant impression
3 shown on 44 pages
Télécharger le document
Ceci c'est un aperçu avant impression
3 shown on 44 pages
Télécharger le document
Ceci c'est un aperçu avant impression
3 shown on 44 pages
Télécharger le document

[ Baccalauréat S 1998 \ L’intégrale de mars à décembre 1998

Pour un accés direct cliquez sur les liensbleus

Pondichéry avril 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Amérique du Nord juin 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Antilles-Guyane juin 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Asie juin 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Centres étrangers juin 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

La Réunion juin 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

Métropole juin 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

Polynésie juin 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

Antilles-Guyane septembre 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Métropole septembre 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Polynésie septembre 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

Sportifs de haut-niveau octobre 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Amérique du Sud novembre 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

Nouvelle-Calédonie décembre 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Tapuscrit : Denis Vergès

Baccalauréat S : l’intégrale demars à décembre 1998 A. P. M. E. P.

2

[ Baccalauréat C Pondichéry avril 1998 \

EXERCICE 1 4 POINTS

1. On dispose d’une urneU1 contenant trois boules rouges et sept boules noires.

On extrait simultanément deux boules de cette urne ; on considére que tous les tirages sont équiprobables.

a. Quelle est la probabilité p1 que les deux boules tirées soient rouges ?

b. Quelle est la probabilité p2 que les deux boules tirées soient noires ?

c. Quelle est la probabilité p3 que les deux boules tirées soient de même couleur ?

d. Quelle est la probabilité p4 que les deux boules tirées soient de couleurs différentes ?

2. On dispose aussi d’une deuxiéme urne U2 contenant quatre boules rouges et six boules noires.

On tire maintenant deux boules de l’urne U1 et une boule de l’urne U2 ; on suppose que tous les tirages sont équiprobables.

On considére les évènements suivants :

R : « Les trois boules tirées sont rouges »

D : « Les trois boules tirées ne sont pas toutes de la même couleur »

B : la boule tirée dans l’urne U2 est rouge ».

a. Calculer la probabilité de l’évènement R.

b. Quelle est la probabilité de tirer trois boules de même couleur ?

c. Calculer la probabilité conditionnelle pD(B) de l’évènement B sachant que l’évènement D est réalisé.

Exercice 2 5 points Enseignement obligatoire

On considére le polynômeP(z)= z4+17z2−28z+260, où z est un nombre complexe. 1. Déterminer deux nombres réels a et b tels que :

P(z)= (

z2+az+b )(

z2+4z+20 )

.

2. Résoudre dans C l’équation P(z)= 0.

3. Placer dans un repére orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

, les images M, N, P et

Q des nombres complexes respectifs m = −2+ 4i, n = −2− 4i, p = 2+ 3i et q = 2−3i.

4. a. Déterminer le nombre complexe z vérifiant zp zm

= i. Placer son image K.

b. En déduire que le triangle MPK est isocéle rectangle en K.

4. a. Déterminer par le calcul l’affixe du point L, quatriéme sommet du carré MKPL.

b. Déterminer l’abscisse du point d’intersection R de la droite (KL) et de l’axe des abscisses.

c. Montrer que M, N, P et Q sont sur un même cercle de centre R.

Le baccalauréat de 1998 A. P. M. E. P.

Probléme 11 points

On considére la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par

f (x)= ex −1 xex +1

On désigne par C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repére ortho-

normal (

O, −→ ı ,

−→ )

; unité graphique : 4 cm.

Partie A

étude d’une fonction auxiliaire

Soit la fonction g définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par

g (x)= x+2−ex .

1. Étudier le sens de variation de g sur [0 ; +∞[ et déterminer la limite de g en +∞.

2. a. Montrer que l’équation g (x) = 0 admet une solution et une seule dans [0 ; +∞[. On note α cette solution.

a. Prouver que 1,14<α< 1,15. 2. En déduire le signe de g (x) suivant les valeurs de x.

Partie B

Étude de la fonction f et tracé de la courbe C

1. a. Montrer que, pour tout x appartenant à [0 ; +∞[,

f ′(x)= exg (x)

(xex +1)2 .

b. En déduire le sens de variation de la fonction f sur [0 ; +∞[. 2. a. Montrer que pour tout réel positif x,

f (x)= 1−e−x

x+e−x

b. En déduire la limite de f en +∞. Interpréter graphiquement le résultat trouvé.

3. a. Établir que f (α)= 1

α+1 .

b. En utilisant l’encadrement de α établi dans la question A.2., donner un encadrement de f (α) d’amplitude 10−2.

4. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbeC au point d’abscisse 0.

5. a. Établir que, pour tout x appartenant à l’intervalle [0 ; +∞[,

f (x)− x = (x+1)u(x) xex +1

avecu(x)= ex xex −1.

b. Étudier le sens de variation de la fonction u sur l’intervalle [0 ; +∞[. En déduire le signe de u(x).

c. Déduire des questions précédentes la position de la courbe C par rap- port à la droite (T).

6. Tracer C et (T).

Pondichéry 4 avril 1998

Le baccalauréat de 1998 A. P. M. E. P.

Partie C

Calcul d’aire et étude d’une suite

1. Déterminer une primitive F de f sur [0 ; +∞[ ; on pourra utiliser l’expression de f (x) établie dans la question B. 2.

2. On note D le domaine délimité par la courbe C , la tangente (T) et les droites d’équations x = 0 et x = 1. Calculer, en cm2, l’aire A du domaine D.

Donner une valeur décimale aumm2 prés de l’aire A .

3. Pour tout entier naturel n, on pose

vn = ∫n+1

n f (x)dx

a. Calculer v0, v1 et v2.

On donnera des valeurs décimales approchées à 10−2 prés de v0, v1 et v2.

b. Interpréter graphiquement vn .

c. Montrer que, pour tout n> 2,

f (n+1)6 ∫n+1

n f (x)dx 6 f (n)

En déduire la monotonie de la suite (vn) à partir de n = 1. d. Déterminer la limite de la suite (vn).

