Exercitation - méthodes d'analyse numérique – 1, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation. Université Bordeaux I
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Eusebe_S10 April 2014

Exercitation - méthodes d'analyse numérique – 1, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation. Université Bordeaux I

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Exercitation sur les méthodes d'analyse numérique – 1 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Calculer les probabilités des évènements, Établir la relation.
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[ Baccalauréat groupe 1 bis (groupes I-IV) juin 1996 \

EXERCICE 1 4 points

Un club sportif compte 80 inscrits en natation, 95 en athlétisme et 125 en gymnas- tique. Chaque inscrit pratique un seul sport. N. B. - Si E est un évènement, on noteraP (E) sa probabilité et E l’évènement contrair. Si E et F sont deux évènements, P (E|F) est la probabilité de « E sachant que F est réalisé ».

1. On demande à trois inscrits choisis au hasard de remplir un questionnaire.

Calculer les probabilités des évènements suivants :

a. A : « les sportifs choisis pratiquent tous l’athlétisme » ;

b. B : « les sportifs choisis pratiquent tous le même sport ».

2. Parmi les inscrits en natation, 45% sont des filles. De même 20% des inscrits en atlùétisme et 68% des inscrits en gymnastique sont des filles.

a. On choisit un inscrit au hasard. Quelle est la probabilité p1 que l’inscrit choisi soit une fille pratiquant l’athlétisme ? Quelle est la probabilité p2 que ce soit une fille ?

b. Si on choisit au hasard une fille, quelle est la probabilité p3 qu’elle pra- tique l’athlétisme ?

EXERCICE 2 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE 5 points

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v

) , unité gra-

phique : 4 cm, on considère les points A, B et C d’affixes respectives a, b et c telles que :

a = 1− i, b = 1+ i, c =−1+ i=−a.

On note Γ le cercle de diamètre [AB].

1. a. Placer sur une figure les points A, B, C et Γ.

b. Mettre les nombres complexes a, b et c sous forme trigonométrique.

c. Soit r la rotation de centre O telle que r (A) = B.

Déterminer l’angle de r et le point r (B), image de B par r .

d. Déterminer l’image Γ′ du cercle Γ par r ; placer Γ′ sur la figure.

2. On considère θ ∈]0 ; 2π[ distinct de π ; on note M le point d’affixe z = 1+ ieiθ.

On désigne par M ′ l’image de M par r , et on appelle z ′ l’affixe deM ′.

a. Montrer que M est un point de Γ distinct de A et de B.

b. Exprimer z ′ en fonction de z.

Calculer en fonction de θ les affixes u et u′ des vecteurs −−→ BM et

−−−→ BM ′ .

c. Établir la relation u =u′ tan θ

2 .

d. Prouver que les points B,M etM ′ sont alignés. Placer sur la même figure un point M et son transformé M

EXERCICE 2 ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ 5 points

Dans le plan orienté, on considère un triangle isocèle ABC tel que AB = AC et( á−−→ AB ;

−−→ AC

) =

π

4 .

Soit I le point tel que le triangle CAI soit isocèle et rectangle avec

( á−−→ CA ;

−→ CI

) =−

π

2 .

Pour la figure, que l’on complétera en traitant les questions, on prendra AB = 5 cm.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

1. On appelle rA la rotation de centre A qui transforme B en C et rC la rotation de

centre C et d’angle − π

2 .

On pose f = rC ◦ rA.

a. Déterminer les images par f de A et de B.

b. Démontrer que f est une rotation dont on précisera l’angle et le centre O. Placer O sur la figure.

c. Quelle est la nature du quadrilatère ABOC?

2. Soit s la similitude directe de centre O qui transforme A en B.

On appelle C′ l’image de C par s, H le milieu du segment [BC] et H′ son image par s.

a. Déterminer unmesure de l’angle de s.

Montrer que C′ appartient à la droite (OA).

b. Donner l’image par s du segment [OA] et montrer que H′ est le milieu de [OB].

c. Montrer que (C′H′) est perpendiculaire à (OB).

En déduire que C′ est le centre du cercle circonscrit au triangle OBC.

PROBLÈME 11 points

L’objet de ce problème est : – d’étudier la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :

f (x)= ex −1

ex x ;

– de justifier rigoureusement le tracé de sa courbe représentative C dans un re-

père orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→

) , unité graphique 3 cm.

– de détailler enfin certaines propriétés d’une suite de nombres réels construite à partir de f .

Partie A. Questions préliminaires

1. Soit g la fonction définie sur [0 ; +∞[ par

g (x)= ex x−1.

a. Montrer que pour tout x > 0, on a g ′(x)> 0. En déduire le sens de varia- tion de g sur [0 ; +∞[.

b. Calculer g (0). En déduire que, pour tout x > 0, on a g (x)> 0.

2. Soit h la fonction définie sur [0 ; +∞[ par

h(x)= (2− x)ex −1.

a. Étudier la fonction h et dresser son tableau de variations.

b. Montrer que l’équation h(x) = 0 admet une solution et une seule, α, et que α> 1.

c. Vérifier la double inégalité 1,84<α< 1,83.

d. Préciser, suivant les valeurs du nombre réel x> 0, le signe de h(x).

Partie B Étude de la fonction f et tracé de la courbe C

1. a. Justifier que f est bien définie en tout point de x ∈ [0 ; +∞[.

Aix–Marseille–Nice 2 juin 1996

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

b. Montrer que, pour tout x > 0, on peut écrire,

f (x)= 1−e−x

1− xe−x .

En déduire lim x→+∞

f (x) ; interpréter géométriquement, relativement à C ,

le résultat obtenu.

c. Montrer que, pour tout x > 0, f ′(x)= h(x)

(ex x)2 .

d. Étudier la fonction f et dresser sonn tableau de variations.

2. a. Montrer que, pour tout x > 0, f (x)− x = (1− x)g (x)

ex x .

b. En déduire, suivant les valeurs du nombre réel x > 0, la position de la courbe C par rapport à la droiteD d’équation y = x.

3. a. Préciser la tangente au point de C d’abscisse 0.

b. Tracer C , en faisant figurer sur le dessin la droite ∆ d’équation y = 1 et tous les éléments obtenus au cours de l’étude.

Partie C - Étude de la suite un = ∫n

0 [ f (x)1]dx

1. Déterminer une primitive de la fonction f . En déduire l’expression de un , en fonction de n.

2. Interpréter géométriquement le nombre réel −u1.

3. Déterminer lim n→+∞

un (on pourra utiliser l’égalité n = ln(en).

4. Interpréter géométriquement le nombre réel un u1, puis le résultat obtenu dans la question précédente.

Aix–Marseille–Nice 3 juin 1996

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