Pondichéry 5 avril 1998

[ Baccalauréat C Amérique du Nord juin 1998 \

EXERCICE 1 5 POINTS

Afin de créer une loterie, on met dans une urne n billets différents (n supérieur ou égal à 3), dont deux et deux seulement sont gagnants.

1. Dans cette question, on choisit au hasard et simultanément deux billes dans l’urne.

a. Onsuppose icin = 10. X désigne la variable aléatoire qui donne le nombre de billets gagnants parmi les deux choisis. Déterminer la loi de probabi- lité de X .

b. On revient au cas général avec n supérieur ou égal à 3. Calculer la pro- babilité notée pn , d’avoir exactement un billet gagnant parmi des deux choisis.

2. Dans cette question, on choisit au hasard deux billets dans cette urne en re- mettant le premier bilet tiré avant de tirer le second.

a. Onsuppose icin = 10.Y désigne la variable aléatoire qui donne le nombre de billets gagnants parmi les deux choisis. Déterminer la loi de probabi- lité de Y .

b. On revient au cas général avec n supérieur ou égal à 3. Calculer la pro- babilité, notée qn d avoir exactement un billet gagnant parmi les deux choisis.

3. a. Montrer que pour tout n supérieur ou égal à 3, on a :

pn qn = 4(n−2) n2(n−1)

.

b. En remarquant que pour tout entier n, n−2 est inférieur à n−1, déter- miner un entier naturel n0 tel que pour tout n supérieur ou égal à n0, on ait pn qn < 10− 3.

c. Pour obtenir exactement un billet gagnant en choisissant deux billets de cette loterie, est-il préférable de les tirer simultanément ou de les tirer l’un aprés l’autre en remettant le premier billet tiré ?

Exercice 2 5 points

Dans le plan complexe rapporté à un repére orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

, (unité

graphique : 4 cm), on donne les points A et B d’affixes respectives 1 et 1

2 − i

p 3

2 .

Pour chaque point M du plan, d’affixe z, M1 d’affixe z1, désigne l’image deM par la

rotation de centre O et d’angle π

3 , puisM ′ d’affixe z ′ l’image deM1 par la translation

de vecteur − −→u . Enfin, on note T la transformation qui à chaque point M associe le point M ′.

1. a. Démontrer : z ′ = ei π 3 z−1.

b. Déterminer l’image du point B.

c. Montrer que T admet un unique point invariant dont on précisera l’af- fixe.

2. On pose z = x+ iy , avec x et y réels.

a. Pour z non nul, calculer la partie réelle du quotient z

z en fonction de x

et de y .

Le baccalauréat de 1998 A. P. M. E. P.

b. Démontrer que l’ensemble (E), des points M du plan tels que le triangle OMM ′ soit rectangle en 0, est un cercle (C), dont on précisera le centre et le rayon, privé de deux points. Tracer (E).

3. Dans cette question on pose z = 1+ i. a. Vérifier que M appartient à (E). PlacerM et M ′ sur la figure.

b. Calculer le module de z ′.

c. Calculer l’aire, en cm2, du triangle OMM ′.

Probléme 10 points

Ondésigne par n un entier supérieur ou égal à 2 et on considére les fonctions, notées fn , qui sont définies pour x appartenant à l’intervalle ]0 ; +∞[ par :

f (x)= 1+n lnx

x2 .

Partie A I. Étude des fonctions fn

1. Calculer f n (x) et montrer que l’on peut écrire le résultat sous la forme d’un quotient dont le numérateur est n−2−2n ln x.

2. Résoudre l’équation f n (x)= 0. Étudier le signe de f n(x). 3. Déterminer la limite de fn en +∞. 4. Établir le tableau de variations de la fonction fn et calculer sa valeurmaximale

en fonction de n.

II. Représentation graphique de quelques fonctions fn .

Le plan est rapporté à un repére orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

, (unité graphique : 5 cm).

On note Cn la courbe représentative de la fonction fn dans ce repére.

1. Tracer C2 et C3.

2. a. Calculer fn+1(x)− fn (x) . Cette différence est-elle dépendante de l’entier n ?

b. Expliquer comment il est possible de construire point par point la courbe C4 à partir de C2 et tracer C3. Tracer C4.

Partie B : Calculs d’aires

1. Calculer en intégrant par parties, l’intégrale I = ∫e

1 lnx dx.

2. En déduire l’aire, en unités d’aire, du domaine plan limité par les courbes Cn , Cn+1 et les droites d’équation x = 1 et x = e.

3. On note An l’aire, en unités d’aire, du domaine plan limité par la courbe Cn , et les droites d’équation y = 0, x = 1 et x = e.

a. Calculer A2.

b. Déterminer la nature de la suite An en précisant l’interprétation gra- phique de la raison.

Partie C : Étude sur l’intervalle ]1 ; +∞[ de l’équation fn (x) = 1

Dans toute la suite, on prendra n> 3.

1. a. Vérifier que pour tout n, e n−2 2n > 1 et fn

(

e n−2 2n

)

> 1.

b. Vérifier que l’équation fn (x)= 1n’a pas de solution sur l’intervalle ]

1 ; e n−2 2n

[

.

Amérique du Nord 7 juin 1998

Le baccalauréat de 1998 A. P. M. E. P.

2. Montrer que l’équation fn(x) = 1 admet sur l’intervalle [

e n−2 2n ; +∞

[

exacte-

ment une solution notée αn .

3. On se propose de déterminer la limite de la suite αn .

a. Calculer f (p

n )

et montrer que pour tout n > e2, on a fn (p

n )

> 1.

b. En déduire que, pour n > 8, on a αn > p n et donner la limite de la suite

(αn).

Amérique du Nord 8 juin 1998

[ Baccalauréat C Antilles–Guyane juin 1998 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Un jeu de dominos est fabriqué avec les sept couleurs : violet, indigo, bleu, vert, jaune, orange, rouge. Un domino se compose de deux cases portant chacune l’une des sept couleurs. Chaque couleur peut figurer deux fois sur le même domino : c’est un double.

1. Montrer que le jeu comporte 28 dominos différents. Les 28 dominos, indiscer- nables au toucher, sont mis dans un sac.

2. On tire simultanément trois dominos du sac.

Quelle est la probabilité d’obtenir exactement deux doubles parmi ces trois dominos ?

3. Dans cette question, on tire un seul domino. Calculer la probabilité des évè- nements suivants :

a. J2 : « Le jaune figure deux fois »

b. J1 : « Le jaune figure une seule fois »

c. J : « Le jaune figure au moins une fois »

4. On effectue n tirages successifs d’un domino, en notant à chaque tirage la (ou les) couleur(s) obtenue(s) avant de remettre dans le sac le domino tiré et de procéder au tirage suivant ; les tirages sont indépendants. Calculer, en fonction de n, la probabilité pn , que J soit réalisé au moins une fois. Calculer la plus petite valeur de l’entier naturel n pour laquelle pn > 0,99.

EXERCICE 2 5 POINTS

Partie A On considére le polynôme P de la variable complexe z défini par :

P (z)= z4+2 p 3z3+8z2+2

p 3z+7

1. a. Calculer P (i) et P (−i) . b. Montrer qu’il existe un polynôme Q du second degré, que l’on détermi-

nera, tel que : pour tout z ∈C, P (z)=

(

z2+1 )

Q (z)

2. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation P (z)= 0.

Partie B

Leplan est rapporté au repére orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

(unité graphique 2 cm).

1. Placer dans ce repére les points A, B, C et D d’affixes respectives zA = i, zB =−i, zC =−

p 3 et zD =−

p 3−2i.

Montrer que ces quatre points appartiennent au cercle de diamétre [CD].

2. Montrer qu’il existe une rotation de centre O qui transforme C en D. Calculer une valeur entiére approchée à un degré prés d’une mesure de l’angle de cette rotation.

3. Calculer, sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique, le rapport :

zB− zC zA− zC

Interpréter géométriquement le module et l’argument de ce rapport.

Le baccalauréat de 1998 A. P. M. E. P.

PROBLÉME 11 POINTS

Partie A : étude de fonctions

On considére les fonctions f1, f2, f3 définies sur R par :

f1 (x)= (x+1)e−x f2 (x)=−xe−x f3 (x)= (x−1)e−x

On appelle C1, C2, C3 leurs courbes représentatives respectives dans un repére or-

thogonal (

O, −→ ı ,

−→ )

du plan. Les courbes C2 et C3 sont données sur le graphique

ci-dessous.

1. Étude de la fonction f1

a. Calculer la dérivée f ′1 de f1 et étudier son signe. En déduire les variations de f1.

b. Déterminer les limites de f1 en +∞, en −∞. c. Dresser le tableau de variation de f1.

2. Étude graphique.

a. Identifier sur la figure donnée les courbes C2 etC3 et placer sur le dessin

le repére (

O, −→ ı ,

−→ )

.

b. Étudier la position relative des courbes C1 et C3.

c. Tracer C1 dans le même repére que C2 et C3 sur la figure fournie.

3. Étude d’équations différentielles.

a. Montrer que f1 est solution de l’équation différentielle :

(E1) y ′+ y = e−x

b. Montrer que f1 est aussi solution de l’équation différentielle :

(E2) y ′′+2y ′+ y = 0

c. Déterminer toutes les solutions de l’équation différentielle (E2) . En dé- duire que f2 et f3 sont aussi des solutions de (E2) .

d. Parmi les solutions de (E2) , quelles sont celles qui sont aussi solutions de (E1) ?

Partie B : étude d’aires liées à C1 et C2

Pour n entier strictement positif, on appelle Mn le point de C3 d’abscisse n ln2. On pose :

f (x)= f1 (x)− f3 (x)

pour tout x réel.

1. Calculer, en unités d’aire, l’aireUn du domaine plan limité par la courbeC3, la courbe C1 et les segments [MnPn] et [Mn+1Pn+1] pour n > 0. Pn et Pn+1 sont les projections orthogonales respectives deMn etMn+1 sur

(

O ; −→ ı )

.

2. Calculer, en unités d’aire, l’aire Vn du trapéze PnMnMn+1Pn+1 pour n > 0. Montrer que le rapport

Vn

Un est constant.

Antilles–Guyane 10 juin 1998

Le baccalauréat de 1998 A. P. M. E. P.

Annexe

−→ ı

−→

O

Antilles–Guyane 11 juin 1998

[ Baccalauréat C Asie juin 1998 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Le plan complexe P est rapporté à un repére direct (

O, −→ u ,

−→ v )

, ayant comme unité

graphique 3 cm. Les nombres complexes z1, z2, z3, z4, z5 et z6 que l’on va calculer dans cet exercice seront tous exprimés sous forme algébrique et sous forme expo- nentielle

(

ρeiθ )

.

1. Résoudre dans C l’équation :

z2− z p 3+1= 0.

On pose z1 = p 3+ i 2

et z2 = p 3− i 2

. Exprimer z1 et z2 sous forme exponentielle

et placer les points M1 et M2 d’affixes respectives z1 et z2 dans le plan P .

2. Soit r la rotation de centre O et d’angle 2π

3 .

Calculer l’affixe z3 du point M3 = r (M2). Placer M3 sur la figure précédente.

3. Soit t la translation dont le vecteur ~w a pour affixe − p 3+ i 2

.

Calculer l’affixe z4 du point M4 = t(M2). Placer M4 sur la figure.

4. Soient z5 = i

2 (1+ i

p 3) et z6 =

2

i− p 3 .

Exprimer z5 et z6 sous forme algébrique et sous forme exponentielle.

Placer les points M5 et M6 d’affixes respectives z5 et z6 sur la figure.

5. a. Calculer z6 k pour k ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

b. Écrire z6+1 sous forme d’un produit de trois polynômes du second degré à coefficients réels. Justifier cette écriture.

EXERCICE 2 4 POINTS

Les questions 1 et 2 sont indépendantes. N* est l’ensemble des entiers strictement positifs.

Pour tout entier n deN⋆, on considére l’intégrale : In = ∫e

1 (lnx)n dx.

1. a. Démontrer que pour tout x dans l’intervalle ]1 ; e[, et pour tout n entier naturel, on a :

(lnx)n − (lnx)n+1 > 0

b. En déduire que la suite (In ) est décroissante.

2. a. Calculer I1 à l’aide d’une intégration par parties.

b. Démontrer à l’aide d’une intégration par parties que, pour tout n ∈ N*, In = e− (n+1)In .

c. En déduire I2, I3 et I4. Donner les valeurs exactes, exprimées en fonction de e, et les valeurs approchées à 10−3 prés par défaut.

3. a. Démontrer que, pour tout n ∈N*, In > 0. b. Démontrer que, pour tout n ∈N*, (n+1)In 6 e. c. En déduire la limite de In .

d. Déterminer la valeur de nIn + (In + In+1) et en déduire la limite de nIn .

Le baccalauréat de 1998 A. P. M. E. P.

EXERCICE 2 4 POINTS Enseignement de spécialité

Le plan est rapporté à un repére orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

, l’unité graphique étant 1 cm.

1. Soit (C ) la courbe dont une représentation paramétrique est :

x = f (t) = 1

2

(

t2+2 )

y = g (t) = 1

2

(

t3+2t )

, t ∈R

a. Montrer que (C ) est symétrique par rapport à l’axe des abscisses.

b. Étudier conjointement les variations des fonctions f et g sur [0 ; +∞[. c. Préciser la tangente au point de paramétre t = 0. d. Tracer la courbe (C ).

2. Soit (P ) la parabole d’équation y2 = 4x. a. Tracer (P ) dans le même repére que (C ).

b. Vérifier qu’une représentation paramétrique de (P ) est :

{

x(t) = t2 y(t) = 2t , t ∈R

c. Soit (Dt ) la tangente à (P ) au point Mt de coordonnées (x(t) ; y(t)).

Soit (∆t ) la perpendiculaire à (Dt ) au pointMt . Montrer qu’une équation cartésienne de (∆t ) est :

Y =− tX + t3+2t .

d. Pour t ∈ R⋆, (∆t ) coupe l’axe des abscisses en un point At et l’axe des ordonnées en un point Bt . On appelle It le milieu du segment [AtBt ].

Exprimer en fonction de t les coordonnées du point It .

PROBLÉME 11 POINTS

I

Soit la fonction g définie sur R, qui à tout x associe :

g (x)= ex (x−1)+ x2 .

1. a. Montrer que la dérivée de la fonction g sur R est

g ′(x)= x(ex +2)

b. Déterminer les limites de g en +∞ et en −∞. c. Étudier le signe de g ′(x) sur R, et dresser le tableau de variation de g sur

R.

2. Montrer que l’équation : g (x) = 0 admet une solution α et une seule sur l’in-

tervalle [0 ; +∞[. Montrer que α est dans l’intervalle I= [

1

2 ; 1

]

.

II

Asie 13 juin 1998

Le baccalauréat de 1998 A. P. M. E. P.

Soit la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par :

f (x)= ex

ex + x 1. Montrer que les équations : f (x)= x et g (x)= 0 sont équivalentes sur [0 ; +∞[,

et que, par suite, l’équation f (x)= x admet α pour solution unique sur I. 2. a. Calculer la dérivée de f et endéduire le sens de variationde f sur [0 ; +∞[.

b. Déterminer la limite de f en +∞[. c. Dresser le tableau de variation de f .

d. Construire la courbe représentative C de f sur [0 ; +∞[ dans un repére orthonormal (unité 2 cm). On indiquera en particulier les tangentes à C aux points d’abscisses 0 et 1.

III

1. Montrer que, pour tout x appartenant à I , f (x) appartient à I .

2. Soit la suite (un )u∈N définie par

{

u1 = 1

2 un = f (un−1) pour tout n > 1

a. Montrer que, pour tout n ∈N⋆, un I .

b. Montrer que, pour tout x I , | f ′(x)|6 1

2 .

c. En appliquant le théoréme de l’inégalité des accroissements finis, dé- montrer que :

pour tout n > 1, |un α|6 1

2 |un−1−α|.

d. Endéduire, par un raisonnement par récurrence, quepour toutn ∈N∗, |un

α|6 (

1

2

)n

.

e. En déduire que (un ) converge vers α.

f. A priori, combien suffit-il de calculer de termes de la suite pour obtenir une valeur approchée de α à 10−7 prés ?

3. Enutilisant la décroissancede f ,montrer queα est compris entre deux termes consécutifs quelconques de la suite. En déduire un encadrement de α d’am- plitude 10−7.

Asie 14 juin 1998

[ Baccalauréat C Centres étrangers juin 1998 \

EXERCICE 1 4 POINTS Commun à tous les candidats

Une urne contient 5 boules blanches et 4 boules rouges indiscernables au toucher. On effectue n tirages successifs (n entier supérieur ou égal à 1) d’une boule en res- pectant la régle suivante : - si la boule tirée est rouge, on la remet dans l’urne ; - si elle est blanche, on ne la remet pas. Les parties A et B sont indépendantes. Partie A

Dans cette partie n = 3. On donnera les résultats sous forme de fractions irréduc- tibles. Si k est un entier compris entre 1 et 3, on note Ek l’évènement « seule la k-iéme boule tirée est blanche ». Par exemple, E1 est l’évènement « seule la premiére boule tirée est blanche ».

1. Montrer que la probabilité de l’évènement E1 est p(E1)= 5

36 .

2. Calculer les probabilités des évènements E2 et E3. En déduire la probabilité qu’on ait tiré une seule boule blanche à l’issue des trois tirages.

3. Sachant que l’on a tiré exactement une boule blanche, quelle est la probabilité que cette boule ait été tirée en dernier ?

Partie B

On effectue maintenant n tirages.

1. Déterminer, en fonction de n, la probabilité pn de tirer au moins une boule blanche en n tirages.

2. Quelles valeurs faut-il donner à n pour que pn > 0,99 ?

Exercice 2 4 points) Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté au repére orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

. L’unité gra-

phique est de 3 cm. On considére les points B, C, D, E définissant le carré de sens direct BCDE d’affixes respectives :

b = 1− i ; c =−1− i ; d =−1−3i ; e = 1−3i

1. Calculer |b|, |c|, |d | et |e|. 2. Soit Γ le cercle de centre O passant par B. Déterminer une équation du cercle

Γ. On considére Q un point de Γ distinct de B et C. L’affixe de Q est notée q = x+ iy (avec x et y réels).

3. Soient F et G les points du plan tels que QBFG soit un carré de sens direct,

c’est-à-dire tels que (−−→ QB ,

−−→ QG

)

= + π

2 . On pose Z =

g q bq

g est l’affixe du

point G.

Interpréter géométriquement le module et un argument de Z . En déduire Z .

4. Prouver que g = (1+ x+ y)+ i(1− x+ y). En déduire |g | en fonction de x et y . 5. En utilisant la question 2), exprimer |g | en fonction de x et y .

Le baccalauréat de 1998 A. P. M. E. P.

6. À l’aide de considérations géométriques, prouver que : I f | = |g |, f étant l’af- fixe du point F .

7. Pour quelles valeurs de x et de y les points E, D, G et F sont-ils sur un cercle de centre O ?

Préciser le rayon de ce cercle. En déduire alors la nature du triangleQBC.

Exercice 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A : où on construit un triangle équilatéral.

On considére la figure suivante où (∆) et (D) sont deux droites paralléles et A un point situé entre les deux droites et n’appartenant à aucune d’entre elles.

(D)

(∆)

A

On sepropose de construire un triangle équilatéral ABC tel queB etC appartiennent respectivement aux droites (D) et (∆).

Dans toute la suite, on note R la rotation de centre A et d’angle + π

3 .

1. On considére la droite (D ′) image de (D) par la rotation R. Montrer que (D ′) coupe (∆). On note C le point d’intersection de (D’) de (∆).

2. Soit B =R− 1(C). Montrer que le triangle ABC répond au probléme posé. 3. Construire la droite

(

D ′ )

et placer les points B et C.

Partie B : où on calcule l’aire de ce triangle équilatétal. Soit O le projeté orthogonal

de A sur la droite (D). Le plan est rapporté au repére orthonormal direct (O , −→ u ,

−→ v )

où −→ u est un vecteur directeur de (D) et

−→ v est choisi de sorte que le point A ait pour

affixe ai (a réel positif). On noteα la distance du point A à la droite (∆). Soit B un point de (D) d’affixe zB, (zB est réel). On appelle zC l’affixe du point C image de B par la rotation R.

1. Montrer que zC = 1

2

(

zB+a p 3 )

+ i

2

(

a+ zB p 3 )

.

2. En déduire que le point C appartient à la droite (∆) si et seulement si

zB = 1 p 3 (a+2α).

Dans la suite, on prendra cette valeur pour zB.

3. Exprimer AB2 en fonction de a et de α.

En déduire que l’aire du triangle équilatéral ABC est S = p 3

3 (a2++α2).

Probléme 11 points

Le but du probléme est l’étude d’une fonction gk , où k est un réel fixe qui vérifie : 0< k < e. Dans la partie A onmet en évidence certaines propriétés d’une fonction f qui seront utilisées dans la partie B.

Partie A

Centres étrangers 16 juin 1998

Le baccalauréat de 1998 A. P. M. E. P.

Soit f la fonction de la variable réelle x définie sur R par :

f (x)= (2− x)ex k.

1. Étudier les limites de f en −∞ et en +∞. 2. Calculer f ′(x). En déduire le tableau de variation de f . Calculer f (1)

3. a. Établir que l’équation f (x) = 0 a deux solutions, une notée αk apparte- nant à l’intervalle ]− ∞ ; 1[ et une autre notée βk appartenant à l’inter- valle ]1 ; +∞[.

b. Montrer que eαk kαk = (eαk k) (αk −1). On démontrerait de même que βk vérifie l’égalité

eβk kβk = (

eβk k )

(βk −1). 4. Préciser le signe de f (x) suivant les valeurs de x.

Partie B

1. Soit u la fonction de la variable réelle x définie sur R par : u(x)= ex kx. a. Étudier le sens de variation de u.

b. On rappelle que 0< k < e. Justifier la propriété suivante

pour tout réelx, ex kx > 0.

2. Soit gk la fonction définie sur R par : gk (x) = ex k ex kx

. On note Ck la courbe

représentative de la fonction gk dans le plan rappporté à un repére orthogo- nal.

a. Déterminer la limite de gk en −∞ et en +∞.

b. Prouver que : g k (x)=

k f (x)

(ex kx)2 .

c. En déduire le tableau de variation de gk . Calculer gk (1).

3. On nomme Mk et Nk les points de la courbe Ck d’abscisses respectives αk et βk .

a. En utilisant la question 3)b) (partie A), montrer que gk (αk )= 1

αk −1 .

b. Donner de même gk (βk ).

c. Déduire de la question précédente que lorsque k varie les points Mk et Nk sont sur une courbe fixe H dont on donnera une équation.

4. Représentations graphiques pour des valeurs particuliéres de k :

a. Déterminer la position relative des courbes C1 et C2.

b. Prouver que α2 = 0. c. Enprenant comme unité 2 cm sur l’axe des abscisses et 4 cm sur l’axe des

ordonnées, construire les courbes C1, C2 et H sur le même graphique.

On prendra α1 =−1,1 ; β1 = 1,8 ; β2 = 1,6.

Centres étrangers 17 juin 1998

[ Baccalauréat C La Réunion juin 1998 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Les réponses seront données sous forme de fractions.

Pour un examen, dix examinateurs ont préparé chacun 2 sujets. On dispose donc de vingt sujets que l’on place dans 20 enveloppes identiques. Deux candidats se pré- sentent : chacun choisit au hasard deux sujets ; de plus, les sujets choisis par le pre- mier candidat ne seront plus disponibles pour le deuxiéme. On note A1 l’évènement : « les deux sujets obtenus par le premier candidat pro- viennent du même examinateur » et A2 l’évènement : « les deux sujets obtenus par le deuxiéme candidat proviennent dumême examinateur ». On note A l’évènement contraire de l’évènement A.

1. Montrer que la probabilité de l’évènement A1 est égale à 1

19 .

2. a. Calculer directement la probabilité conditionnelle p (A2/A1) de l’évène- ment A2 sachant que A1 est réalisé.

b. Montrer que la probabilité que les deux candidats obtiennent chacun

deux sujets provenant d’un même examinateur est égale à 1

323 .

3. a. Calculer la probabilité p (

A2/A1 )

.

b. En remarquant que A2 = (A2∩ A1)∪ (

A2∩ A1 )

, calculer la probabilité

p (A2) puis en déduire que p (A2∪ A1)= 33

323 .

4. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de candidats qui ont choisi cha- cun deux sujets provenant d’un même examinateur. La variable aléatoire X prend donc les valeurs 0, 1 ou 2.

a. Déterminer la loi de la probabilité de la variable aléatoire X .

b. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X .

EXERCICE 2 5 POINTS Enseignement obligatoire

Dans l’espace muni d’un repére orthonormal direct (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

, on donne A, B et

C de coordonnées respectives (2 ; 0 ; 1), (3 ; −2 ; 0) et (2 ; 8 ; −4). Aucune figure n’est demandée.

1. Un point M étant de coordonnées (x ; y ; z), exprimer en fonction de x, y et z

les coordonnées du produit vectoriel −−→ AM ∧−−→BM .

2. Résoudre le systéme :

x+ y −2z = −4 −xy z = −11 2x+ y z = 8

On fera figurer les étapes de la résolution sur la copie.

3. Montrer qu’il existe un unique point N vérifiant −−→ AN ∧−−→BN =−−→CN et donner les

coordonnées du point N .

4. On rappelle que le volume d’un tétraédre s’obtient par la formule V = 1

3 B×h

où B représente l’aire d’une base et h la hauteur correspondante.

Le baccalauréat de 1998 A. P. M. E. P.

a. Le point N étant défini à la question précédente, montrer que le volume

du tétraédre ABCN est égal à 1

6 CN2.

b. En utilisant les résultats du 1., et en prenant M = C, calculer l’aire du triangle ABC.

c. Utiliser les résultats précédents pour calculer la distance du point N au plan (ABC).

EXERCICE 2 5 POINTS Enseignement de spécialité

Dans le plan orienté rapporté au repére orthonormal direct (

O, −→ ı ,

−→ )

(unité : le

cm), on trace le cercle (C ) de diamétre [AO] oùA est le point de coordonnées (−6 ; 0) ; on appelle Ω le centre de (C ). Si P est un point de (C ), on note K le projeté orthogonal de P sur la droite (AO) et M

le point défini par −−→ KM =−→AP .

Soit t une mesure en radians de l’angle (−−→ ΩO ,

−−→ ΩP

)

.

On veut déterminer l’ensemble (E ) des points M de paramétre t obtenu lorsque P décrit (C ).

1. Sur une figure qui sera complétée à la question 5, représenter (C), placer un point P et les points K et M correspondants.

2. a. Exprimer en fonction de t les coordonnées du point P puis celles du point M.

b. En déduire une représentation paramétrique de (E ).

c. SoitM′ le point de (E ) de paramétreπt . Par quelle transformation peut- on obtenir le point M′ à partir du point M de paramétre t ?

3. Soit N le point (E ) de paramétre t + π

2 . Montrer que le vecteur

(−−→ ON

)

est un

vecteur directeur de la tangente à (E ) au point M de paramétre t .

4. Dessin de (E ) :

a. Dresser le tableau des variations conjointes des coordonnées de M pour

t appartenant à [

0 ; π

2

]

.

b. Construire les points M1 M2 et M3 obtenus pour les valeurs de t sui-

vantes : π

6 , π

4 , π

3 et utiliser le résultat des questions 3 et 4 et pour construire

trois autres points de (E ) ainsi que les tangentes à (E ) en M1, M2 et M3.

c. Achever le dessin de (E ).

N. B. La question 5. a. a été transformée (elle demandait d’indiquer la nature de (E ) et de placer les sommets de (E )) afin de tenir compte des modifica- tions de programme. Par ailleurs, cet exercice peut être traité désormais dans le cadre de l’enseignement obligatoire.

PROBLÉME 11 POINTS

Soit f la fonction définie sur R par

f (x)= ex x2

dont la courbe représentative C f dans un repére orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

, est don-

née sur le graphique ci-dessous à compléter et à rendre avec la copie.

La Réunion 19 juin 1998

Le baccalauréat de 1998 A. P. M. E. P.

1

1

O x

y

C f

On considére la fonction g définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par g (x)= f (x)

x =

ex

x x

et on note Cg sa courbe représentative dans le même repére.

Partie A : Remarques préliminaires concernant la fonction f

1. Sans chercher à déterminer son équation, tracer la tangente à C f passant par O. On notera A son point de contact avec C f . Évaluer graphiquement le coef- ficient directeur de cette tangente en expliquant le procédé utilisé.

2. Calculer la valeur exacte de l’intégrale I = ∫2

1 f (x) dx, puis en donner une va-

leur approchée à 10−2 prés.

3. En déduire une interprétation graphique du nombre réel : e2−e− 7

3 .

Partie B : Étude de la fonctiong

1. Étudier les limites de g en+∞ et en 0 et justifier queCg admet une asymptote. 2. a. Calculer la dérivée g ′(x) et montrer qu’elle est du signe de (x−1)ex x2

sur l’intervalle ]0 ; +∞[. b. Soit u la fonction qui à tout x de l’intervalle [0 ; +∞[ associe

u(x) = (x − 1)ex x2. Étudier le sens de variation de u sur l’intervalle [0 ; +∞[.

c. Déterminer le signe de u(x) sur l’intervalle [0 ; 1[.

d. Montrer que l’équation u(x)= 0 admet une solution unique a sur l’inter- valle [1 ; 2].

Endéduire, suivant les valeurs de x, le signedeu(x) sur l’intervalle [0 ; +∞[. e. En déduire le signe de g ′(x) et dresser la tableau de variation de g .

Partie C : Construction de Cg

1. On se propose de construire le point S(a ; g (a)) où a est le réel déterminé dans la question B. 2. d.

La Réunion 20 juin 1998

Le baccalauréat de 1998 A. P. M. E. P.

a. Montrer que, sur l’intervalle ]0 ; +∞[, g ′(x)= 0 équivaut à f ′(x)= f (x)

x

et que par conséquent f ′(a)= f (a)

a .

b. En utilisant ce résultat, établir que a est l’abscisse du point A défini dans la premiére partie.

c. Justifier que l’ordonnée de S est f ′(a) et placer S sur le dessin.

2. Déterminer les coordonnées du point d’intersection de C f et Cg .

3. Construire la courbe Cg .

Partie D : Étude d’une primitive de g et calcul d’une intégrale

SoitG la primitive de g sur l’intervalle [1 ; 2] qui s’annule pour x = 1 (on ne cherchera pas à calculer cette primitive).

1. Déterminer le sens de variation deG sur [1 ; 2].

2. Donner une interprétation géométrique du nombre G(2). Dans la suite, on prendra 1,55 comme valeur approchée deG(2) à 10−2 prés.

3. On considére l’intégrale J = ∫2

1 G(x)dx.

a. Justifier que l’intégrale I calculée dans la premiére partie peut s’écrire

I = ∫2

1 xg (x)dx.

b. En utilisant une intégration par parties, établir que I = 2G(2)− J et en déduire une valeur approchée de J , à 10−2 prés.

La Réunion 21 juin 1998

[ Baccalauréat S Métropole juin 1998 \

EXERCICE 1 5 points

Dans tout l’exercice, A et B étant deux évènements, P(A) désigne la probabilité de A ; P(B / A) la probabilité de B sachant que A est réalisé.

1. Le nombre de clients se présentant en cinq minutes dans une station-service est une variable aléatoire X dont on donne la loi de probabilité :

i 0 1 2 pi =P (X = i ) 0,1 0,5 0,4

a. Définir et représenter graphiquement la fonction de répartition de X .

b. Calculer l’espérance mathématique de X .

2. Dans cette station-service, la probabilité qu’un client achéte de l’essence est 0,7 ; celle qu’il achéte du gazole est 0,3. Son choix est indépendant de celui des autres clients. On considére les évènements suivants :

C1 « en cinq minutes, un seul client se présente » ;

C2 « en cinq minutes, deux clients se présentent » ;

E : « en cinq minutes, un seul client achète de l’essence ».

a. Calculer P(C1 ∩ E). b. Montrer que P(E/C2) = 0,42 et calculer P(C2 ∩ E) . c. En déduire la probabilité qu’en cinq minutes un seul client achéte de

l’essence.

3. Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de clients achetant de l’essence en cinq minutes ; déterminer la loi de probabilité de Y .

Exercice 2 (obligatoire) 5 points

Le plan complexe est rapporté à un repére orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

.

1. Résoudre dans C l’équation :

(1) z−2 z−1

= z

On donnera le module et un argument de chaque solution.

2. Résoudre dans C l’équation :

(2) z−2 z−1

= i

On donnera la solution sous forme algébrique.

3. Soit M , A et B les points d’affixes respectives : z, 1 et 2. On suppose queM est distinct des points A et B.

a. Interpréter géométriquement le module et un argument de z−2 z−1

.

b. Retrouver géométriquement la solution de l’équation (2).

4. a. Montrer, à l’aide d’une interprétation géométrique, que toute solution de l’équation dans C :

(

z−2 z−1

)n

= i,

n désigne un entier naturel non nul donné, a pour partie réelle 3

2 .

Le baccalauréat de 1998 A. P. M. E. P.

b. Résoudre alors dans C l’équation

(3)

(

z−2 z−1

)2

= i.

On cherchera les solutions sous forme algébrique.

Exercice 2 (spécialité) 5 points

Dans le plan orienté, une unité étant choisie, on considére un rectangle ABCD tel

que AB = p 2, AD = 1 ; (

−−→ AB ,

−−→ AD ) est un angle droit direct ; I désigne le milieu de [AB].

A. Soit E l’ensemble des points M du plan tels queMD2−MB2 = 1.

1. Vérifier que les points C et I appartiennent à E .

2. a. Déterminer et construire l’ensemble E .

b. En déduire que les droites (BD) et (CI) sont perpendiculaires.

B. Le plan est rapporté au repére orthonormé direct (A ; ~u, ~v) avec ~u = 1 p 2

−−→ AB et

~v =−−→AD . Soit S une similitude directe qui, au point M d’affixe z, associe le point M ′ d’affixe z ′, telle que z ′ = az+b,a et b étant des nombres complexes, avec a 6= 0.

1. Déterminer les nombres a et b pour que S(D) = C et S(C) = B.

2. Soit T la similitude directe qui, au point M d’affixe z, associe le point M ′ d’af- fixe z ′ telle que

z ′ =− i p 2

2 z+

p 2

2 + i.

Déterminer le rapport et l’angle de T.

3. Montrer que la similitude T transforme B en I.

4. En déduire une autre justification de l’orthogonalité des droites (BD) et (CI).

5. Montrer que le centreΩde la similitudeT est le point d’intersectiondes droites (BD) et (CI).

Probléme 10 points

Les tracés des courbes seront faits dans un plan rapporté à un repére orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

(unité : 2 cm).

On rappelle qu’une fonction f est majorée par une fonction g (ce qui signifie aussi que g est minorée par f ) sur un intervalle I si et seulement si, pour tout x apparte- nant à I , f (x)< g (x).

PARTIE A

Soit f et g les fonctions définies sur [0 ; +∞[ par :

f (x)= ln(1+ x) et g (x)= 2x

1+ x .

On notera C la représentation graphique de f et Γ celle de g . On se propose de démontrer que f est minorée par g sur [0;+∞[. Soit h la fonction définie sur [0 ; +∞[ par h(x)= f (x)− g (x).

1. Étudier le sens de variation de h sur [0 ; +∞[ ; calculer h(0). (L’étude de la limite de h en +∞ n’est pas demandée.)

Métropole 23 juin 1998

Le baccalauréat de 1998 A. P. M. E. P.

2. En déduire que pour tout réel x positif ou nul,

(1) 2x

x+2 < ln(1+ x).

3. Construire dans le même repére les courbes C et Γ et montrer qu’elles ad- mettent en 0 unemême tangenteD que l’on tracera. (On justifiera rapidement le tracé de ces courbes.)

PARTIE B

k désignant un réel strictement positif, on se propose de déterminer toutes les fonc- tions linéaires x 7→ kx , majorant la fonction f : x 7→ ln(1+ x) sur [0 ; +∞[. Soit fk la fonction définie sur [0 ; +∞[ par fk (x)= ln(1+ x)−kx.

1. Étudier le sens de variation de f1, définie sur [0 ; +∞[ par f1(x)= ln(1+x)−x. 2. Étudier la limite de f , en +∞[ et donner la valeur de f1 en 0. 3. Montrer que pour tout réel x positif ou nul

(2) ln(1+ x)6 x. 4. En déduire que si k > 1 alors : pour tout x > 0, f (x)6 kx.

5. Le réel k vérifie les conditions : 0< k < 1 . Montrer que la dérivée de fk s’annule pour x =

1−k k

et étudier le sens de va-

riation de fk . (L’étude de la limite de fk en +∞ n’est pas demandée.) 6. En déduire les valeurs de k strictement positives telles que pour tout

x > 0, f (x)< kx.

PARTIE C

1. À l’aide d’une intégration par parties, calculer

I= 1 ∫

0

ln(1+ x)dx.

(On remarquera éventuellement que : x

1+ x = 1−

1

1+ x .

Endéduire le calcul de J = ∫1

0 (x−ln(1+x)dx puis deK=

∫1

0

[

ln(1+ x)− 2x

x+2

]

dx.

(Pour le calcul de K on pourra vérifier que : 2x

x+2 = 2−

4

2+ x .)

Interpréter géométriquement les valeurs des intégrales J et K en utilisant les courbes C , Γ et la droite D obtenues dans la partie A.

2. Soit u la fonction définie sur [0 ; 1] de la façon suivante :

u(0)= 1 et si x 6= 0, u(x)= ln(1+ x)

x .

a. Démontrer que la fonction u est dérivable sur ]0 ; 1].

b. On admet que u est dérivable sur [0 ; 1 ] et on pose :

L= ∫1

0 u(x)dx.

En utilisant les inégalités (1) et (2) obtenues dans les parties A et B, mon- trer que :

∫1

0

2

x+2 dx < L < 1.

En déduire une valeur approchée de L à 10−1 prés.

Métropole 24 juin 1998

[ Baccalauréat C Polynésie juin 1998 \

EXERCICE 1 5 POINTS

Une urne A contient 2 boules rouges et 3 boules noires, une urne B contient 3 boules rouges et deux boules noires. On tire au hasard une boule de l’urne A :

• si elle est noire, on la place dans l’urne B, • sinon, on l’écarte du jeu.

On tire au hasard ensuite une boule de l’urne B. On considère les évènements suivants : R1 : « La boule tirée de A est rouge » ; N1 : « La boule tirée de A est noire » ; R2 : « La boule tirée de B est rouge » ; N1 : « La boule tirée de B est noire ».

1. a. Calculer les probabilités des évènements R1 et N1.

b. Calculer les probabilités des évènements «R2 sachant R1 » et «R2 sachant

N1 ». En déduire que la probabilité de R2 est de 27

50 .

c. Calculer la probabilité de N2.

2. On répète n fois l’épreuve précédente (tirage d’une boule de A, suivie du tirage d’une boule de B dans les mÍmes conditions initiales indiquées ci-dessus), en supposant les différentes épreuves indépendantes.

Quel nombreminimumd’essais doit-on effectuer pour que la probabilité d’ob- tenir au moins une fois une boule rouge de l’urne B soit supérieure à 0,99 ?

EXERCICE 2 5 POINTS

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal (

O, −→ u ,

−→ v )

(unité graphique

2 cm). On note A le point d’affixe 1 et B le point d’affixe 3+2i. On appelle f l’application qui, à tout point M distinct de A et d’affixe z, associe le point M ′ d’affixe z ′ définie par

z ′ = z−1+2i z−1

1. Calculer les affixes des points O′ et B′, images respectives des points O et B par f . Placer les points A, O′, B et B′ dans le plan.

2. a. Calculer, pour tout complexe z différent de 1, le produit

(

z ′−1 )

(z−1)

b. En déduire que, pour tout point M distinct de A, on a :

AM ×AM ′ = 2 et (−→ u ,

−−→ AM

)

+ (−→ u ,

−−−→ AM

)

= π

2 +2, k ∈Z

3. Démontrer que, si M appartient au cercle (C ) de centre A passant par O, alors M ′ appartient à un cercle (C ′). En préciser le centre et le rayon.

Construire (C ) et (C ′).

4. a. Déterminer l’angle (−→ u ,

−−→ AB

)

.

b. Démontrer que, siM est un point autre que A de la demi-droite (d) d’ori- gine A, passant par B, alors M ′ appartient à une demi-droite que l’on précisera.

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
3 shown on 44 pages
Télécharger le document